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正余弦定理综合应用
学校：___________姓名：___________班级:___________考号:___________
一、解答题
1．已知的内切圆面积为,角所对的边分别为,若.
(1）求角;
(2)当的值最小时,求的面积.

2．设的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1)求的值;
（2）若,求的值；
（3）若，求面积的最大值.

3．在平面四边形中，，,，.

（1）求；
（2）若，求.

4．已知向量,，角，,为的内角，其所对的边分别为，,.
（1）当取得最大值时，求角的大小;
（2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围。

5．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a,b，c,且．
（1）判断△ABC的形状；
(2)若，求的取值范围．

6．如图：在中,,点在线段上,且。

(Ⅰ）若，．求的长；
(Ⅱ）若，求△DBC的面积最大值．

7．在中，角的对边分别为，。
（1）求角的大小；
（2)若的外接圆直径为2，求的取值范围.

8．在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知。
（1）求角的大小；
(2）求的取值范围.

9．设函数。
（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中，角的边分别为，若，求的最小值.

10．在 中，角所对的边分别为,且。
（1)若依次成等差数列，且公差为，求的值；
（2)若，试用表示的周长,并求周长的最大值。

试卷第5页，总5页
参考答案
1．（1）；(2）。
【解析】分析：（1）由正弦定理将边化角得，进而得；
（2）由内切圆的性质得,由余弦定理得，进而得，化简得，或，又，所以，从而得当时，的最小值为6，进而得面积。
详解：（1）由正弦定理得，
∴，
∵，∴，
∴.
(2）

由余弦定理得，
由题意可知的内切圆半径为1，
如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，
可得，
则，
于是，
化简得,
所以或，
又，所以，即，
当且仅当时，的最小值为6，
此时三角形的面积。
点睛：本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质，属于中档题.
2．（1）（2)（3）
【解析】分析：(1）由利用正弦定理得:，，利用两角和的正弦公式化简可得，从而可得结果;（2)直接利用正弦定理可得结果；（3）由余弦定理，利用基本不等式可得,，由三角形面积公式可得，从而可得结果.
详解：（1）中，
由正弦定理得：
∴
∴
∵，∴
∵，∴
（2）由，得
∴，∴
（3)由（1）知

由余弦定理得：，
∴
∴（当且仅当时取“=”号）

即面积的最大值为
点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强。解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
3．（1）;(2）.
【解析】分析：（1）由正弦定理即可；
（2）由已知可得,从而可得,再利用余弦定理即可。
详解：(1)在中,∵，∴，
∴.
由正弦定理得，∴.
∵,∴，∴.
（2）∵，∴,
又∵，
∴，∴，
在中
∵
，
∴。
点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.
4．(1)（2）
【解析】分析：(1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式,利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简,整理后得到关于的二次函数，由的范围求出的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时的范围，利用二次函数的性质即可求出取得最大值时的度数;
（2）由及的值,利用正弦定理表示出，再利用三角形的内角和定理用表示出，将表示出的代入中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出的取值范围．
详解：
（1）
，令，,
原式,当，即,时，取得最大值.
（2）当时,，。由正弦定理得：(为的外接圆半径)
于是

。
由，得，于是
,,
所以的范围是.
点睛：本题考查正弦定理,平面向量的数量积运算，正弦函数的定义域与性质，以及三角函数的恒等变形,熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5．(1） △ABC为的直角三角形．
(2) .
【解析】分析：（1)由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角的值,进而可判断三角形的形状;
（2)由辅助角公式对已知函数先化简，然后代入可求得,结合（1）中的角求得角的范围,然后结合正弦函数的性质，即可求解．
详解:(Ⅰ）因为，
由正弦定理可得．
即，所以．
因为在△ABC中，，所以又，
所以，．所以△ABC为的直角三角形．
（Ⅱ）因为 =．
所以．因为△ABC是的直角三角形，
所以，且，所以当时，有最小值是．
所以的取值范围是．
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.
6．(1）3（2)
【解析】分析：（1)根据题中的条件，结合余弦定理,可求得，设，由余弦定理可得:，应用余弦定理，写出的值，根据两角互补，得到，得到所满足的等量关系式，求得结果;
（2）利用同角三角函数关系式的平方关系求得，根据余弦定理以及重要不等式得到，利用三角形面积公式求得结果。
详解:(Ⅰ)∵
在中,设,由余弦定理可得： ①
在和中，由余弦定理可得：

又因为
∴得 ②
由①②得 ∴。
（2)
由
∴ （当且仅当取等号)
由，可得
∴的面积最大值为.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，同角三角函数平方关系，基本不等式求最值，三角形面积公式,诱导公式等，正确使用公式是解题的关键.
7．（1）.
(2)。
【解析】分析：（1）根据三角函数和差公式化简，得到角A、B、C的关系,以及A+B+C=π即可求出角C。
（2）设，利用正弦定理和外接圆直径为2，建立边和角的对应关系；再利用降幂公式，把A、B化成α的表达式；利用角α的取值范围即可求出的取值范围。
详解：（1）由得
即，则，即，即。
(2）由，设
则
则
即

由,
则
∴
∴,
故的取值范围是。
点睛:本题综合考查了三角函数和差公式、正弦定理、降幂公式的综合应用,结合知识点多，化简较为复杂,属于难题。在三角函数问题中，边角转化是解决问题的核心,解题前要确认把角转化成边，还是把边转化成角。
8．（1）;（2）．
【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件,再由余弦定理，求角即可;
（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围。
试题解析：（1）因为，由正弦定理得
，即，
则
根据余弦定理得
又因为，所以
（2）因为,所以
则

因为三角形为锐角三角形且，所以
则
所以，
所以
即的取值范围为
点睛：解决三角形中的角边问题时,要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题,利用三角中两角和差等公式处理,特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用,特别求角的时候，要注意分析角的范围,才能写出角的大小.
9．（1）2， ；（2)1．
【解析】试题分析：（1)先利用两角差的余弦公式和二倍角公式将化为，再利用三角函数的性质求其最值及取得最值时自变量的集合；（2）由（1）以及角A的范围解得角A,再利用余弦定理和基本不等式进行求解．
试题解析：（1）

的最大值为2．
要使取最大值， ，
故的集合为
(2）,即．
化简得
，只有．
在中，由余弦定理， ．
由知,即，当时取最小值1．，
考点：1．三角恒等变换；2．三角函数的图象与性质；3．余弦定理;4．基本不等式．
10．（1）（2）
【解析】试题分析：(1)由等差数列定义可得 ，再根据余弦定理得方程 ,解方程可得的值；（2）先根据正弦定理用表示表示边，再利用两角差正弦公式及配角公式将周长函数转化为基本三角函数,最后根据范围及正弦函数性质求最大值.
试题解析：(1) 成等差数列，且公差为，又，恒等变形得
,解得或,又。
(2)在中， ，
。 的周长 ，又，
当即时， 取得最大值。
答案第9页，总9页