高一数学上学期第二次月测试题.doc

灵宝一高2016-2017学年度上期第二次月清考试
高一数学
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为(　　).
A．3 B．2 C．1 D．4
2．给出下列命题：
① 两条直线a，b没有公共点，则a与b是异面直线；
② 若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线；
③ 若直线m ⊥平面α，直线n ∥平面α，则直线m 与n垂直；
④ 若平面α⊥平面γ, 平面β⊥平面γ，平面α∩平面β＝，则直线⊥平面γ.
其中真命题的个数为(　　) ．
A．3 B．2 C．1 D．0
3．正△AOB的边长为4，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积 是(　　)．
A． B. C. D．2
4．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，E是AC的中点，DE⊥AC，则下列正确的是(　　) ．
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
5．已知是(－∞，＋∞)上的减函数，那么的取值范围是(　) ．
A． B. C. D.
6．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中错误的是(　　) ．
A．若m∥α，m∥n，n ⊄α , 则n∥α
B．若α∥β，m⊥α，n ⊂β，则m⊥ n
C．若m ⊂α，n ⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n ⊄β，则n∥β
7．已知函数，若∈(1，2)，∈(2，＋∞)，则 (　　) ．
A．＜0，＞0 B．＜0，＜0
C．＞0，＜0 D．＞0，＞0
8．在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝3，则点P到平面ABC的距离为(　　) ．
A. B. C. D.
9．若关于的方程|－1|＝2 (＞0且≠1)有两个不等实根，则的取值范围是(　) ．
A．(0，1) B． C．(1，＋∞) D. (0，1)∪(1，＋∞)
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是 (　　) ．
A．异面直线CD1和A1D所成角为60°
B．AH
C．平面A1BD∥平面CB1D1
D．CC1与平面A1BD 所成角的正弦值为
11．已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是(　　) ．
A．7 B．8 C．9 D．10
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(　　)
A．6 B．4 C．6 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．函数的定义域为________．
14．如果正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为________．
15．直线过P(0，－1)，若直线与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点，则直线的倾斜角α的范围是________．
16．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1) B，C，H，G四点共面；
(2) 平面EFA1∥平面BCHG.

18．（本小题满分12分）
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1) 试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由；
(2)证明：平面AEC⊥平面B1BD D1．

19．（本小题满分12分）
已知函数，.
(1) 当是奇函数时，求实数的值；
(2) 在（1）的条件下，求的定义域；
(3) 判断函数的奇偶性，并用定义证明．

20．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．

21．（本小题满分12分）
已知二次函数，若(－1)＝0，且对任意实数均有≥0成立．
(1)设是奇函数，当，求的表达式；
(2)当∈[－3，3]时，是单调函数，求的取值范围．

22.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB .
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
2016-2017学年度上期月清试题
高一数学参考答案
1-5 DBCDB 6-10 CAABD 11-12 CA
13. 14. 15. 16.
17. 证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1，
又B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又∵G，E分别为A1B1，AB的中点，
∴A1G∥EB，且A1G = EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
18.解析(1)　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
(2)证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，D D1⊥平面ABCD
AC ⊂平面ABCD，所以D D1⊥AC
在正方形ABCD中，AC⊥BD，D D1∩BD ＝D，所以AC⊥平面B1BD D1
又AC⊂平面ACE，所以平面AEC⊥平面B1BD D1．
19. 解：（1）恒成立，∴函数的定义域为.
又函数是奇函数，∴，解得而，
经检验，当时，函数是奇函数.
(2)由(1)知，∴
∴解得－1＜x＜1，故函数的定义域为(-1，1)．
(3)由题知，的定义域为(-,)，关于坐标原点对称，又，∴为偶函数．
20.(1)证明　在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，
∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，
由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
21. 解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
∵对任意实数x均有f(x)≥0恒成立，
∴∴
∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，
易得
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－3，3]上是单调函数，
∴≤－3或≥3，解得k≤－4或k≥8.
故k的取值范围是(－∞，－4]∪[8，＋∞)．

22.解　(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PO⊥面ABCD，BD⊂面ABCD ∴PO⊥BD，
∵菱形ABCD中，OB＝OD， ∴PD＝PB，
在Rt△ABO中，AB＝2，∠OAB＝30°，
∴BO＝AB·sin 30°＝1，
∵PO⊥面ABCD，OB⊂面ABCD，∴PO⊥OB，
∴在Rt△POB中，PO＝，
∵底面菱形的面积S＝2××22＝2.
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×2×＝2.
(2)取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)．
在Rt△AOB中，AO＝AB·cos 30°＝＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.
在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE＝，
取EF的中点，连接D，则D⊥EF
在Rt△DE中，E＝ , ∴ cos∠DEF＝
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

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