椭圆的概念、性质-直线和椭圆的位置关系.doc

(完整word)椭圆的概念、性质,直线和椭圆的位置关系 高 三 数 学（第23周） 椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系【教学目标】 1、熟练掌握椭圆的定义:到两定点的距离之和等于定长(大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题. 2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（ab0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算. 3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题.【知识讲解】 例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,长、短轴都坐标上，且过点A(3，0），求椭圆的方程。 分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上,实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论. 解：1若焦点在x轴上，设椭圆的方程为,把点A（3，0）代入得则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为。2若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为后，不能简单地认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点（3，0）,则求焦点在y轴上的椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。例2、已知椭圆，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,若kOA+kOB=2,求直线斜率k。解：解方程组消去y，整理得（1+4k2）x2+32kx+60=0 =（32k)2-460(1+4k2）=16（4k2-15）0 设A(x1，y1）、B（x2，y2） kOA+kOB=2等价于 即y1x2+y2x1=2x1x2 即（kx1+4)x2+（kx2+4）x1=2x1x1 整理得(k1)x1x2+2（x1+x2）=0 x1+x2= x1x2= （k-1）+2=0 解之得 k=-15 满足0 k=15例3、已知椭圆C的直角坐标方程为，若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A （x1、y1)，B （x2，y2),两点（其中y1y2），且满足，试求直线的方程。解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0）,设的方程为y=k (x1)，则与C的两个焦点：A (x1、y1)，B (x2，y2)，y=k (x1） ，代入得： (3+4k2）x28k2x+4k212=0，x1+x2= x1x2= ，由条件，即x1=32x2 x2=，x1=，代入得：k2=,k=，易见x1x2，因y1y2，故k= 方程：y=例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30的平面所截,截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率. 解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b,由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30，则,椭圆的长轴长为8，短轴长为12，离心率。 例5、设A(x1,y1)为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。 分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e(0e1）的点的轨迹是椭圆,椭圆上任一点P(x1,y1）到左焦点F1的距离|PF1=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2=a-ex1；同理椭圆上任一点P(x1,y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式,它们在椭圆中有着广泛的运用. 解:由椭圆方程可知a2=2,b2=1则c=1，离心率，由焦半径公式可知,。又直线的方程为：即x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知，又点(x1，y1）在椭圆上，2y12=2=x12，为定值. 例6、已知椭圆,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到,请说明理由。 解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1)a2=4,b2=3,a=2，c=1，,，点M到椭圆左准线的距离,，或，这与x1-2,0)相矛盾,满足条件的点M不存在. 例7、直线：6x5y28=0交椭圆（ab2）于B、C两点，A(0，b）是椭圆的一个顶点，而ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程. 解：设BC的中点D（x0，y0），F（c，0），由定比分点公式可知，,又点D在直线上，又设B(x1，y1)、C（x2,y2）则 两式相减得：，代入得：，2a2-5bc=0 又a2=b2+c2由、可得c=2或。当c=2时，代入得b=4，则a2=20，当时,舍去。所求椭圆的方程为.例8、焦点在x轴上的椭圆绕上顶点逆时针旋转90后,一条准线方程为y=，求旋转前后的椭圆方程及它们的焦点坐标。解:a=，b=3,c=，旋转后椭圆的中心为（3,3) 3+= 3+= 解之得：m=4或(均满足5m+59) 旋转前椭圆的方程为和 其焦点坐标分别为（4，0)(4，0)和（-，0）（，0） 旋转后椭圆方程为和 其焦点坐标分别为（3，7)(3，-1）和（3，)、（3，)。 例9、已知椭圆（ab0）上两点A、B，直线上有两点C、D,且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y22y-8=0,求椭圆方程和直线的方程。 解:圆方程x2+y2-2y8=0即x2+（y1)2=9的圆心O（0,1）,半径r=3。 设正方形的边长为p,则,，又O是正方形ABCD的中心,O到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。 (1）设AB：y=x-2 由 y=x2 CD:y=x+4 x2+y2-2y8=0 得A（3，1)B（0，2），又点A、B在椭圆上,a2=12，b2=4，椭圆的方程为。 (2)设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为(0，4），（3,1）代入椭圆方程得：，此时b2a2（舍去）。 综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。 例11、曲线2x2+y2=2a2(a0）与连结A（-1，1）,B（2，3)的线段没有公共点,求a的取值范围。 解：（1)若A、B在椭圆外部，则方程2x2+y2=2a2与直线AB的方程2x3y+5=0组成的方程组无实数解，由 消去y得 22x2+20x+2518a2=0无实数解，令解得。 （2)若A、B两点都在椭圆内部，显然交点B在椭圆上时是线段AB与椭圆有公共点的最大椭圆此时可解得，时,椭圆与线段AB无公共点，故所求a的取值范围是或。 例12、AB是椭圆（ab0）中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值。 解：设A（x1，y1)B（x2，y2）,，,又点A、B在椭圆上,则： 为定值。说明:若一条动直线与椭圆相交于两个点A、B，我们常常采用“设点法”设出点A（x1，y1)，B（x2，y2）的坐标，然后把点的坐标代入椭圆的方程，两 式相减即可得到x1+x2，y1+y2及x1x2，y1-y2的关系了，往往可以简化计算，达到很理想的效果,这种“设而不求”的解题思想在解析几何中有着广泛的应用，我们在学习时要充分注意。例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OPOQ，PQ|=，求椭圆的方程。解:设所求椭圆方程为，依题知点P、Q的坐标满足方程组 (a2+b2）x2+2a2x+a2 (1-b2）=0 ，设的两个根分别为x1、x2，则y=x+1 P （x1,x1+1)、Q （x2，x2+1) OPOQ，|PQ|= x1x2=- 或 或 x1+x2= x1+x2= a2=2 a2= 或 故所求椭圆的方程为或 b2= b2=2, 例14、已知椭圆（ab0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，,求证：离心率；（2）若,求证:的面积为。 分析:的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。 证明:（1）在中，由正弦定理可知，则 （2）在中由余弦定理可知 。 例15、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在,但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化了运算。 解:设A（x1，y1)，B（x2,y2）,：把代入椭圆方程得：，即 ,， ，此时 令直线的倾角为,则 即OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。【一周一练】 一、选择题1、 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率e为 A. B。 C. D. 2、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 A. （0，+） B。 （0，2） C. （1，+) D。 （0，1）2、 曲线与曲线之间具有的等量关系： A。 有相等的长、短轴 B. 有相等的焦距 C. 有相等的离心率 D. 有相同的准线 4、P是椭圆上的一点,F1和F2是焦点，若F1PF2=30,则F1PF2的面积等于 A. B。 C。 D. 165、设一动点P到直线x=5的距离与它到点A(1,0）的距离之比为，则动点P的轨迹方程是 A。 B. C。 D. 6、设(），则关于x，y的方程x2cscy2sec=1所表示的曲线是 A。 实轴在y轴上的双曲线 B。 实轴在x轴上的双曲线C. 长轴在y轴上的椭圆 D。 长轴在x轴上的椭圆7、椭圆25x2150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是 A。（-3，5)(-3，3） B.（3，3）(3，5）C.（1，1)（7，1） D.（7,1）（-1，1）8、曲线y=与直线y=k（x1）+3有交点时，实数k的取值范围是( ）A.(，7(3-,+） B。-7，3C。 (-,71，+) D. -7,1 二、填空题 9、过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则AOB的面积为 _。 10、椭圆C与椭圆，关于直线x+y=0对称，则椭圆C的方程是_。11、到两定点F1（3，0），F2(9，0)的距离和等于10的点的轨迹方程是 。 12、已知椭圆的离心率，则a的值等于 _。 三、解答题 13、ABC中三边长度|AB、|BC、|CA|成等差数列，若B、C两点的坐标分别为B（3，0）C（-3,0），求顶点A的轨迹.14、已知椭圆的焦点F1（1,0)和F2（1,0），直线x=4是椭圆的一条准线,（1）求椭圆的方程；(2）设点P在这个椭圆上，且|PF1|PF2|=1，求cosF1PF2的值。15、已知椭圆，直线：，P是上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=OR|2，当P在上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 16、已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点A、B，且线段AB恰被直线平分？若存在，求出直线倾角的取值范围；若不存在，请说明理由。 17、设椭圆的中心是原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P距离等于的点的坐标.18、设椭圆C1：（ab0）,曲线C2：y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P，（1）试用a表示P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求ABP的面积，函数s （a）的值域；（3）证miny1,y2yn为y1、y2yn中最小的一个，设g （a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a)=ming（a)，s （a)的表达式.【一周一练答案】 一、选择题 1。 A 2. D 3。 B 4. B 5. C 6。 C 7。 B 8。 A 二、填空题 9. 10. 11。 12. 4或 三、解答题 13. 除点（6，0)（-6，0） 14。 1） 2）cosF1PF2= 15。 ,其中x、y不同时为零，轨迹是以（1，1)为中心，长短半轴分别为和,且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点 16. x（60,90)(90，120） 17.椭圆方程为； 椭圆上点（-，）和（,-）到P点的距离都等于。 18、1）P(） 2）s （a）的值域为（0,） 3） a2 a f （a)=ming (a）， s（a)= a