考虑梁端顺桥向阻力的结构竖弯等代阻尼比计算方法研究.pdf

桥梁建设 年第 卷第期(总第 期)B r i d g eC o n s t r u c t i o n,V o l ,N o ,(T o t a l l yN o )收稿日期:基金项目:国家重点研发计划项目(Y F B );中国中铁股份有限公司科技研究开发计划项目(专项 ,专项 )P r o j e c to fN a t i o n a lK e yR e s e a r c ha n dD e v e l o p m e n tP r o g r a mo fC h i n a(Y F B );P r o j e c t so fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g yR e s e a r c ha n dD e v e l o p m e n tP r o g r a mo fC h i n aR a i l w a yG r o u pL i m i t e d(S p e c i a lC l a s s ,S p e c i a lC l a s s )作者简介:秦竟熙,博士生,E m a i l:q i n j x g u c l a e d u.研究方向:桥梁风工程.文章编号:()D O I:/j i s s n 考虑梁端顺桥向阻力的结构竖弯等代阻尼比计算方法研究秦竟熙,苑仁安,张明金(加州大学洛杉矶分校,美国 洛杉矶 ;中铁大桥勘测设计院集团有限公司,湖北 武汉 ;西南交通大学土木工程学院,四川 成都 )摘要:针对梁式结构竖弯振动未考虑梁端顺桥向阻力引起阻尼比计算不准确的问题,提出桥梁结构各模态竖弯等代阻尼比计算方法.该方法通过考虑主梁竖向弯曲变形和梁端顺桥向变形之间的关系,基于能量原理,建立结构系统考虑梁端阻力的竖向弯曲振动的广义单自由度动力方程,采用R K F 预估校正法对其进行数值求解,从而确定结构各模态的竖弯等代阻尼比.应用该方法对 m跨等截面简支梁的竖弯等代阻尼比进行计算,并分析不同的梁端阻力装置对结构竖弯等代阻尼比的影响规律.结果表明:提出的结构竖弯等代阻尼比计算方法可应用于大跨度梁式结构竖弯振动中阻尼比的计算,梁端阻力装置可有效提高结构竖弯振动的等代阻尼比,梁端阻力装置对结构竖弯等代阻尼比的影响与结构广义质量、广义竖弯刚度、竖弯振型和装置阻力本身相关.关键词:大跨度桥梁;等代阻尼比;能量原理;广义单自由度动力方程;R K F 预估校正法;计算方法中图分类号:U ;U 文献标志码:AC a l c u l a t i o no fE q u i v a l e n tD a m p i n gR a t i oo fB e a mS t r u c t u r e s i nV e r t i c a lB e n d i n gM o d eC o n s i d e r i n gL o n g i t u d i n a lG i r d e r E n dR e s i s t a n c eQ I NJ i n g x i,Y U A NR e n a n,Z H A N GM i n g j i n(U n i v e r s i t yo fC a l i f o r n i a,L o sA n g e l e s ,C a l i f o r n i a,U S A;C h i n aR a i l w a yM a j o rB r i d g eR e c o n n a i s s a n c e&D e s i g nI n s t i t u t eC o,L t d,W u h a n ,C h i n a;D e p a r t m e n to fB r i d g eE n g i n e e r i n g,S o u t h w e s t J i a o t o n gU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a)A b s t r a c t:T oa d d r e s st h ea n a l y t i c a l i n a c c u r a c yf r o mn e g l e c t i n gl o n g i t u d i n a lr e s i s t a n c ew h e nc a l c u l a t i n gf o r t h ed a m p i n gc a p a b i l i t yo fb e a ms t r u c t u r e sv i b r a t i n g i nv e r t i c a l b e n d i n gm o d e s,t h i ss t u d yp r o p o s e san e wc a l c u l a t i o n m e t h o df o rb r i d g ee f f e c t i v ed a m p i n gr a t i o s T h es t u d yf i r