高一数学竞赛试卷.doc

班级 姓名 考号
河口中学高一数学竞赛试卷
命题：王家明 河口中学数学组 2011-5
注：1、答案必须写在答题卷上，否则不计总分。2、满分150分。时间120分钟。
一、选择题（每题5分 共10小题 共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）．
1．设集合≤x≤0},B={x|-1≤x≤3},则A∩B=（ ）
A．［-1,0］ B．［-3,3］ C．［0,3］ D．［-3,-1］
2.下列图像表示函数图像的是（ ）

A B C D
3.已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（ ）
A.（－14，16） B.（22，－11）
C.（6，1） D.（2，4）
5.函数的实数解落在的区间是（ ）

6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ）

7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )
A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，P为△ABC所在平面外一点
PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。
A 4 B 3 C 2 D 1
9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（　　）
A B C D
10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ）

二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分
11.设，则的中点到点的距离为 .
12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：
cm），则此几何体的表面积是 .
13.设函数在R上是减函数，则的
范围是 .
14.已知点到直线距离为，
则= .

15 设的值等于＿＿＿＿ .

一．选择题（10×5=50分） 分数
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二：填空题（5×5=25分）
11. 12._______________________

13._________________ 14._______________

15．

三、解答题 (本大题共6个小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16. （本小题满分12分）
求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）.

17. （本小题满分12分）
如图，的中点.
（1）求证：；（2）求证：；

18. (本小题满分13分)已知α∈(0，)，且cos2α＝.
(Ⅰ)求sinα＋cosα的值；
(Ⅱ)若b∈(，π)，且5sin(2α＋β)＝sinβ，求角β的大小 ．

19. （本小题满分13分）
已知圆：， （1）求过点的圆的切线方程；
（2）点为圆上任意一点，求的最值。

20. (本小题满分13分)已知函数（x∈R）.
⑴若有最大值2，求实数a的值；⑵求函数的单调递增区间.

21.（本小题满分13分）
某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，
（1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。
（2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？
（3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。

高一数学竞赛试卷答案
一选择（每题5分） 1-5 A C B D B 6-10 B D A B C
二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3
15.
三解答题
16.（12分）

17.（12分） （1）取 ………………1分
为中点，

（2）

18、解：(I)由cos2α＝，得1－2sin2α＝. ……2分
所以sin2α＝，又α∈，所以sinα＝. ……3分
因为cos2α＝1－sin2α，所以cos2α＝1－＝.
又α∈，所以cosα＝ ……5分
所以sinα＋cosα＝＋＝. ……6分
(Ⅱ)因为α∈，所以2α∈，
由已知cos2α＝，所以sin2α＝＝ ＝ ……7分
由5sin(2α＋β)＝sinβ，得5(sin2αcosβ＋cos2αsinβ)＝sinβ. ……9分
所以5(cosβ＋sinβ)＝sinβ，即3cosβ＝－3sinβ，所以tanβ＝－1. ……11分
因为β∈， 所以β＝. ……13分
19.13分
（1）设圆心C，由已知C(2,3) , ………………1分
AC所在直线斜率为， ……………………2分
则切线斜率为，………………………1分
则切线方程为。 ……………………… 2分
（2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。………………………1分
圆心（2，3），半径1，设=k，……………1分
则直线为圆的切线，有，………………2分
解得，………………2分
所以的最大值为，最小值为 ………………2分
20、解：⑴，
当（k∈Z）时，有最大值， …3分
即（k∈Z）时，有最大值为3＋a，∴3＋a＝2，解得；…6分
⑵令， …9分
解得（k∈Z） …12分
∴函数的单调递增区间（k∈Z）. …14分
21.13分
（1） ……………………4分
（2）当时，……………1分
即，解得，故; …………………2分
当时， …………………1分
即，解得，故。…………………2分
所以
（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。……………………4分

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