基于SI模型的病毒传播动力学分析.pdf

第 43 卷 第 2 期许昌学院学报Vol.43.No.2 2024 年 3 月JOURNAL OF XUCHANG UNIVERSITYMar.2024收稿日期:2023-09-12基金项目:许昌学院教学研究项目(XCU2023-YB-48);河南省高校科技创新人才计划项目(22HASTIT018);河南省高校重点科研项目(24B110017)作者简介:杨文杰(1984),女,山西大同人,讲师,博士,研究方向:分岔与混沌.文章编号:1671-9824(2024)02-0012-05基于 SI 模型的病毒传播动力学分析杨文杰,宋文利,郑前前(许昌学院 数理学院,河南 许昌 461000)摘 要:创建了 SI 传播动力学模型,重点讨论了系统平衡点的存在性和稳定性,并运用连续动态系统分岔理论,利用 MATLAB 软件对系统的分岔情况进行了深入分析,同时考察了参数变化对系统的影响.在数值模拟阶段,对具有 Holling IV 型功能反应的病毒传播系统进行了详细分析,研究了疾病传播的特点和演变规律.关键词:SI 传染病模型;稳定性;分岔;常微分方程中图分类号:O193 文献标识码:A 包括新型冠状病毒(COVID-19)、H5N1 病毒、SARS、霍乱、天花、艾滋病等的传染性疾病(瘟疫)经常在全球范围内蔓延.其中,有些疾病或通过水平接触传播从一个人传染给另一个人或通过虫媒传播经由蚊虫传播给人.文1-3研究了此类传播的流行病模型.通过对流行病成因和主要影响因子的分析,文4-5寻找出控制和防治传染病的最优策略,为人类防治传染病提供理论依据和定量分析基础.理解这些传染病的传播规律并采取措施防止其扩散,建立相应的数学模型是一项复杂而重要的任务.许多学者已经在这个问题上取得了丰硕的研究成果,然而,参数的变化对这些传染病系统的稳定性及分岔的影响仍需要进一步深入研究.1 模型的建立首先,给出 SI 型的传染病传播动力学模型dSdt=rS 1-Sk()-SIa+bS+S2,dIdt=SIa+bS+S2-mI-eI,(1)其中 S 和 I 分别表示 t 时刻易感者和感染者数量,r 表示易感者自然增长率,k 为易感者人群的环境承载力,m 0 为感染者死亡率,e 0 为感染者康复率,Sa+bS+S2为易感者的功能反应函数,其中 a 为易感者的半饱和常数,即在功能反应达到最大值一半时的易感者人群密度,为最大感染率.令b -2 a,此参数的设定旨在确保模型的合理性6.2系统平衡点的存在性分析易知系统(1)存在以下四种情况的平衡点,分别将它们记为 A0=0,0(),A1=k,0(),A1S1,I1(),A2S2,I2().由于平凡平衡点 A0和轴向平衡点 A1始终存在,下面着重分析平衡点 A1S1,I1()和第 43 卷第 2 期杨文杰,等:基于 SI 模型的病毒传播动力学分析A2S2,I2()的存在性.Aii=1,2()可通过下边的方程(2)推导得出 m+e()(Si)2+(m+e)b-Si+m+e()a=0(i=1,2),(2)其中方程根的判别式为 =(m+e)b-2-4 m+e()2a.假设 0,则方程(2)存在两个不相等的实根,Si=-m+e()b m+e()b-2-4 m+e()2a2 m+e()i=1,2(),同时,Ii=a+bSi+(Si)2 r 1-Sik()i=1,2().3系统的分岔情况 定理 17(跨临界分岔)如果 r 0,且系统(1)的参数满足下面条件a=kr r-br m+e()-kr m+e()()r2m+e()atc,则系统(1)存在跨临界分岔.证明 当 a=atc时,系统(1)在平衡点 A1处的 Jacobian 矩阵为JA1=-r-m+e()00(),当 a=atc时 det JA1()=0,JA1存在零特征值.设与其对应的特征向量为,与转置矩阵 JTA1的零特征值对应的特征向量记为,则=11()=-m+er1(),=11()=01().经计算可知TFaA1;atc()=01()00()=0,TDFaA1;atc()=01()r m+e()2kr2-r m+e()2kr=-r m+e()2kr 0,TD2F A1;atc(),()=2 e+m()2e+m()br+2kr()-r()k2r2 0.根据 Sotomayor8提出的三种常见分岔(跨临界分岔、鞍结分岔及 Hopf 分岔)的相关论证,可以得知系统(1)存在跨临界分岔.当 0 时,系统(1)具有两个不同的正平衡点.当 =0 时这两个平衡点合并为一个.0 时系统处于跨临界分岔.