s te s t a b l i s h e st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ev e r t i c a lb e n d i n g d e f o r m a t i o n o ft h eg i r d e ra n dt h el o n g i t u d i n a l g i r d e r e n d d i s p l a c e m e n t,t h e n p r o p o s e s a g e n e r a l i z e d s i n g l e d e g r e e o f f r e e d o md y n a m i ce q u a t i o no fm o t i o nc o n s i d e r i n gt h eg i r d e r e n dr e s i s t a n c eo f t h eb r i d g es t r u c t u r eb a s e do ne n e r g yp r i n c i p l e T h eR K F p r e d i c t o r c o r r e c t o rm e t h o di se m p l o y e df o rn u m e r i c a ls o l u t i o n st od e t e r m i n e t h ee q u i v a l e n td a m p i n gr a t i oc o n s i d e r i n gt h eg i r d e r e n dr e s i s t a n c e T h ea p p l i c a t i o no ft h eg e n e r a l i z e ds i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m d y n a m i ce q u a t i o no f m o t i o ni sd e m o n s t r a t e dt h r o u g hs a m p l ec a l c u l a t i o n so na s i m p l y s u p p o r t e db e a mw i t ha s p a no f m,a n d t h e i n f l u e n c eo f d i f f e r e n tg i r d e r e n dr e s i s t a n c eo nt h ee q u i v a l e n td a m p i n gr a t i oo ft h es t r u c t u r ei sa n a l y z e da n dc o m p a r e d 桥梁建设B r i d g eC o n s t r u c t i o n ,()T h er e s u l t si n d i c a t et h a tl o n g i t u d i n a lg i r d e r e n dr e s i s t a n c ed e v i c e sc a ne f f e c t i v e l yi n c r e a s et h ee q u i v a l e n td a m p i n gr a t i oo fb e a m s t r u c t u r e sf o rv e r t i c a lb e n d i n g m o d ev i b r a t i o na n dt h a tt h ep r o p o s e dc a l c u l a t i o n m e t h o di sa p p l i c a b l eo nl o n gs p a n b e a m s t r u c t u r e s T h ee f f e c to ft h el o n g i t u d i n a lg i r d e r e n dr e s i s t a n c ed e v i c e si sa s s o c i a t e d w i t ht h eg e n e r a l i z e d m a s s,g e n e r a l i z e ds t i f f n e s s,a n dt h ev e r t i c a lb e n d i n gm o d es h a p e so f t h es t r u c t u r e,a sw e l la st h er e s i s t a n c eo f t h ed e v i c e s K e yw o r d s:l o n g s p a nb r i d g e;e q u i v a l e n td a m p i n gr a t i o;e n e r g yp r i n c i p l e;g e n e r a l i z e ds i n g l e d e g r e e o f f r e e d o m d y n a m i ce q u a t i o no f m o t i o n;R K F p r e d i c t o r c o r r e c t o r m e t h o d;a n a l y t i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d引言一般而言,桥梁的跨径越大,意味着桥梁结构对风的敏感性越高,尤其是质量轻、阻尼小的钢结构桥梁,在低风速下更容易发生涡激振动.