直线与椭圆的位置关系练习题目与答案.doc

直线与椭圆的位置关系练习（2）
1. 椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（ ） A．4　　　B．2　 　C．8　 　D．

解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，
又因为为的中位线，所以，故答案为A．

2. 若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围

解法一：
由可得，即

解法二：直线恒过一定点
当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即
当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即
综述：
解法三：直线恒过一定点
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即
3. 已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

3. 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，
即．，解得．
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．

4. 已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积
4. 解法一：由题可知：直线方程为
由可得，

解法二：到直线AB的距离
由可得，又

解法三：令则，其中
到直线AB的距离
由可得，

[评述]在利用弦长公式（k为直线斜率）或焦（左）半径公式时，应结合韦达定理解
5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．

5. 分析：可以利用弦长公式求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为，，所以．因为焦点在轴上，
所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而．

6. 已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程
6. 解法一：
令椭圆方程为，由题得：，
由可得，
又即
椭圆方程为
解法二：
令椭圆方程为，由题得：，
由作差得

又即
椭圆方程为
7. 已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
O

A
B
C
D
图8
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.

7. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.
设椭圆的标准方程是.

.
椭圆的标准方程是
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为
联立方程:
消去整理得,
有
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,
所以,,
即
所以,
即
得
所以直线的方程为,或.
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.
8. 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程
8.解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,
Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②
由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1
9. 椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．
9. （1）设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，
代入①化简得 .
(2) 又由（1）知
，∴长轴 2a ∈ [].
10.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求l的取值范围.
10 。解：当直线垂直于x轴时，可求得;
当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.
当时，，，
所以 ＝＝＝.
由 ， 解得 ，
所以 ，
y
O

.
.
.
M

x
.
综上 .

11.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
10.（1）解：依题意e ，
∴a＝3，c＝2，b＝1，
又F1(0，－2)，对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点，所求方程为
(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m
由消去y，整理得 (k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N，
∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0 即m2－k2－9＜0 ①
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得，
∴k＞或k＜－
∴直线l倾斜角

12. 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．
分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．
（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程．

解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，
故其方程为．
（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．

13. 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
11. 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，
即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，
即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

14. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．

12. 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则

①－②得．
由题意知，则上式两端同除以，有，
将③④代入得．⑤

（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得
， ⑧， ， ⑨
将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩
再将代入⑩式得： ， 即 ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．