方程型综合问题.doc

考点跟踪训练45　方程型综合问题
一、选择题
1．已知有10包相同数量的饼干，若将其中1包饼干平分给23名学生，最少剩3片．若将此10包饼干平分给23名学生，则最少剩多少片？(　　)
A. 0 B. 3 C. 7 D．10
答案　C
解析　设这包饼干有y片，则y>23x＋3(x是大于0的整数)，而10y＝230x＋30，因而＝10x＋＝10x＋1＋，考虑余数，故最少剩7片．
2．一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情况是(　　)
A．有两个不相等的正根 B．有两个不相等的负根
C．没有实数根 D．有两个相等的实数根
答案　C
解析　由x2＋x＋2＝0，得x2＋x＋＝－，所以2＝－，方程没有实数根．
3．(2010·攀枝花)下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(　　)
A．x2＋1＝0 B．9x2－6x＋1＝0 C．x2－x＋2＝0 D．x2－2x－1＝0
答案　D
解析　x2－2x－1＝0，x2－2x＋1＝2，(x－1)2＝2，x1＝1＋，x2＝1－.
4．(2010·莆田)在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是(　　)
A．x(x－1)＝10 B.＝10 C．x(x＋1)＝10 D.＝10
答案　B
解析　设有x人参加聚会，则每个人需握手(x－1)次，所以＝10.
5．设a、b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(　　)
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
答案　C
解析　根据题意，有a2＋a－2009＝0，a2＋a＝2009；又a＋b＝－1，所以a2＋2a＋b＝2008.
二、填空题
6．一家商店将某件商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润______元．
答案　60
解析　450×0.8－450÷(1＋50%)＝360－300＝60.
7．五一期间，百货大楼推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品，共节省2800元，则用贵宾卡又享受了________折优惠．
答案　九
解析　设贵宾卡又享受x折优惠，则有10000×0.8×＝10000－2800,800x＝7200，x＝9.
8．当k________时，关于x的一元二次方程x2＋6kx＋3k3＋6＝0有两个相等的实数根．
答案　±1
解析　当(6k)2－4×1×(3k2＋6)＝0时，方程有两个相等的实数根，解这个方程，得k＝±1.
9．已知a、b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式＋ab的值等于________．
答案　－1
解析　由根与系数的关系得a＋b＝2，ab＝－1，所以(a－b)(a＋b－2)＋ab＝(a－b)×0＋(－1)＝－1.
10．某县2008年农民人均年收入为7800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9100元．设人均年收入的平均增长率为x，则可列方程__________．
答案　7800(1＋x)2＝9100
三、解答题
11．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

解　(1)由已知，得C(3,0)，D(2,2)，
∵∠ADE＝90°－∠CDB＝∠BCD，
又∠AOD＝∠COD＝∠ADO，
∴AD＝AO＝BC＝2.
又∠DAE＝∠B＝90°，
∴△ADE≌△BCD，
∴AE＝BD＝1，∴OE＝1，
∴E(0,1)．
设过点E、D、C的抛物线的解析式为
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
将点E的坐标代入，得c＝1.
将c＝1和点D、C的坐标分别代入，
得解得
故抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1.
(2)EF＝2GO成立，证明如下：
∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，
∴点M的纵坐标为.
设DM的解析式为y＝kx＋b1(k≠0)，将点D、M的坐标分别代入，
得解得
∴DM的解析式为y＝－x＋3.
∴F(0,3)，EF＝2.
如图①，过点D作DK⊥OC于点K，则DA＝DK.

∵∠ADK＝∠FDG＝90°，∴∠FDA＝∠GDK.
又∵∠FAD＝∠GKD＝90°，∴△DAF≌△DKG.
∴KG＝AF＝1.∴GO＝1.∴EF＝2GO.
12．已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解　(1)∵对称轴x＝－＝－，
又∵OC＝3OB＝3，a>0，∴C(0，－3)．
把B(1,0)、C(0，－3)代入y＝ax2＋3ax＋c得
　解得a＝，c＝－3.
∴y＝x2＋x－3
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.
∵A(－4,0)，C(0，－3)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
代入求得：y＝－x－3，
令D，M，
则DM＝－x－3－
＝－(x＋2)2＋3.
当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD面积有最大值.
(3)如图①所示，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C(0，－3)，令x2＋x－3＝－3得
x1＝0，x2＝－3，
∴CP1＝3.∴P1(－3，－3)．
②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C(0，－3)，
∴可令P(x,3)，由x2＋x－3＝3得：
x2＋3x－8＝0，
解得x1＝或x2＝，
此时存在点P2和P3.

综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P1(－3，－3)，P2，P3.
13．(2011·北京)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A的坐标；
(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；
(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n,0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于N.若只有当－2<n<2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

解　(1)∵ 点A、B是二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3 (m>0)的图象与x轴的交点，
∴ 令y＝0，即mx2＋(m－3)x－3＝0，解得x1＝－1, x2＝.又∵ 点A在点B左侧且m>0，
∴ 点A的坐标为(－1,0)．
(2)由(1)可知点B的坐标为(，0)．
∵ 二次函数的图象与y轴交于点C，
∴ 点C的坐标为(0，－3)．
∵∠ABC＝45°，∴＝3，∴m＝1.

(3)由(2)得，二次函数解析式为y＝x2－2x－3.依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．
将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b中，
得解得
∴ 一次函数的解析式为y＝－2x＋1.