当不存在内部平衡点时,系统(1)在 asn处发生鞍结分岔,具体形式如下:a=m+e()b-()24 m+e()2 asn.此时,内部平衡点 Asn变为Ssn=-m+e()b2 m+e(),Isn=r asn+bSsn+S2sn()1-Ssnk()=-b m+e()-()rb+2rk()m+e()+r()4k m+e()3.定理 2(鞍结点分岔)当参数 a 取特定值 asn,且满足 0 0,即tr JA1()=r 1-Sk()-rSk-I a-S2()a+bS+S2()2=0,det JA1()=a-S2()m+e()3I2S2 0.定理 3(Hopf 分岔)假设参数满足平衡点 S1的存在条件.当 e=eH,使得 tr(JA1)e=eH=0 成立时,系统出现 Hopf 分岔,内部平衡点 A1的稳定性将发生改变.证明 在 e=eH处,假设 det eH()为 2eH(),内部平衡点 A1存在特征值 1,2eH()=i eH(),此时产生 Hopf 分岔.易验证dtr JA1()dee=eH 0.下面计算第一 Lyapunov 系数.设固定参数 e 为它的临界值 eH,则内部平衡点 A1的坐标变为SH1e=eH,IH1e=eH().此时进行变量变换S=Sh+SH1e=eH,I=Ih+IH1e=eH,并进行 Taylor 展开,系统(1)变为 Sh=10Sh+01Ih+20S2h+11ShIh+02I2h+30S3h+21S2hIh+12ShI2h+03I3h+P Sh,Ih(),Ih=10Sh+01Ih+20S2h+11ShIh+02I2h+30S3h+21S2hIh+12ShI2h+03I3h+Q Sh,Ih(),其中 10,01,10,01是 Jacobian 矩阵在平衡点 A1处特征值,并且 e=eH,P Sh,Ih()和 Q Sh,Ih()是关于Sh,Ih()的幂级数,即 ShIh满足 i+j 4.可得第一 Lyapunov 系数 l1如(3)式所示:l1=32Sh23a22-a4()3ShIh-a2+ab2+4abSh+6aS2h-S4h()a55+Sha1a45+2a2a1a35-a32a22+a4()-S2h+a()a25-2Sha23a2a5+S2h2Iha3a1a25+2Ih-S2h+a()a1()a75+Sha22(-S2h+a)2+a3a25-S2h+a()a55-Iha2(-S2h+a)3a65,(3)其中 a1=-S3h+3aSh+ab,a2=r2Shk-1()+Ih-S2h+a()a55,a3=IhSha25-rk+Ihb+2Sh()-S2h+a()a35,41第 43 卷第 2 期杨文杰,等:基于 SI 模型的病毒传播动力学分析a4=IhSh-S2h+a()a35,a5=S2h+bSh+a,=a2kH+m-Sha25()+a4.可知若 l1 0,Hopf 分岔是亚临界的.4数值模拟本节使用 MATLAB 对系统的性态进行数值模拟.首先关注了跨临界分岔的情况.设定参数为 a=13.6,根据给定系统平衡点存在的条件,选择适当的参数数值.在这种情况下,系统发生了跨临界分岔,并得到了以下的相图和时序图(见图 1),此时平衡点为 A1=2,0().图 1 r=0.5,k=2,b=1.2,m=0.3,e=0.7,=10 时的系统相图及时序图 下面选取a=11.56作为鞍结点参数,其他参数见图 2,利用PhasePlane工具箱进行分析,观察到系统出现鞍结分岔,如图 2,此时平衡点 A1=2.4,3.4().图 2 r=0.1,k=30,b=1.2,m=0.3,e=1.2,=12 时的系统相图及时序图 最后考察系统的Hopf分岔,令e=1,其他参数见图 3,在Phase Plane中使用Scan for equilibria命令.通过对数值窗口的特征值进行检测可发现 Hopf 分岔,如图 3 所示,此时平衡点为 A2=0.06,0.25().5 结论与展望主要探讨了系统平衡点的存在性和稳定性,并对系统的跨临界分岔、鞍结分岔和 Hopf 分岔进行了分析,同时考察了参数变化对系统的影响.对 Holling IV 型 SI 系统的动力学特性进行了详细分析,观察到了一些分岔现象.在数值模拟方面,通过对 SI 系统的分析,发现受感染个体的感染性和易感个体的防御性对系统有不同的影响.理论分析和数值模拟的结果表明,如果系统参数满足一定条件并且感染个体的感染性得到一定范围内的控制,系统中人群可以正常生活.定性分析提供了感染个体相对于最初易感染群体的密度侵袭强度.