1、程溪中学2014-2015学年下学期中考高二数学(理科)试题(考试时间:120分钟 总分:150分)一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)1设复数的共轭复数是,z3i,则等于()A3i B3i C.i D.i2若a1,2,3,5,b1,2,3,5,则方程yx表示的不同直线条数为()A11 B12 C13 D143正弦曲线ysin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 ()A. B0,)C. D.4已知,那么n的值是 ( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)155函数的单调递减区间是 ( )
2、A(1, 2) B(, 1)与(1, +)C(, 2)与(0, +) D(2,0)6“函数在一点的导数值为0”是“函数在这点取极值”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件7使函数f(x)=x+2cosx在0,上取最大值的为 ( )A.0 B. C. D.8某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A个 B个C个 D个9如图,阴影部分的面积为()A2 B2 C. D.10已知二次函数的导数为,对于任意实数都有,则的最小值为( )A B C D二、填空题(本题共5小题,每小题分,共20分)11dx_.12的展
3、开式中的项的系数是 13. 定义在上的可导函数,已知的图象如图所示,则的增区间是 .14已知函数在区间上的极大值与极小值分别为,则 15如图(1),在三角形中,若,则;若类比该命题,如图(2),三棱锥中,面,若点在三角形所在平面内的射影为,则有_。三、解答题(本大题共6小题,共80分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16(本题满分13分)已知的展开式的系数和大992。求在的展开式中:(1)常数项(用数字表示);(2)二项式系数最大的项。;17(本题满分13分) 已知曲线y.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程;18(本题满分13分)4位男生和
4、4位女生共8位同学站成一排,计算下列情况:(1)男生甲和女生乙相邻排队的概率;(2)男生甲和女生乙顺序固定的概率;(3)男生甲不站左端且女生乙不站右端队的排法有几种19(本题满分13分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台,每台电脑的价格为4 000元,每次订购电脑的其它费用为1 600元,年保管费用率为10%(例如,一年内平均库存量为150台,一年付出的保管费用60 000元,则10%为年保管费用率),求每次订购多少台电脑,才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小?20(本题满分14分) 已知是正整数,的展开式中的系数为7,(1)试求中的的系数的最小值;(2)对于使的的系数为最小的,求
5、出此时的系数;(3)利用上述结果,求的近似值(精确到0.01)21(本题满分14分)设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当aln 21且x0时,exx22ax1.程溪中学2014-2015学年下学期中考高二数学(理科)答案一、 选择题(更正:第6题补充函数可导前提)DCACD BBACC二、 -120 R 32 17解析y,y.(1)显然P(1,1)是曲线上的点所以P为切点,所求切线斜率为函数y在P(1,1)点导数 即kf(1)1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y1(x1),即为yx2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y上则可设过该点的
6、切线的切点为A,那么该切线斜率为kf(a).则切线方程为y(xa)将Q(1,0)坐标代入方程:0(1a)解得a,代回方程整理可得:切线方程为y4x4.18. 解:(1)将甲、乙看成一个元素,考虑其顺序,有2种情况,将甲乙与其他人进行全排列,共7个元素,有A77=5040种情况,共有25040=10080种情况;所以概率为0.25.4分(2)先对8个人全排列,有A88=40320种情况,其中甲乙的顺序有两种情况,即甲在乙前或甲在乙后,数目各占一半,则甲、乙顺序一定的情况有40320=20160种情况,所以概率为0.5.8分(3)男生甲站右端则有A77=5040种站法男生甲不站右端则有6种选择,而
7、女生乙也有6种选择,剩下6人有A66=720种排法,则有66720=25920种所以共有5040+25920=30960种.13分19解设每次订购电脑的台数为x,则开始库存量为x台,经过一个周期的正常均匀销售后,库存量变为零,这样又开始下一次的订购,因此平均库存量为x台,所以每年的保管费用为x4 00010%元,而每年的订货电脑的其它费用为1 600元,这样每年的总费用为1 600x4 00010%元令y1 600x4 00010%,y5 0001 6004 00010%.令y0,解得x200(台)也就是当x200台时,每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值,最小值为80 000元2
8、0 解:根据题意得:,即 (1)的系数为将(1)变形为代入上式得:的系数为故当的系数的最小值为9(1) 当的系数为为21 、(1)解由f(x)ex2x2a,xR知f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是(ln 2,),f(x)在xln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1,xR,于是g(x)ex2x2a,xR.由(1)知当aln 21时,g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0)而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0,即exx22ax10,故exx22ax1.