浸入运动边界-格子Boltzmann方法4种固含率计算方法对比研究.pdf

第 卷 第期湘潭大学学报(自然科学版)V o l N o 年月J o u r n a l o fX i a n g t a nU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)F e b D O I:/j i s s n X 引用格式:夏明,邓柳泓,黄刚海,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究J湘潭大学学报(自然科学版),():C i t a t i o n:X I A M i n g,D E N GL i u h o n g,HUAN GG a n g h a i,e t a l Ac o m p a r a t i v es t u d yo f f o u r s o l i dr a t i oc a l c u l a t i o nm e t h o d s f o r i mm e r s e dm o v i n gb o u n d a r y l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o dJJ o u r n a l o fX i a n g t a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n),():浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究夏明,邓柳泓,黄刚海,徐远臻(湘潭大学 岩土力学与工程安全湖南省重点实验室,湖南 湘潭 ;中南大学 土木工程学院,湖南 长沙 ;西南交通大学 交通隧道工程教育部重点实验室,成都 )摘要:为了达到流固耦合,格子B o l t z m a n n方法(L BM)可采用浸入运动边界法(I MB)实现移动颗粒边界上的无滑移条件该耦合方式(I MB L BM)中固含率计算方法对流固耦合计算精度和效率有影响对常用的固含 率种 计算 方 法,即 蒙特 卡洛 法(MCM)、单 元分 解 法(U DM)、近 似 多 边 形 法(A PM)和闭合边界法(C BM),分别阐述其具体算法,对比了它们的计算精度和计算效率;最后通过圆盘颗粒非连续变形分析方法(D D D A)与I MB L BM耦合模型下的一个多颗粒沉降流固耦合算例,对比分析了它们在流固耦合计算过程中的耗时结果表明:)C BM无误差,MCM和U DM在随机点数取 ,子单元数取 时误差稳定在以下,A PM在颗粒直径大于格子长度 倍时,误差小于 ;)MCM和U DM的计算精度及耗时分别与随机点数和子单元数相关,它们的计算耗时大于A PM和C BM;)计算效率上,A PMC BMU DM MCM,其 中C BM计 算耗 时略 微 大于A PM,A PM和U DM计算耗时分别比MCM少个和个数量级该结果可为I MB L BM耦合模型中固含率计算方法优选提供借鉴关键词:格子B o l t z m a n n方法;浸入运动边界法;固含率计算;近似多边形法;圆盘颗粒非连续变形分析中图分类号:O 文献标志码:A文章编号:X()Ac o m p a r a t i v e s t u d yo f f o u r s o l i dr a t i oc a l c u l a t i o nm e t h o d s f o r i mm e r s e dm o v i n gb o u n d a r y l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o dX I AM i n g,D ENGL i u h o n g,HU ANGG a n g h a i,XUY u a n z h e n(H u n a nK e yL a b o r a t o r yo fG e o m e c h a n i c sa n dE n g i n e e r i n gS a f e t y,X i a n g t a nU n i v e r s i t y,X i a n g t a n ,C h i n a;S c h o o l o fC i v i lE n g i n e e r i n g,C e n t r a lS o u t hU n i v e r s i t y,C h a n g s h a ,C h i n a;K e yL a b o r a t o r yo fT r a n s p o r t a t i o nT u n n e lE n g i n e e r i n go fMO E,S o u t h w e s t J i a o t o n gU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a)A b s t r a c t:T h e i mm e r s e dm o v i n gb o u n d a r y(I MB)c a nb ei m p l e m e