高中数学-圆的方程题型总结-新人教A版必修2.doc

圆的方程题型总结
一、基础知识
1．圆的方程
圆的标准方程为___________________；圆心_________，半径________.
圆的一般方程为___________ _________ ____；圆心________ ，半径__________.
二元二次方程表示圆的条件为：
(1)_______ _______； (2) _______ __ .
2.直线和圆的位置关系：
直线，圆，圆心到直线的距离为d.
则：（1）d=_________________；
（2）当______________时，直线与圆相离；
当______________时，直线与圆相切；
当______________时，直线与圆相交；
（3）弦长公式：____________________.
3. 两圆的位置关系
圆:； 圆:
则有：两圆相离 __________________； 外切__________________；
相交__________________________； 内切_________________；
内含_______________________.

二、题型总结：

（一）圆的方程
☆1.的圆心坐标 ，半径 .
☆☆2．点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是（ ）
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
☆☆3．若方程所表示的曲线关于直线对称，必有（ ）
A． B． C． D．两两不相等
☆☆☆4．圆的圆心在（ ）
A．第一象限　　　B．第二象限　 C．第三象限　 D．第四象限
☆5.若直线与两坐标轴交点为A,B,则以线段为直径的圆的方程是 （ ）
A. B.
C. D.
☆☆6.过圆外一点作圆的两条切线,切点为,则的外接圆方程是（ ）
A. B.
C. D.
☆7.过点,且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A. B.
C. D.
☆☆8．圆关于直线对称的圆的方程是 （ ）
A． B．
C． D．
☆9．已知△ABC的三个项点坐标分别是A（4，1），B（6，－3），C（－3，0），求△ABC外接圆的方程．

☆10．求经过点A(2，－1)，和直线相切，且圆心在直线上的圆的方程．

2.求轨迹方程
☆11.圆上的动点，定点，线段的中点轨迹方程 ________________ .
☆☆☆12．方程所表示的图形是（ ）
A．一条直线及一个圆 B．两个点
C．一条射线及一个圆 D．两条射线及一个圆
☆☆13．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，
求：（1）动点M的轨迹方程；（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．

3.直线与圆的位置关系
☆14.圆的圆心到直线的距离是（ ）
A. B. C. 1 D.
☆☆15.过点的直线中,被截得弦长最长的直线方程为 （ ）
A. B.
C. D.
☆☆16.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
☆17.圆在点处的切线方程为( )
A． B．
C． D．
☆☆18．过点P（2，1）作圆C：x2+y2－ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a取值范围是（ ）
A．a＞－3 B．a＜－3
C．－3＜a＜－ D．－3＜a＜－或a＞2
☆☆19．直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
☆☆20．过点M（0，4），被圆截得弦长为的直线方程为 _ _．

☆☆☆21．已知圆C:及直线.

（1）证明:不论取什么实数,直线与圆C恒相交；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．

☆☆☆22．已知圆x2+y2+x－6y+m=0和直线x+2y－3=0交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆恰过坐标原点，求实数m的值．

4.圆与圆的位置关系
☆23.圆与圆的位置关系为
☆24．已知两圆.求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程_______ ____．
☆25．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（ ）
A．x+y+3=0 B．2x－y－5=0
C．3x－y－9=0 D．4x－3y+7=0
☆26．两圆，的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
☆☆☆27．已知圆的方程为，且在圆外，圆的方程为 =，则与圆一定（ ）
A．相离 B．相切 C．同心圆 D．相交
☆☆28．求圆心在直线上，且过两圆，
交点的圆的方程．

5.综合问题
☆☆29.点在圆上,点在直线上,则的最小 （ ）
A B C D
☆☆30.若点在直线上,直线分别切圆于两点,则四边形面积的最小值为（ ）
A 24 B 16 C 8 D 4
☆☆31. 直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．以上答案都不对
☆☆32.如果实数满足求:
（1）的最大值；
（2）的最小值；
（3）的最值.

☆☆33．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

圆的方程题型总结
参考答案
1. ；；2.D；3.C；4.D；5.A；6.D；7.C；8.A；
9．解：解法一：设所求圆的方程是． ①
因为A（4，1），B（6，－3），C（－3，0）都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是
可解得
所以△ABC的外接圆的方程是．
解法二：因为△ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，所以先求AB、
BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．
∵，，
线段AB的中点为（5，－1），线段BC的中点为，
∴AB的垂直平分线方程为， ①
BC的垂直平分线方程． ②
解由①②联立的方程组可得∴△ABC外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），
半径．
故△ABC外接圆的方程是．
10．解：因为圆心在直线上，所以可设圆心坐标为(a,-2a)，据题意得：
　， ∴ ，
∴ a =1， ∴　圆心为(1，－2)，半径为， ∴所求的圆的方程为.
11.；12.D；
13．解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P ．
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，
平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．
由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以
， ．所以有， ①
由（1）题知，M是圆上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足：②
将①代入②整理，得．
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆（如图中的虚圆为所求）．
14.A；15.A； 16.B； 17.D； 18.D； 19.C； 20.x=0或15x＋8y－32=0；
21．解:(1)直线方程,可以改写为,所以直线必经过直线的交点.由方程组解得即两直线的交点为A 又因为点与圆心的距离,所以该点在内,故不论取什么实数,直线与圆C恒相交.
(2)连接,过作的垂线,此时的直线与圆相交于、.为直线被圆所截得的最短弦长.此时,.即最短弦长为.
又直线的斜率,所以直线的斜率为2.此时直线方程为:
22．解：由
又OP⊥OQ， ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9－6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
23.相交； 24.； 25.C； 26.B； 27.C；
28．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）
将两圆的方程联立得方程组
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直线上，故设所求圆心坐标为，则它到上面的两上交点
（－4，0）和（0，2）的距离相等，故有，
即，∴，，从而圆心坐标是（－3，3）．
又， 故所求圆的方程为．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），弦AB的中垂线为，
它与直线交点（－3，3）就是圆心，又半径，
故所求圆的方程为．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）
同解法一求得两交点坐标为A（－4，0），B（0，2）．
设所求圆的方程为，因两点在此圆上，且圆心在上，所以得方程组 ，解之得，
故所求圆的方程为．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为
，
即 ．
可知圆心坐标为．
因圆心在直线上，所以，解得．
将代入所设方程并化简，求圆的方程．
29.A； 30.C； 31.B；
32.（1）；（2）；（3） ；.
33．解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为
① 轮船航线所在直线l的方程为
，即②
如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果
O与直线l无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．
由于圆心O（0，0）到直线l的距离
，
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．

12
用心 爱心 专心