涡激振动(涡振)是一种具有自激和自限幅特性的风致振动,是气流流经结构物表面发生分离并产生周期性脱落旋涡,从而对结构物产生周期性涡激力所引起的.尽管涡振不会像颤振或驰振那样引起桥梁结构的毁灭性破坏,但涡振的起振风速低、出现概率大,将会影响桥上行车和行人舒适性,而且还可能引起桥梁结构的疲劳破坏,危害结构安全.迄今为止,全球范围内数十座桥梁在建设和运营过程中都出现过涡振,特别是近年来国内外多座超大跨度悬索桥均发生了明显的风致涡振现象,造成了较大的社会影响.如何有效地抑制桥梁涡振,提高桥梁的抗风性能,是桥梁工程领域的一个重大挑战.为应对这一挑战,近年来,众多学者开展了大量的研究工作,已有研究表明抑制涡振的方法可分为两类:一类为通过气动措施减小作用在桥梁结构上的涡激力,主要通过优化结 构断面形 式和附 属 设 施 布 置 形 式等;另一类为通过外加机械装置的形式提高结构阻尼比.大跨度桥梁涡振通常是主梁的竖弯振动,该类振动最有效的处理方式是在结构的竖向施加抑振装置,如武汉鹦鹉洲长江大桥抑振方案.但大多数桥梁结构不具备上述装置的安装条件,仅能在桥梁端部顺桥向布置振动控制装置.目前结构竖弯等代阻尼比的计算忽略了结构的顺桥向阻力,布置类似顺桥向耗能装置后,竖弯振动会引起顺桥向能量的耗散,如何计算该类效应竖弯等代阻尼比还有待明确.本文针对上述问题,以梁式结构为研究对象,考虑结构竖弯对顺桥向变形影响的非线性效应,基于能量原理和梁端阻力装置的力学性能,建立单自由度动力方程;在此基础上,以多自由度结构为研究对象,建立广义单自由度动力方程,提出桥梁结构各模态竖弯等代阻尼比计算方法,并以 m跨等截面简支梁结构为例进行计算分析,研究梁端阻力对结构竖弯等代阻尼比的影响规律,以期为大跨度梁式结构竖弯振动阻尼比计算提供参考.单自由度动力方程建立梁式结构轴向刚度远大于弯曲刚度,主梁发生弯曲时,不计主梁的轴向变形,主梁的长度基本不变.主梁发生竖向弯曲振动时,会带动梁端的顺桥向变形,该效应为结构的几何非线性效应.在竖向振动过程中,梁端处的支座或者顺桥向阻尼器,因结构的顺桥向变形产生相应的阻力,抑制主梁的振动.基于主梁长度不变的假定,建立结构竖向变形和顺桥向变形的关系,利用能量原理建立考虑顺桥向变形的单自由度动力方程.竖弯变形和顺桥向变形关系以简支梁结构作为研究对象(图),长度(虚线)为l的主梁发生竖弯振动,竖弯振动幅度(变形)为y,梁端顺桥向变形为.假设右端支座为顺桥向活动支座,主梁竖弯变形为图中点线所示,其中,实线长度定义为主梁弯曲名义长度l,与虚线长度l的差值为l.在顺桥向x处取微段dl主梁在该处的竖弯振动变形为yf(x),对应曲线的转角为f(x),曲线微段长度dl可表示为:dlf(x)dx()对式()进行泰勒展开,忽略高阶项,取dl图简支梁结构F i g C o n f i g u r a t i o no faS i m p l y S u p p o r t e dB e a m考虑梁端顺桥向阻力的结构竖弯等代阻尼比计算方法研究秦竟熙,苑仁安,张明金f(x)dx.则主梁的弯曲名义长度l与长度l的差值l为:llf(x)dxl()在实际桥梁结构中梁端转角较小,可知梁端顺桥向变形与主梁竖弯变形f(x)之间的关系为:lf(x)dx()可 以看出,对于 主梁任意的 竖弯变形,可 由式()确定梁端顺桥向变形.在主梁单一模态的竖弯振动中,主梁竖向振动变形可由某一点的竖弯振动变形y和主梁振型曲线(x)表示.式()可表示为:yl(x)dx()单自由度动力方程在图结构右侧布置梁端阻力装置,主梁在竖弯振动过程中,右侧梁端发生顺桥向振动,梁端阻力装置产生相应的阻力约束主梁振动,从而使得主梁竖弯振动逐渐衰减.梁端阻力装置对于结构系统而言,提高了结构的阻尼比.将主梁的竖弯振动等效为单自由度系统,质点位于距梁端x位置处,质量为m,见图.竖弯振动时,振型曲线为(x),质点振型向量为.t时刻的竖向变形为yt,右侧梁端顺桥向变形为t,梁端阻力装置的阻力为Fr.不计结构自身阻尼,基于能量原理可知,质点的动能转变为结构系统的弹性势能和梁端阻力装置的内能,如支座、阻尼器等.图单自由度系统振动示意F i g S i n g l e D e g r e e o f F r e e d o mS y s t e m在归一化的振型中,质点振型向量为,t时刻结构系统的动力方程为:m ytm yt dtK ytdytFrdt()式中,K为结构的竖弯刚度;yt为t时刻质点速度;yt为t时刻质点加速度.