防疫部门可以有效地控制系统内感染者人数,而如果赋予 S 和 I 不同的含义,该模型还可用于揭示其他现象.51许昌学院学报2024 年 3 月图 3 r=0.5,b=1,m=0.1,k=0.57,a=0.5,=10 时的系统相图及时序图 参考文献:1 LAN G,SONG B,YUAN S.Epidemic threshold and ergodicity of an SEIR model with vertical transmission under the tele-graph noise J.Chaos,Solitons&Fractals,2023,167:113017.2 HUANG Y J S,HIGGS S,VANLANDINGHAM D L.Arbovirus-mosquito vector-host interactions and the impact on trans-mission and disease pathogenesis of arboviruses J.Frontiers in microbiology,2019,10:22.3 SAHA S,SAMANTA G.Analysis of a host-vector dynamics of a dengue disease model with optimal vector control strategy J.Mathematics and Computers in Simulation,2022,195:31-55.4 王海艳.具有时滞的传染病模型的稳定性和 Hopf 分支D.西安:西安科技大学,2012.5 闫娟娟.几类媒介传染病模型的稳定性分析D.兰州:兰州交通大学,2023.6 HUANG J C,XIAO D M.Analyses of bifurcations and stability in a predator-prey system with Holling type IV functional re-sponse J.Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2004,20(1):167-178.7 张德贤,陈中慧.非线性动态经济学-分岔与混沌M.青岛:青岛海洋大学出版社,1995.8 GUCKENHEIMER J,HOLMES P.Nonlinear oscillations,dynamical systems,and bifurcations of vector fields M.New York:Springer Science&Business Media,2013.Dynamic Analysis of Virus Transmission Based on the SI ModelYANG Wenjie,SONG Wenli,ZHENG Qianqian(School of Science,Xuchang University,Xuchang 461000,China)Abstract:In this paper,a Susceptible-Infected(SI)model is developed,and the systems dynamic behav-ior is thoroughly analyzed.The investigation focuses on examining the existence and stability of the systems equilibrium point.Utilizing bifurcation theory pertinent to continuous dynamic systems,the systems bifurcation and the impact of parameter variations on the system are explored.Additionally,a virus transmission system characterized by a Holling type IV functional response is scrutinized through numerical simulations,and the evo-lutionary patterns of novel coronavirus pneumonia are explored in detail.Key words:SI model;stability;bifurcation;ordinary differential equation责任编辑:史艳华61