n t e di n t ot h el a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d收稿日期:基金项目:国家自然科学基金()通信作者:黄刚海(),男,广西河池人,博士,教授 E m a i l:h u a n g g a n g h a i c s u e d u c n(L BM)t og u a r a n t e en o n s l i pc o n d i t i o na tm o v i n gp a r t i c l eb o u n d a r i e s,i nw h i c hf l u i d s o l i dc o u p l i n gc a nb er e a l i z e d T h i s I MB L BMc o u p l e dm o d e l r e q u i r e sc a l c u l a t i n gt h es o l i dr a t i o T h ec a l c u l a t i o nm e t h o do f s o l i dr a t i oh a sa ne f f e c to nt h ea c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo f f l u i d s o l i dc o u p l i n gc a l c u l a t i o n F o u rc o mm o nm e t h o d sf o r c a l c u l a t i n gs o l i dr a t i oa r eM o n t eC a r l om e t h o d(MCM),u n i td e c o m p o s i t i o nm e t h o d(U DM),a p p r o x i m a t ep o l y g o nm e t h o d(A PM)a n dc l o s e db o u n d a r ym e t h o d(C BM)I nt h i sp a p e r,t h es p e c i f i ca l g o r i t h m so f t h e f o u rm e t h o d s a r ed e s c r i b e da n d t h e i r c a l c u l a t i o na c c u r a c ya n de f f i c i e n c ya r e c o m p a r e d A n d t h e i r t i m ec o n s u m p t i o ni n f l u i d s o l i dc o u p l i n gc a l c u l a t i o n i s c o m p a r e d t h r o u g hm o d e l i n gam u l t i p a r t i c l e s e t t l e m e n t f l u i d s o l i dc o u p l i n ge x a m p l eb yd i s kd i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o na n a l y s i s(D D D A)a n d l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d(L BM)c o u p l i n gm o d e l T h er e s u l t sr e v e a l t h a t:)C BM h a sn oe r r o r,w h i l et h er e l a t i v ee r r o ro fMCMa n dU DMi sa b o u t w h e nt h en u m b e ro f r a n d o mp o i n t s i s a n dt h en u m b e ro f s u b u n i t s i s T h ee r r o ro fA PMi s l e s s t h a n w h e nt h ep a r t i c l ed i a m e t e r i s t i m e s l a r g e rt h a nt h e l a t t i c e l e n g t h;)T h ea c c u r a c ya n dt i m ec o n s u m p t i o no fMCMa n dUDMa r er e s p e c t i v e l yc o r r e l a t e dw i t ht h en u m b e ro f r a n d o mp o i n t sa n ds u b u n i t s,a n dt h e i r c a l c u l a t i o n sa r em o r e t i m e c o n s u m i n gt h a nb