基于运动学可知,新增微小时间dt,tdt时刻质点的速度为yt dtytytdt,运动变形为yt dtyt(ytyt dt)dt.将上述关系式代入式(),结合式(),并令无量纲ll(x)dx为主梁弯曲系数,忽略高阶小量,可得单自由度竖向振动的动力方程为:m ytK ytlFryt()式()为考虑梁端阻力的动力方程,该方程表明:梁端阻力可以抑制结构的竖弯振动,即结构系统的竖弯振动能量可由梁端阻力装置转移及耗散,振动能量的转移及耗散逐渐降低主梁竖弯振动的幅度.对于简支梁结构,当振型曲线为三次曲线时,主梁弯曲系数为;当振型曲线为四次曲线时,主梁弯曲系数为 .常用梁端阻力装置类型有支座摩阻或黏滞阻尼器,梁端阻力与自身力学特性和运动方向有关,对于图中结构系统的振动,t时刻支座摩阻力和黏滞阻尼器阻力的力学表达如下.支座摩阻力:Frs i g n(ytyt)fq()黏滞阻尼器阻力:Frs i g n(ytyt)C yt()式中,fq为支座摩阻屈服力,一般为竖向反力与摩擦系数的乘积;C、分别为黏滞阻尼器阻尼系数和速度指数;s i g n()为符号函数.广义单自由度动力方程建立与竖弯等代阻尼比求解 广义单自由度动力方程建立复杂的桥梁结构振动为多自由度的振动,桥梁结构的涡振通常为单一振型 .多自由度单一振型的梁端顺桥向变形与竖弯变形仍为一一对应关系.对于多自由度系统,考虑顺桥向变形的几何非线性效应,参照单自由度动力方程的建立过程,可以建立广义单自由度动力方程.将图中简支梁结构振动拆解成n个自由度振动型式,见图.设t时刻,某一阶振动时,结构系统的振型曲线为(x),归一化振型向量为,各质点的振型系数为i,振型系数为的质点变形为yt.则各质点的竖向变形为yti,对应的速度和加速度分别为yti和yti,对应的质点质量为mi.图多自由度系统振动示意F i g S c h e m a t i cD i a g r a mo fM u l t i d e g r e e o f F r e e d o mV i b r a t i o n桥梁建设B r i d g eC o n s t r u c t i o n ,()令图中结构体系的质量矩阵为M、刚度矩阵为K,维数为nn.变形列阵、速度列阵和加速度列阵分别为y、y和y,维数为n.考虑式(),新增微小时间dt,基于能量原理建立t时刻结构系统的动力方程为:M yK ylFry()某一阶振动时,令M为广义质量M,K 为广义竖弯刚度K,多自由度振动动力方程可转变为广义单自由度振动动力方程:M yK ylFry()对于考虑梁端阻力的多自由度结构系统,可利用广义单自由度振动动力方程进行考虑梁端阻力的结构竖弯等代阻尼比求解,求解方法为:对式()的右端施加与模态周期一致的正弦振动外荷载,在个周期内撤掉周期振动外荷载,得到结构单模态自由振动衰减曲线,依据衰减曲线确定梁端阻力装置引起的结构竖弯等代阻尼比.竖弯等代阻尼比求解竖弯等代阻尼比求解过程为:采用有限元计算多自由度结构的振动模态,获取振动模态的自振频率w和归一化振型向量;采用三次样条曲线拟合振型曲线,获得振型曲线(x),求解弯曲系数;由质量矩阵和归一化振型向量计算广义质量M;由广义质量M和自振频率w计算广义竖弯刚度K;采用逐步积分算法求解单自由度振动动力方程,得到外力撤掉后结构单模态自由振动衰减曲线;由单模态自由振动衰减曲线得到结构各模态竖弯等代阻尼比.非线性动力方程求解的经典算法有N e wm a r k B e t a法、W i l s o n法、R u n g e K u t t a法等,本文采用经典的R K F 预估校正法进行逐步积分求解.算例跨度 为 m的 等 截 面 简 支 梁 结 构 恒 载 为 k N/m,面内弯曲刚度E I为 k Nm,沿长度方向m一个单元,共划分 个梁单元.在活动梁端处分别考虑支座摩阻和黏滞阻尼器对结构竖弯等代阻 尼 比 的 贡 献.支 座 摩 擦 系 数分 别取 和 ,黏 滞 阻 尼 器 阻 尼 系 数 为 k N(m/s),速度指数为.按 节计算方法对该梁式结构的竖弯等代阻尼比进行求解,结果见表.由表可知:()支座摩阻和黏滞阻尼器均可提高简支梁结构的竖弯等代阻尼比(原始竖弯等代阻尼比为).黏滞阻尼器比支座摩阻更能有效提高结构的竖弯等代阻尼比,对于一阶正对称模态,支座摩擦系数分别为 与 时,对应竖弯等代阻尼比分别为 、,梁端设置黏滞阻尼器时的竖弯等代阻尼比可达 .()竖弯等代阻尼比随支座摩阻系数的增加逐渐增大,原因为支座摩阻力增大,在一个振动周期内支座的耗能也越大,从而提高了结构系统的阻尼比.()从一阶竖弯振型到二阶竖弯振型对应的弯曲系数成倍增大,而结构的竖弯等代阻尼比反而降低.原因为在广义质量基本一致的前提下,广义竖弯刚度与自振频率的平方成正比,低阶振型至高阶振型,广义竖弯刚度的增大速率远大于弯曲系数的增大速率,从而导致梁端阻力装置耗散能量相对结构弹性势能的比值大幅下降,使得结构的竖弯等代阻尼比降低.()梁端阻力装置对结构竖弯等代阻尼比的影响与结构的广义质量、广义竖弯刚度、竖弯振型和装置阻力本身相关.在实际工程中,若要提高结构系统的阻尼比,需要结合上述参数综合考虑.