2022届高考数学一轮复习-课后限时集训正弦定理、余弦定理的综合应用北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训正弦定理、余弦定理的综合应用北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训正弦定理、余弦定理的综合应用北师大版

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课后限时集训(三十二)正弦定理、余弦定理的综合应用
建议用时：40分钟

一、选择题
1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)
A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
B　[如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.

利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B.]
2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
A　[如图，由已知可得∠BAC＝30°，
∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，
∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，
又AB＝200 m，∴AC＝ m.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
即DC＝＝(m)．]
3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．6海里 B．6海里
C．8海里 D．8海里
A　[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，
∠ACD＝110°，
∴∠ACB＝110°－65°＝45°，
∴∠ABC＝180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，∴BC＝6，故选A.]
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　)
A. B.
C. D.－
C　[因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．8 B．4
C．2 D．
B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sin C＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absin C≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.]
6．(2020·贵州模拟)已知△ABC中，BC边上的中线AD＝3，BC＝4，∠BAC＝60°，则△ABC的周长为(　　)
A．＋4 B．4＋4
C．5＋4 D．2＋4
A　[根据余弦定理：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝13－12cos∠ADB，
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝13－12cos∠ADC，∴AB2＋AC2＝26，
又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝26－AB·AC＝16，∴AB·AC＝10，
∴(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC＝26＋20＝46，
所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝＋4，故选A.]
二、填空题
7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．
10　[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．
12　[由正弦定理＝，
可将asin B＝bcos A转化为
sin Asin B＝sin B·cos A.
又在△ABC中，sin B＞0，
∴sin A＝cos A，即tan A＝.
∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]
9.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．
　[设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.]
三、解答题
10．(2020·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin A＝a(2＋cos B)．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．
[解]　(1)因为bsin A＝a(2＋cos B)．
由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(2＋cos B)．
显然sin A＞0，所以sin B－cos B＝2.
所以2sin＝2，∵B∈(0，π)．
所以B－＝，∴B＝.
(2)依题意＝，∴ac＝4.
所以a＋c≥2＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号．
又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12.∴b≥2.
当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为4＋2.
11.(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.
(1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；
(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC.
[解]　(1)连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，故BD＝2，△BCD中，由余弦定理可得，
cos C＝
＝＝，
因为C为三角形的内角，故C＝，
所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，故求四边形ABCD的面积S＝＋.
(2)在△BCD中，由正弦定理可得
＝，
所以sin∠BDC＝＝，
因为∠ADC∈，
所以∠BDC∈，cos∠BDC＝，
Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，故∠ADB＝，
所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.

1．(2020·南昌模拟)在△ABC中，角A的平分线交BC边于点D，AB＝4，AC＝6，AD＝3，则BC＝(　　)
A． B．
C．3 D．8
A　[由角平分线性质可得，＝＝，故可设BD＝2x，CD＝3x，
△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB＝＝，
△ACD中，由余弦定理可得，cos∠ADC＝＝＝，
∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＝－cos∠ADC，
∴＝－，
解可得x＝，BC＝5x＝，故选A.]
2．(2020·朝阳区二模)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)

图1

图2
A. B.
C. D.
D　[由题可知：∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，
在△BAD中，由正弦定理可知：＝，即＝，
则AD＝，又在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，
所以AC＝，故选D.]
3．(2020·凉山模拟)如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，sin∠BAC＝cos B＝，AB＝13.
(1)求AC；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
[解]　(1)在三角形ABC中，sin∠BAC＝cos B＝，可得AC⊥BC，AB＝13，所以BC＝AB·cos B＝13×＝5，AC＝AB·sin B＝13×＝12，
所以AC＝12.
(2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝AC·BC＋AD·CD·sin D＝×12×5＋×AD·CD＝30＋·AD·CD，
在三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos ≥2AD·DC＋DC＝3AD·DC，
所以3AD·DC≤AC2＝122，所以AD·DC≤48，
所以S四边形ABCD≤30＋·48＝30＋12.
所以四边形ABCD面积的最大值为30＋12.

1．(2020·泉州模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．
80　[由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，
所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80.
故图中海洋蓝洞的口径为80.]
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3.
(1)求边DE的长；
(2)若AD＝3，求sin A的值．
[解]　(1)如图，在△ECD中，
S△ECD＝CE·CDsin∠DCE＝×3×5×sin∠DCE＝3，所以sin∠DCE＝.
因为0°＜∠DCE＜90°，
所以cos∠DCE＝＝.
所以DE2＝CE2＋CD2－2CD·CEcos∠DCE＝9＋25－2×3×5×＝28，所以DE＝2.
(2)因为∠ACB＝90°，所以sin∠ACD＝sin(90°－∠DCE)＝cos∠DCE＝，
在△ADC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin A＝.