高一数学上学期新生入学考试试题.doc

杭州市夏衍中学2016学年第一学期高一新生入学考试
数 学 (问卷)
总分：100分 时间：90分钟
一. 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列运算正确的是（ ）
A、a2·a3=a6 B、a8÷a4=a2 C、a3+a3=2a6 D、(a3)2=a6
2．一元二次方程2x2-7x+k=0的一个根是x1=2,则另一个根和k的值是 ( )
A．x2=1 ，k=4 B．x2= - 1, k= -4 C ．x2=,k=6 D．x2= ,k=-6
3．如果关于x的一元二次方程中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( )
A． B． C． D．
4．二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( 　)
　　A.(-2,6)，x=-2　B.(2,6)，x=2 　　 C.(2,6)，x=-2　　 D.(-2,6)，x=2
5．已知关于只有一个解，则化简的结果是（ ）
A、2a B、2b C、2c D、0
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
7. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
8．已知四边形的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结各边中点得四边形，顺次连结各边中点得四边形，以此类推，则为（ ）
A．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形；
C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.
9．如图 ,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
B
D
C
α
β
A

若
A．40 B．
C． 60 D．不能确定

10．如图为由一些边长为1cm正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm2。

正视图 左视图 俯视图
A． 11 B．15 C．18 D．22
二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数中，自变量x的取值范围是
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝10，CD＝6，则sinB的值为_____
13．如图 ，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则AC的长为_________
A
B
D
C
图4
O
.
A
B
C
D

14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡，
则4张贺年卡不同的拿法有__________种。
15. 对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，
计算f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+
f（2）+ f（3）+ … + f（2014）+ f（2015）+ f（2016）= .
三. 解答题（共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分10分）
（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
（2）先化简，再求值：已知，求的值．

17. （本小题满分10分）
已知集合A=，B={x|2<x<10}，C={x|x<a}，全集为实数集R．
（1）求A∪B，(CRA)∩B； （2）如果A∩C≠φ，求a的取值范围．

18．（本小题满分10分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0.
⑴ 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
⑵ 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.

19．（本小题满分10分）
已知函数．（1）用定义证明是偶函数；
（2）用定义证明在上是减函数；
（3）作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值．

20.（本小题满分10分）
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C（0，b），O为原点.
（1）求m的取值范围；
（2）若且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标.
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与⊿ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.
夏衍中学高一新生入学考试 数学参考答案
一. 选择题（每小题3分，共30分）
题次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
D
C
D
B
B
C
二. 填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．函数中，自变量x的取值范围是 ．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝10， CD＝6，则sinB的值为_____。
13．如图 ，在⊙O中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则AC的长为_________。
A
B
D
C
图4
O
.
A
B
C
D

14．同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡，
则4张贺年卡不同的拿法有___9__ 种。
15. 对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，
计算f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+
f（2）+ f（3）+ … + f（2014）+ f（2015）+ f（2016）= 2016 .
三. 解答题（共5小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分10分）（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
解：
由（1）得：x>-1
由（2）得： 所以原不等式组的解集为：

------------------5分
（2）先化简，再求值：已知，求的值．
解：当时，

------------------10分
17. （本小题满分10分）
解：（1）A∪B={x|1≤x<10}
(CRA)∩B={x|x<1或x≥7}∩{x|2<x<10}
={x|7≤x<10}
（2）当a>1时满足A∩C≠φ
18．（本小题满分10分）已知关于ｘ的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0.
⑴ 求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
解：（1）

所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。------------------5分
（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
1）b或c中至少有一个等于a= 4，即：方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0有一根为4，
可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；------------8分
2）b=c时，
得k=,方程为x2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时ABC不能构成三角形；
综上，三角形ABC周长为10。 --------------------10分
19．（本小题满分10分）
（1）证明：函数的定义域为，对于任意的，都有
，∴是偶函数． --------3分
（2）证明：在区间上任取，且，则有
，
∵，，∴
即
∴，即在上是减函数．---------------7分
（3）解：最大值为，最小值为．------------------10分
20.（本小题满分10分）
已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C（0，b），O为原点.
（1）求m的取值范围；
（2）若且OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及A、B、C的坐标.
（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发以相同的速度沿AB、OC向B、C运动，联结PQ与BC交于M，设AP=k，问是否存在k，使以P、B、M为顶点的三角形与⊿ABC相似.若存在，求所有的k值，若不存在说明理由.

解：（1）利用判别式解得 ------------------2分
(2)注意条件 可得，从而，
所有，

所以 满足条件的抛物线图象如图所示
依题意 ，而，
所以有，解得（舍去）
从而为所求的抛物线解析式
令得A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）------------------6分
（3）⊿PBM与⊿ABC相似有两种情况：
1） 当PQ∥AC，AP=OQ=k，由，
得，解得 （10分）
2)当PQ与AC不平行，设有∠ACB=∠MPB，
过B作AC的垂线，垂足为D，
利用,求得BD=
由Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ，则有，即，化简得,解得或，但由CQ=4-k，知0<k<4，所以只有k=2 ，综上1）2）所求的k值是或k=2. ------------------10分