正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题.doc

课程目标

掌握解三角形的题型
课程重点
正弦定理余弦定理综合应用，解三角形
课程难点
正弦定理余弦定理综合应用
教学方法建议
在掌握正余弦定理的前提下，熟悉并掌握解三角形的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练。复习与总结同时进行，逐步掌握解三角形的方法。
选材程度及数量

课堂精讲例题
搭配课堂训练题
课后作业
A类
（ 3）道
（ 2）道
（ 5 ）道
B类
（ 5 ）道
（ 4 ）道
（10 ）道
C类
（ 3 ）道
（ 3）道
（ 5）道

一、知识梳理
1．内角和定理：
在中，；；
面积公式:
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一： (解三角形的重要工具)
形式二： (边角转化的重要工具)
形式三：
形式四：
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：
(解三角形的重要工具)

形式二：

二、方法归纳
(1)已知两角A、B与一边,由A+B+C=π及，可求出角C，再求、.
(2)已知两边、与其夹角A，由2=2+2-2cosA，求出，再由余弦定理，求出角B、C.
(3)已知三边、、，由余弦定理可求出角A、B、C.
(4)已知两边、及其中一边的对角A，由正弦定理，求出另一边的对角B，由C=π-(A+B)，求出，再由求出C，而通过求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：

A>90°
A=90°
A<90°
>
一解
一解
一解
=
无解
无解
一解
<

a>bsinA
两解
无解
无解
a=bsinA
一解

a<bsinA
无解

（见图示）．

=sinA有一解 >>sinA有两解 ≥ 有一解 >有一解
三、课堂精讲例题
问题一：利用正弦定理解三角形
【例1】在中，若，,，则 .
【例2】在△ABC中，已知=,=,B=45°,求A、C和.
【解析】 ∵B=45°＜90°且sinB＜b＜,∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA== =,
则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,
c====.
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,
c====.
故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或
A=120°,C=15°, =.
【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA =,在上显然有两个解。在上的值域为（0,1】，在只有一解。
【适时导练】
1.（1）△ABC中，=8,B=60°,C=75°,求;
（2）△ABC中，B=30°, =4,c=8,求C、A、a.
【解析】（1）由正弦定理得.
∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
∴b==4.
（2）由正弦定理得sinC==1.
又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.
∴A=180°-(B+C)=60°, ==4.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设的内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求的周长；
（Ⅱ）求的值.
【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理，同时考查基本运算能力
【解析】（Ⅰ）∵
∴
∴的周长为.
（Ⅱ）∵，∴，
∴
∵，∴,故为锐角，
∴
∴.
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

【例4】（2010重庆文数）
设的内角A、B、C的对边长分别为、、,且3+3-3=4 .
(Ⅰ) 求sinA的值；
(Ⅱ)求的值.

【适时导练】
2 在△ABC中，、、分别是角A，B，C的对边，且=-.
（1）求角B的大小；
（2）若=，+=4，求△ABC的面积.
【解析】 （1）由余弦定理知：cosB=，
cosC=.
将上式代入=-得:
·=-
整理得: 2+2-2=-
∴cosB== =-
∵B为三角形的内角，∴B=.
（2）将=,+=4,B=代入
2=2+2-2cosB,得2=(+)2-2-2cosB
∴2=16-2,∴=3.
∴S△ABC=sinB=.
问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】（2011山东文数）
在ABC中，内角A，B，C的对边分别为，，c．已知．
（I）求的值；
（II）若cosB=，ABC 的周长为5，求的长。
【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦，在通过和角公式进行化简。
【解析】（I）由正弦定理，设
则
所以
即，
化简可得
又，
所以
因此
（II）由得

由余弦定得及得

所以
又
从而
因此b=2。
【思考】到底“具体什么情况下边化角，什么情况下角化边”
【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
【解题思路】对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) 化角化边都可以。
【解析】解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.
【思考】面对解三角形，可以考虑正弦定理，也可以考虑余弦定理，两种方法只是计算量上的差别。
【适时导练】
3． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8 sin2－2 cos 2A＝7．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
解:（1）∵ A＋B＋C＝180°，
∴＝90°－．∴ sin＝．
由8sin2－2cos2A＝7，
得8cos2－2cos2A＝7．
∴ 4(1＋cos A)－2(2 cos2A－1)＝7，
即(2cos A－1)2＝0．
∴ cos A＝　∵ 0°＜A＜180°，∴ A＝60°．
（2）∵ a＝，A＝60°，
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A，
∴ 3＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝9－3bc．
∴ bc＝2．
又b＋c＝3，∴ b＝1，c＝2或b＝2，c＝1．

问题四：三角恒等变形
【例7】（08重庆） 设的内角A，B，C的对边分别为,b,c，且A=，c=3b.求：
（Ⅰ）的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.
【解题思路】求的值需要消去角和三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系
【解析】（Ⅰ）由余弦定理得＝
故
（Ⅱ）解法一：＝＝
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得　
故
　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
　故
同理可得