o t hA PMa n dC BM;)I nc a l c u l a t i o ne f f i c i e n c y,A PMC BMU DMMCM,t h et i m ec o n s u m p t i o no fC BMi sal i t t l em o r et h a nA PM,a n dt h e t i m ec o n s u m p t i o no f as i n g l ec a l c u l a t i o n i nMCMi so r d e r so fm a g n i t u d em o r e t h a nt h a t o fA PM T h e t i m ec o n s u m p t i o no fas i n g l ec a l c u l a t i o ni n MCMi so r d e r so fm a g n i t u d em o r et h a nt h a to fU DM T h e s e c o n c l u s i o n s c a np r o v i d e a r e f e r e n c e f o r t h eo p t i m i z a t i o no f t h e c a l c u l a t i o nm e t h o do f s o l i dr a t i oi nI MB L BMc o u p l e dm o d e lK e yw o r d s:l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d;i mm e r s e dm o v i n gb o u n d a r ym e t h o d;s o l i dr a t i oc a l c u l a t i o n;a p p r o x i m a t ep o l y g o nm e t h o d;d i s kp a r t i c l ed i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o na n a l y s i s引言格子B o l t z m a n n方法(L BM)是一种基于流体微观模型和介观动理论的数值方法,它视流体为离散粒子集合体,通过离散粒子的碰撞和迁移来实现流体流动的 L BM具有粒子方法的背景,能方便地模拟流体和固体颗粒的相互作用,流固耦合 模拟比传统方法有优势关于L BM流固耦合边界的处理,过去 多年已形成几种方法 L a d d 在 年提出修正的反弹格式法(L B B)用于模拟颗粒悬浮问题,当颗粒速度较大时,L B B会产生数值振荡为克服该数值振荡,随后C h u n等提出了插值反弹边界方法(I B B),但该方法在固体边界处有时不能满足无滑移边界条件 F e n g等引入浸入边界法(I BM)处理流固耦合边界,其基本思想是采用独立的两种网格,即欧拉网格和拉格朗日网格,分别模拟流场和固体边界;I BM用动量交换法计算流固作用力,这种显式求解流体力的做法无法完全满足无滑移边界条件之后一些学者提出了流体力隐式计算方法,但需要复杂矩阵运算和较高计算内存要求,且高雷诺数的流动模拟中易出现流体力计算振荡 N o b l e等 提出的浸入运动边界法(I MB)克服了其他耦合方式动量不连续的问题,在较低分辨率网格下能够提供具有足够代表性的网格非一致边界 I MB引入格子固含率和附加碰撞项修正L BM方程,保留碰撞算子的局部性和迁移操作的简单性,其计算流体力更加平顺,是一种非常适合流固耦合的数值方法,因而被运用到诸多现象的模拟 在用I MB法实现L BM流固耦合时,需要引入一个新的物理量,即固含率所谓固含率,是指被固体覆盖的格点单元比例固含率是I MB法修正L BM方程的重要参数在固体内部,固含率是;在纯流体格点,固含率是;在边界点,固含率为固体占据格点格子控制体的面积,因此固含率在和之间在处理流固耦合格点时,需要精确地算出每一个被颗粒覆盖格第期夏明,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究点的固含率固含率的计算方法通常有种,即蒙特卡洛法(MCM)、单元分解法(UDM)、近似多边形法(A PM)和闭合边界法(C BM)这些方法在理论上各有优劣,但它们的精度和耗时的衡量标准鲜有研究本文针对常见固含率计算方法的精度和耗时做系统地测量,为优选固含率计算方法提供借鉴浸入运动边界格子B o l t z m a n n模型二维问题常采用D Q 模型 进行数值模拟,不考虑外力项的L BM方程为:fa(reat,tt)fa(r,t)(fa(r,t)fe qa(r,t),()式中:fa(r,t)为格点的分布函数;r为格点坐标;ea为速度的离散方向;t为时间步长;t为当前时间;为无量纲松弛时间;fe q为速度空间的局部平衡态分布函数式()各变量的取值如下:ea(,),acc o s(a)/,s i n(a)/,a,cc o s(a)/,s i n(a)/,a,()式中:cx/t,其中x和t分别表示网格步长和时间步长,通常x和y方向的网格步长相同,为便于统一计算,一般取xy