结论本文针对梁式结构竖弯振动未考虑梁端顺桥向阻力引起阻尼比计算不准确的问题,提出桥梁结构各模态竖弯等代阻尼比计算方法.通过考虑竖弯变表简支梁结构各振动模态竖弯等代阻尼比T a b E q u i v a l e n tD a m p i n gR a t i of o rV a r i o u sV i b r a t i o nM o d e s i nS i m p l y S u p p o r t e dB e a mS t r u c t u r e模态阶次振型描述自振频率/(r a ds)广义质量/k g广义竖弯刚度/(k Nm)弯曲系数竖弯等代阻尼比/支座摩阻 黏滞阻尼器一阶正对称竖弯 一阶反对称竖弯 二阶正对称竖弯 二阶反对称竖弯 考虑梁端顺桥向阻力的结构竖弯等代阻尼比计算方法研究秦竟熙,苑仁安,张明金形和顺桥向变形之间的关系,基于能量原理建立了结构系统考虑梁端阻力的竖弯振动广义单自由度动力方程,应用R K F 预估校正法对该方程进行等代阻尼比的计算.应用该方法对 m简支梁结构进行竖弯等代阻尼比计算,并分析了支座摩阻、黏滞阻尼器对结构竖弯等代阻尼比的影响规律,主要得到以下结论:()提出的考虑梁端阻力的结构竖弯等代阻尼比的计算方法可应用于大跨度梁式结构竖弯振动中阻尼比的计算.()结构竖弯变形带动结构的顺桥向变形,梁端阻力装置可以有效提高结构的竖弯等代阻尼比,梁端设支座摩阻时的阻尼效应较小,梁端设黏滞阻尼器时的最大等代阻尼比可达 .()梁端阻力装置对结构竖弯等代阻尼比的影响与结构广义质量、广义竖弯刚度、竖弯振型和装置阻力本身相关.参考文献(R e f e r e n c e s):Z HAN G J X,Z HAN G M J,L I Y L,e t a lC o m p a r i s o n o f W i n d C h a r a c t e r i s t i c s i n D i f f e r e n tD i r e c t i o n s o f D e e p C u t G o r g e s B a s e d o n F i e l dM e a s u r e m e n t sJ J o u r n a lo f W i n dE n g i n e e r i n ga n dI n d u s t r i a lA e r o d y n a m i c s,:敬大德,李朝平,苏益中日欧桥梁抗风设计规范涡激振动对比研究J世界桥梁,():(J I N G D a d e,L I C h a o p i n g,S U Y i C o m p a r a t i v eS t u d y o n V o r t e x I n d u c e d V i b r a t i o n S t i p u l a t i o n si nW i n d R e s i s t a n tD e s i g n S p e c i f i c a t i o n sf o r B r i d g e si nC h i n a,J a p a na n dE u r o p eJW o r l dB r i d g e s,():i nC h i n e s e)陈平,陈强草,华旭刚,等结构尾流振子耦合模型参数识别及桥梁涡激振动预测J世界桥梁,():(CHE N P i n g,CHE N Q i a n g c a o,HUA X u g a n g,e t a lP a r a m e t e rI d e n t i f i c a t i o n a n d B r i d g e V o r t e x I n d u c e dV i b r a t i o nP r e d i c t i o nB a s e do nS t r u c t u r e W a k eO s c i l l a t o rC o u p l i n gM o d e lJW o r l dB r i d g e s,():i nC h i n e s e)何锦章,吴肖波,柴小鹏,等大跨度悬索桥长吊索宽频调 谐 阻 尼 减 振 技 术 研 究 J世 界 桥 梁,():(HEJ i n z h a n g,WUX i a o b o,CHA IX i a o p e n g,e t a lR e s e a r c ho n W i d e B a n d T u n e d D a m p i n g T e c h n i q u e sf o r L o n g H a n g e r C a b l e so f L o n g S p a n S u s p e n s i o nB r i d g eJW o r l dB r i d g e s,():i nC h i n e s e)潘韬,肖海珠,赵林,等大跨度桥梁超宽分体三箱梁抗风性能及控制措施研究J桥梁建设,(S):(P ANT a o,X I AOH a i z h u,Z HA OL i n,e t a l S t u d yo fW i n d R e s i s t a n tP e r f o r m a n c