从而
【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”
同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：
（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商数关系：
【适时导练】
4.（2009江西卷理）△中，所对的边分别为，,.
（1）求；
（2）若,求.
【解析】(1) 因为，即，
所以，
即 ，
得 . 所以,或(不成立).
即 , 得，所以.
又因为，则，或（舍去）
得
(2)，
又, 即 ，
得
问题五：判断三角形形状
【例8】在△ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，bcosA＝cosB，试判断三角形的形状.
【解题思路】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理
【解析】方法1：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝cosB ∴
∴ ∴ ∴
故此三角形是等腰三角形.
方法2：利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA＝cosB 又b＝2RsinB，＝2RsinA
∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB ∴sinAcosB－cosAsinB＝0
∴sin（A－B）＝0 ∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π
∴A－B＝0，即A＝B故三角形是等腰三角形.
【思考】判断三角形形状时一般从角入手，利用三角形内角和定理，实施关于三角形内角的一些变形公式.
【例9】. 在△ABC中，在中，分别是角A、B、C所对的边，若＝，
试判断三角形的形状.
【解析】：方法1：利用余弦定理将角化为边
由已知＝及正弦定理得＝
∴sin2A=sin2B
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法2：利用正弦定理将边转化为角.
∵acosA＝bcosB
∴
∴
∴a=b或者
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
【适时导练】
5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
【解析】2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
6.在△ABC中，、、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（2+b2）sin（A-B）=（2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.
【解析】方法一 已知等式可化为
2［sin（A-B）-sin（A+B）］
=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］
∴22cosAsinB=22cosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：
sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2
得2A=2B或2A=-2B,
即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.
方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB
由正、余弦定理,可得
2b= b2
∴2(b2+c2-2)=b2(2+c2-b2)
即(2-2)( 2+2-c2)=0
∴=或2+2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.
问题六：与其他知识综合
【例10】已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，,,c分别是角A，B，C的对边.
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。
【解析】（1）由得
由余弦定理得

（2）

即.
【思考】坐标运算：设，则：
向量的加减法运算：，。
实数与向量的积：。
平面向量数量积：=
【适时导练】
7（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
【解析】（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以
问题7：三角实际应用
【例11】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A、B之间的距离.
【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。
【解析】如图所示在△ACD中，
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD= km.
在△BCD中，∠BCD=45°，
∠BDC=75°，∠CBD=60°.∴BC==.
△ABC中，由余弦定理，得AB2=+-2×××cos75°
=3+2+-=5，∴AB=(km).∴A、B之间的距离为 km.
【例12】．（2007山东）如图,甲船以每小时海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处
时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲
船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方
向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图所示，连结A1B2，由已知A2B2=，
A1A2=，∴A1A2=A2B2，
又∠A1A2B2=180°-120°=60°
∴△A1A2B2是等边三角形，
∴A1B2=A1A2=.
由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°，
在△A1B2B1中，由余弦定理，
= A1B12+ A1B22- A1B1·A1B2·cos45°
=202+()2-2×20××=200.
∴B1B2=.
因此，乙船的速度的大小为
×60=（海里/小时）.
答 乙船每小时航行海里.
【思考】正弦定理和余弦定理所需条件。
【适时导练】
8.如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
【解析】在中，＝30°，＝60°－＝30°，
所以CD＝AC＝0.1
又＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分
在中，，
即AB＝
因此，
故B、D的距离约为0.33km。
9 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知， ，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。
【解析】作交BE于N，交CF于M． ，
，
．　
在中，由余弦定理，
.
课后自我检测
A 组
1.已知△ABC中，，则 ( )
【答案】
2.在中。若，，，则a= 。
【答案】 1
3.已知,,分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若=1, =, A+C=2B,则sinC= .
【答案】 1．
【解析】由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，
，
3.在中，=15, =10,A=60°，则=
A － B C － D
【答案】D
【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.
4．某人朝正东方向走千米后，向右转并走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么的值为 （ ）
A． B． C．或 D．3
【答案】C
5.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、,若(2+2-b2)tanB=,
则角B的值为 （ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】 D
6．已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
【解析】（I）由题意及正弦定理，得，，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得cosC=

=，
所以．
7．在中，角、、所对应的边分别为、、，且满足．
（I）求角的值；
（II）若，求的值．
【解析】（I）由正弦定理得，
，即，
由于，所以．
（II），
因为，故，
所以．
8在中，分别为内角的对边，且．[来源:Zxxk.Com]
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求．[来源:学科网ZXXK]
【解析】（Ⅰ）由，
得，
即．
从而，得．
∴,故．
（Ⅱ）由，得，
∴．
∵，
∴，
解得．

课后自我检测
B 组
1.若△的三个内角满足，则△ （ ）
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
【答案】C
【解析】由及正弦定理得a: :=5:11:13
由余弦定理得，所以角C为钝角
A
B
C

D
2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为 （ ）
A．10m B．20m
C．20m D．40m
【答案】 D
【解析】 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排
除A和B，再由.
3.（2010天津理）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是, ,，若，，则A= （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得
，
所以cosA==，所以A=300
4.(2008湖北)在△中，三个角的对边边长分别为,则
的值为 .
【答案】
5.在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积.
【解题思路】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
【解析】 （Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴.
∴△ABC的面积
6.在中，
（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ）求的值。
【解析】（1）在 中，根据正弦定理，，于是
（2）在 中，根据余弦定理，得
于是=，
从而

7. 在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
【解析】 在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°, ADB=60°
在△ABD中，AD=10, B=45°, ADB=60°，
由正弦定理得,
AB=.
8.设的内角所对的边分别为且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
【解析】（1）由得
又
，，，
又
（2）由正弦定理得：,

故的周长的取值范围为.
（2）另解：周长 由（1）及余弦定理

又
即的周长的取值范围为.
【能力提高】
1.（天津市河东区2009年高三一模）如图所示，在△ABC，已知,，AC边上的中线,
求：（1）BC的长度；
（2）的值。
【解析】

2.在中，分别为角的对边，且满足.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，设角的大小为的周长为，求的最大值.
【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
而，则；
（Ⅱ）由及正弦定理得，
而，
则
于是，
由
得，
当即时，
3 已知的三内角，，所对边的长分别为，，，设向量，，．
(1)求的值； (2)求的值．
【解析】(1)因为，所以，
得
又因为
（2）由及，得，
所以，
，

4. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)已知向量,函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积.
【解析】

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