fe qawaeaucs(eau)csucs,()式中:fa为流体密度;w/,w,/,w,/;ufaea/为流体速度;cs c/为格子声速I MB法处理流固耦合边界时,被颗粒覆盖的格点L BM方程变为:fa(reat,tt)fa(r,t)()fa(r,t)fe qa(r,t)fca,()fcafa(r,t)fa(r,t)fe qa(,ub)fe qa(,u),()式中:为固含率的权函数,通常为(dS H()(dS H)();dS H为固含率;a表示a的反方向;ub为固体颗粒在该格点处的速度对比式()和式()可以看出,用I MB法修正受颗粒影响的格点L BM方程本质上是在方程右边加入固含率和附加碰撞项固含率计算方法 格点固含率二维问题的固体颗粒常用圆盘表示,因而本文以圆盘颗粒展开固含率计算方法的论述如图所示,流场被划分成格子,格子控制体为个格子中心围成的区域,格点固含率为格子控制体中固体区域所占百分比如图所示,流场格点分为种,正常格点(不在固体内部且任何方向不与固体格点连接)、固体内部格点(在固体内部且任何方向不与流体格点连接)、固体边界格点(在固体内部且某一方向与流体格点连接)和流体边界格点(不在固体内部且某一方向与固体格点连接)正常格点按式()进行碰撞迁移,无须计算固含率;固体内部格点按式()和式()进行碰撞迁移,但其固含率为,无须额外计算;固体边界格点湘潭大学学报(自然科学版)年和流体边界格点也按式()和式()进行碰撞迁移,该两类格点固含率在和之间,需要专门计算由于格子控制体的面积是,因此就图中的格子控制体(a)和(b),它们的固含率实际上就等于阴影部分的面积格子控制体格点图格子控制体示意图F i g S c h e m a t i cd i a g r a mo f l a t t i c ec o n t r o l b o d y圆盘颗粒表面格子控制体（a）格子控制体（b）流体边界点固体边界点固体内部点圆盘质心圆盘平动速度圆盘转动速度圆盘速度矢量uuuu图计算域中的四种格子控制体示意图F i g S c h e m a t i cd i a g r a mo f f o u r l a t t i c ec o n t r o l b o d y i nc o m p u t a t i o n a l d o m a i n 固含率种计算方法假设边界格点坐标为(dx,dy),下面阐述常用的种边界格点固含率计算方法 蒙特卡洛法该法利用统计思想计算格点固含率在格点的格子控制体内,用随机数生成一系列随机点,固体区域内部的随机点数与随机点总数的比值即为格点固含率MCM计算固含率步骤如下:)利用线性同余法分别生成x、y两组随机数组合成随机点坐标先在区间,生成均匀分布的随机数,线性同余法的递推公式为:Xn(p Xn q)/m o d(M),RnXn/M,()式中:M ;p ;q ;X取以系统时间为种子的随机正整数;m o d(M)表示对M取余;Rn为产生的随机数第期夏明,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究为了得到很好的伪随机数,M取值是整数型的最大值;p和q必须足够大,且不相等利用下式的抽样公式,可生成区间 a,b均匀分布的随机数ta(ba)R,()式中:R为区间,生成的随机数;t为区间 a,b生成的随机数x坐标对应的区间为 dx ,dx ,y坐标对应的区间为 dy ,dy )判断生成的点与固体颗粒的位置关系假设生成的随机点坐标为(dxm,dym),圆盘的圆心坐标为(dC x,dC y),半径为r,则位置关系的判断式为:(dxmdC x)(dymdC y),r内部点,r外部点()采用式()计算格点固含率dS HiN u miT o t a l,()式中:iN u m为位于圆盘颗粒内部的随机点数量;iT o t a l为随机点总数 单元分解法UDM与MCM类似,只是把随机点换成子单元进行统计,其具体步骤如下:)把格子控制体划分成边长为/n的n个正方形子单元,第i列j行的子单元中心坐标为:(dC x (i )/n,dC y (j )/n);)判断子单元中心与固体颗粒的位置关系,判断公式同式();)按式()计算固含率 近似多边形法如图所示,边界格点有种可能情况,情况情况的格子控制体依次有个、个、个、个和个顶点位于圆盘颗粒内部A PM将位于格子控制体内部的圆弧线视为线段,即认为格子控制体被分割为个多边形此时,图中种情况的固含率依次为:dS H (q)(q),:dS H (qq),:dS H (q)(q),:dS H,:dS H,()式中:q和q的含义如图所示,具体为被圆弧切割的格子控制体棱边位于圆盘外部的长度下面讲述q的计算方法,q的计算与q相同湘潭大学学报(自然科学版)年格子控制体图A P M示意图F i g S c h e m a t i cd i a g r a mo fA P M先找到颗粒内部的顶点和与之相关的外部点如图所示,假设找到的内部点和外部点分别为B(x,y)和A(x,y),圆盘圆心为O(dC x,dC y),圆盘半径为r,点C为O A与圆弧的交点,点D为A