ea n dC o n t r o lM e a s u r e sf o rV e r y W i d eG i r d e rw i t hT h r e eS e p a r a t e dB o x e si nL o n g S p a n B r i d g eJB r i d g e C o n s t r u c t i o n,(S):i nC h i n e s e)华旭刚,曹利景,王钰,等钢桁梁桥大悬臂状态顶推启 动 瞬 态 动 力 效 应 分 析 J桥 梁 建 设,():(HUA X u g a n g,C A O L i j i n g,WANG Y u,e t a lT r a n s i e n t D y n a m i c E f f e c t A n a l y s i s o fI n c r e m e n t a lL a u n c h i n gS t a r t U po f S t e e lT r u s sG i r d e rB r i d g eu n d e rL o n gC a n t i l e v e rS t a t eJ B r i d g eC o n s t r u c t i o n,():i nC h i n e s e)王力,刘世忠,虞庐松,等新型波形钢腹板组合箱梁等效阻尼比计算方法J桥梁建设,():(WANG L i,L I U S h i z h o n g,YU L u s o n g,e t a lC a l c u l a t i o no fE q u i v a l e n tD a m p i n gR a t i oo fN e w T y p eC o m p o s i t eB o x G i r d e r w i t h C o r r u g a t e d S t e e l W e b sJB r i d g eC o n s t r u c t i o n,():i nC h i n e s e)宋力勋粘滞阻尼器等效阻尼比的计算公式研究J工程抗震与加固改造,():(S ONG L i x u n S t u d yo nt h eF o r m u l ao fE q u i v a l e n tD a m p i n g R a t i oo f V i s c o u s D a m p e rJE a r t h q u a k eR e s i s t a n tE n g i n e e r i n ga n dR e t r o f i t t i n g,():i nC h i n e s e)杨兴,刘琪,朱玉非对称刚构连续组合体系梁桥 受 力 特 性 研 究 J桥 梁 建 设,(S):(YANG X i n g,L I U Q i,Z HU Y u R e s e a r c h o nM e c h a n i c a lP r o p e r t yo fA s y mm e t r i cC o m p o s i t eG i r d e rB r i d g e o f C o m b i n e d R i g i d F r a m e a n d C o n t i n u o u sG i r d e r S y s t e mJ B r i d g eC o n s t r u c t i o n,(S):i nC h i n e s e)李玲瑶,余志武,何旭辉,等基于可靠度理论的桥梁涡激振动概率性评价J工程力学,():,(L I L i n g y a o,YUZ h i w u,HEX u h u i,e t a lP r o b a b i l i s t i cE v a l u a t i o no fV o r t e x I n d u c e dV i b r a t i o no fB r i d g e sB a s e do nR e l i a b i l i t yT h e o r yJE n g i n e e r i n g M e c h a n i c s,():,i nC h i n e s e)桥梁建设B r i d g eC o n s t r u c t i o n ,()华旭刚,黄智文,陈政清大跨度悬索桥的多阶模态竖向涡振与控制J中国公路学报,():(HUAX u g a n g,HUAN GZ h i w e n,CHE NZ h e n g q i n g M u l t i M o d e V e r t i c a l V o r t e x I n d u c e dV i b r a t i o no fS u s p e n s i o nB r i d g e sa n dC o n t r o lS t r a t e g yJC h i n a J o u r n a lo f H i g h w a y a n d T r a n s p o r 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