B和圆盘边界的交点,则q为图中AD的长度由余弦定理得:c o s O A BO AA BO BO AA BO AqO DO Aq()令O Aa,A Bb,O Bc,O Dr,则有a(xdC x)(ydC y)b(xx)(yy)c(xdC x)(ydC y)()将式()代入式(),可求得两根为:qb(abb r)/(b),()式中:abc因点D位于A和B之间,且A B,所以式()的两个解只有满足q才是正解O（dCx,dCy）DABC图q计算示意图F i g S c h e m a t i cd i a g r a mo f c a l c u l a t i n gq 闭合边界法如图所示,采用C BM时,位于格子控制体内的圆弧被视为真实圆弧,因而该法可求出准确的固含率由此可以看出,C BM的固含率就是由A PM算出的固含率加上图中弓形的第期夏明,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究面积,即SS格子控制体图C BM示意图F i g S c h e m a t i cd i a g r a mo fC BM下面讲述图弓形面积S的计算方法通过式()易算出圆弧与格子控制体的两个交点坐标p(x,y)和p(x,y),假设圆盘半径为r,则三角形CiPP和扇形CiPP的面积计算式为:SCiPP|PP|CiP|S扇CiPP r,()式中:|PP|(xx)(yy);|CiP|r(PP);a r c c o s(CiP/r)弓形面积SS扇CiPPSCiPP精度和效率测试 精度测试 随机点数的确定由固含率种计算方法的计算步骤可看出,MCM和UDM的计算精度与随机点数和子单元数有关因此,本文分别测试不同圆盘直径下随机点数和子单元数对计算精度的影响,达到优选随机点数和子单元数的目的测试模型:流场格子数为 ;测试圆盘圆心坐标为(,),直径分别为、和 ;相应测试的格子控制体中心坐标分别为(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)、(,)和(,)C BM算出的准确固含 率 分 别 为 、和 采用MCM和UDM分别计算上述格点固含率 次,所用随机点数和子单元数依次为 、和 ,经测试得:)MCM的误差不受直径的变化影响,只与随机点个数有关,组图的结果几乎完全一致;如图所示,误差随随机点数的增加而降低,但随机点数为 时曲线会有转折,当随机点数大于 时,误差稳定在及以下,最终误差稳定在 ;)UDM的误差随直径的增大而降低,图(a)和图(b)给出了直径分别为 和 时的计算误差,其余模拟工况随直径的增大误差不再变化,均在 以下UDM计算精度高,子单元数大于 可使误差稳定在以下为了探究格子控制体被圆弧切得的形状对MCM和UDM计算精度的影响测试了在圆盘直径为 时,每一个边界格点的固含率误差发现随机点数大于 和子单元数大于 湘潭大学学报(自然科学版)年时,每个边界格点的固含率计算误差稳定在左右因此,下面测试选取的随机点数为 ,子单元数为 3.02.52.01.51.00.50.00246810随机点数（103）Er1（10-2）图MCM误差结果图F i g T h e e r r o ro fMCM0246810子单元数（103）0246810子单元数（103）86420Er1（10-3）43210(a)(b)Er1（10-3）图U DM误差结果图:(a)直径为;(b)直径为 F i g T h e e r r o ro fU DM:(a)r;(b)r 圆盘大小对精度的影响为研究圆盘大小对种计算方法计算固含率精度的影响,进行如下测试测试工况与第 节一致将各种模拟工况下各边界点固含率的误差值进行统计,采用平均值E r表征,即:E rnXXXn,()式中:Xi(i,n)为第i个边界点的固含率绝对误差值(剔除绝对误差为的边界点);n为参与统计的边界点数各种测试工况的E r值如图(a)所示,从中可知:)除A PM外的种方法,E r值不受影响;原因在于,C BM误差总是,MCM与UDM均采用统计方法求解固含率,其求解结果不受格子控制体形状影响;)A PM的误差随圆盘半径增大而减小;这是因为A PM的误差为图中弓形的面积S,当圆盘颗粒增大时,S逐渐减小应该指出,即便圆盘直径仅为 倍格子长度,A PM的计算误差也仅为 ,表明A PM容易达到很高的计算精度第期夏明,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究MCMUDMAPM010020030040050060001 0002 0003 0004 0005 000圆盘直径边界格点数504030201005040302010020151050-5Er2（10-4）MCM和UDM（103ms）APM和CBM（10 ms）（a）(b)MCMUDMCBMAPM图(a)固含率计算误差;(b)固含率计算耗时F i g (a)S o l i dr a t i oc a l c u l a t i o ne r r o r;(b)T h e t i m ec o n s u m p t i o no f s o l i dr a t i oc a l c u l a t i o n 精度测试 单个圆盘模型记录“小节”下“小节”各种测试工况的耗时(测试计算机为I n t e l(R)X e o n(R)C P UE v GH z、G内存、T硬盘),结果如图(b)所示为体现不同计算规模下种计算方法的效率,将图(b)的横坐标变成边界格点数从图(b)可以看出:)A PM和C BM效率比MCM高约个数量级,比UDM高约个数量级;原因在于,A PM和C BM仅采用简单的运算来求解固含率,因而计算效率高;而MCM和UDM需耗费时间生成随机数和子单元,导致效率降低;)A PM计算效率较C BM高;这是因为C BM需多计算图中弓形的面积S;)UDM的效率比MCM高约个数量级;原因在于UDM用少量的子单元可以达到大量随机数的计算精度,子单元数小于随机点数,因而计算效率高 多颗粒沉降流固耦合模拟为研究固含率计算方法在L BM流固耦合计算中的作用,本节将L BM与圆盘颗粒非连续变形分析方法(D D D A)进行耦合,分别用种方法计算每种模拟工况的固含率,统计固含率计算环节的耗时 D D D A的基本原理参见参考文献 和 如图所示,流固耦合模型模拟的是密闭方腔的多颗粒自由沉降,方腔尺寸为 m m,每个流体格子的真实物理长度为 m,对应格子区域为 ;颗粒直径为 m,L BM松弛因子为 ,颗粒和流体密度分别为 g/c m和 g/c m,流体计算时步为 s,D D D A计算时步为 s,步固体计算对应步流体计算,分别用、和 个圆盘进行颗粒自由沉降模拟圆盘颗粒生成可采用文献 提出的高效算法,该算法可在 s内生成 万颗粒湘潭大学学报(自然科学版)年10个圆盘20个圆盘40个圆盘60个圆盘80个圆盘100个圆盘t=0 st=1 s500400300200100050040030020010005004003002001000500400300200100050040030020010005004003002001000t=0 st=1 st=0 st=1 st=0 st=1 st=0 st=1 st=0 st=1 s图流固耦合测试模型F i g T h e t e s tm o d e l o f f l u i d s o l i dc o u p l i n g图 给出了各种流固耦合模拟工况下种方法计算固含率的耗时从图可以看出:)A PM和C BM的计算效率比MCM高约个数量级,比UDM高约个数量级;)C BM效率略小于A PM;)UDM计算效率比MCM高约个数量级总体上看,种计算方法的效率排序为:A PMC BMUDMMCM 20406080100圆盘颗粒数目3530252015105484032241680MCM和UDM（104?ms）APM和CBM（102?ms）MCMUDMCBMAPM图 流固耦合计算耗时F i g T h e t i m ec o n s u m p t i o no f f l u i d s o l i dc o u p l i n g结论)MCM和UDM取 和 左右的随机点和子单元时可保证固含率计算精度,此时误差小于)A PM容易达到较高计算精度;当圆盘直径大于 倍格子长度时,A PM的计算误差小于 )A PM和C BM的计算效率比MCM高约个数量级,比UDM高约个数量级;C BM效率略小于A PM;UDM比MCM计算效率高约个数量级 种计算方法的效率排序为:A PMC BMUDMMCM)用浸入运动边界法进行D D D A L BM流固耦合时,格点固含率计算应采用A PM,当计算精度要求很高时应采用C BM 第期夏明,等浸入运动边界格子B o l t z m a n n方法种固含率计算方法对比研究参考文献何雅玲,王勇B o l t z m a n n方法的理论及应用M北京:科学出版社,郭照立,郑楚光格子B o l t z m a n n方法的原理及应用M北京:科学出版社,N GUY E NNQ,L A D DAJC S e d i m e n t a t i o no f h a r d s p h e r e s u s p e n s i o n s a t l o wR e y n o l d sn u m b e rJJ o u r n a l o f f l u i d sm e c h a n i c s,:F E N GZG,M I CHA E L I D E SEE P r o t e u s:Ad i r e c t f o r c i n gm e t h o d i nt h es i m u l a t i o n so fp a r t i c u l a t e f l o w sJJ o u r n a l o f f l u i dm e c h a n i c s,:L A D DAJC N u m e r i c a l s i m u l a t i o n so fp a r t i c u l a t es u s p e n s i o n sv i aad i s c r e t i z e dB o l t z m a n ne q u a t i o n s P a r t T h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nJJ o u r n a l o f s t a t i s t i c a lp h y s i c s,():L A D DAJC N u m e r i c a l s i m u l a t i o n so fp a r t i c u l a t es u s p e n s i o n sv i aad i s c r e t i z e dB o l t z m a n ne q u a t i o n s P a r t N u m e r i c a l r e s u l t sJJ o u r n a l o f f l u i dm e c h a n i c s,:CHUNB,L A D D A I n t e r p o l a t e db o u n d a r yc o n d i t i o nf o r l a t t i c eB o l t z m a n ns i m u l a t i o no f f l o w si nn a r r o wg a p sJP h y s i c a l r e v i e wE,():F E N GZG,M I CHA E L I D E SEE T h e i mm e r s e db o u n d a r y l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o d f o r s o l v i n g f l u i d p a r t i c l e s i n t e r a c t i o np r o b l e m sJJ o u r n a l o f c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s,():P E S K I NCS N u m e r i c a l a n a l y s i so f b l o o d f l o wi n t h eh e a r tJJ o u r n a l o f c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s,:WUJ,S HUC I m p l i c i tv e l o c i t yc o r r e c t i o n b a s e d i mm e r s e db o u n d a r y l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o da n d i t sa p p l i c a t i o nJJ o u r n a l o f c o m p u t a t i o n a l p h y s i c s,():WAN G M,F E NGYT,QUT O n t h e i m p l i c i t i mm e r s e dm e t h o d i nc o u p l e dd i s c r e t e e l e m e n t a n d l a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o dJI n t e r n a t i o n a lj o u r n a lf o rn u m e r i c a la n da n a l y t i c a lm e t h o d si ng e o m e c h a n i c s,():NO B L EDR,T O R C Z YN S K IJR Al a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o df o rp a r t i a l l ys a t u r a t e dc o m p u t a t i o n a l c e l l sJI n t e r n a t i o n a l j o u r n a l o fm o d e r np h y s i c sC,():C O O KB,NO B E LD,P R E E C ED,e ta l D i r e c ts i m u l a t i o no fp a r t i c l e l a d e nf l u i d sC/G I R A R DJ,L I E B MAN M,B R E E D SC,e t a l e d s P a c i f i cR o c k s R o t t e r d a m:B a l k m a,:F E NG Y T,HAN K,OWE N DRJ C o u p l e dl a t t i c eB o l t z m a n nm e t h o da n dd i s c r e t ee l e m e n tm o d e l i n go fp a r t i c l et r a n s p o r ti nt u r b u l e n tf l u i df l o w s