椭圆的概念、性质-直线和椭圆的位置关系.doc

完整word)椭圆的概念、性质,直线和椭圆的位置关系
高 三 数 学（第23周）
椭圆的概念、性质，直线和椭圆的位置关系
【教学目标】
1、熟练掌握椭圆的定义:到两定点的距离之和等于定长(大于两定点间的距离）的点的集合及椭圆的第二定义，并能灵活地运用定义来解决有关问题.
2、熟练掌握中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆标准方程、（a＞b＞0）及它们的顶点坐标、焦点坐标、准线方程和离心率、长轴长、短轴长、焦距焦半径的计算.
3、能运用图象法，判别式法来判断直线与椭圆的位置关系，结合一元二次方程根与系数的关系来讨论弦长、三角形面积、点到直线的距离等问题.
【知识讲解】
例1、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,长、短轴都坐标上，且过点A(3，0），求椭圆的方程。
分析：椭圆的长、短轴都在坐标轴上,实质上就表示椭圆的中心在原点、焦点在坐标轴上，那么椭圆的方程一定是标准形式，但是由于不知道椭圆的焦点到底在x轴，还是在y轴上，因此要分两种情形来讨论.
解：1°若焦点在x轴上，设椭圆的方程为,把点A（3，0）代入得
则a2=9，b2=1，所以所求椭圆方程为。
2°若焦点在y轴上，设椭圆的方程为同理可得a2=81，b2=9，此时椭圆的方程为。
说明：求出了焦点在x轴上的椭圆为后，不能简单地认为，焦点在y轴上的椭圆的方程就是。因为椭圆过一定点（3，0）,则求焦点在y轴上的椭圆仍应先设出方程，再用代入法求得。
例2、已知椭圆，直线y=kx+4交椭圆于A、B两点，O为坐标原点,若kOA+kOB=2,求直线斜率k。
解：解方程组消去y，整理得（1+4k2）x2+32kx+60=0
△=（32k)2-4×60(1+4k2）=16（4k2-15）〉0 设A(x1，y1）、B（x2，y2）
kOA+kOB=2等价于 即y1x2+y2x1=2x1x2
即（kx1+4)x2+（kx2+4）x1=2x1x1 整理得(k—1)x1x2+2（x1+x2）=0
∵x1+x2= x1x2= ∴（k-1）+2·=0
解之得 k=-15 满足△>0 ∴k=—15
例3、已知椭圆C的直角坐标方程为，若过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于A （x1、y1)，B （x2，y2),两点（其中y1〉y2），且满足，试求直线的方程。
解：由已知条件，可知椭圆C的左焦点F的坐标为（1，0）,设的方程为y=k (x—1)，则与C的两个焦点：A (x1、y1)，B (x2，y2)，y=k (x—1） ① ，①代入②得：
②
(3+4k2）x2—8k2x+4k2—12=0，x1+x2= ③ x1·x2= ④，由条件
∴，即x1=3—2x2 ⑤ ∴x2=，x1=，代入④得：k2=,k=±，易见x1〈x2，因y1〉y2，故k= ∴方程：y=—
例4、底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,截口是一个椭圆，求这个椭圆的长、短轴长及离心率.

解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b,由题意可知，b=R=6，又因为截面与底面所成角等于30°，则,∴,∴椭圆的长轴长为8，短轴长为12，，∴离心率。
例5、设A(x1,y1)为椭圆x2+2y2=2上任意一点，过点A作一条直线，斜率为，又设d为原点到直线的距离,r1、r2分别为点A到椭圆两焦点的距离。求证：为定值。
分析：根据椭圆的第二定义，即到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数e(0＜e＜1）的点的轨迹是椭圆,椭圆上任一点P(x1,y1）到左焦点F1的距离|PF1｜=a+ex1，到右焦点F2的距离|PF2｜=a-ex1；同理椭圆上任一点P(x1,y1）到两焦点的距离分别为a+ey1和a-ey1，这两个结论我们称之为焦半径计算公式,它们在椭圆中有着广泛的运用.
解:由椭圆方程可知a2=2,b2=1则c=1，∴离心率，由焦半径公式可知,。又直线的方程为：
即x1x+2y1y-2=0,由点到直线的距离公式知，，又点(x1，y1）在椭圆上，∴2y12=2=x12，∴，
∴为定值.

例6、已知椭圆,能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F1、F2距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到,请说明理由。
解：假设存在满足条件的点，设M（x1，y1)a2=4,b2=3,∴a=2，，c=1，∴,，点M到椭圆左准线的距离,∴，∴，∴或，这与x1∈[-2,0)相矛盾,∴满足条件的点M不存在.

例7、直线：6x—5y—28=0交椭圆（a＞b＞2）于B、C两点，A(0，b）是椭圆的一个顶点，而△ABC的重心与椭圆的右焦点F重合，求椭圆的方程

解：设BC的中点D（x0，y0），F（c，0），由定比分点公式可知，，∴,又点D在直线上，∴①
又设B(x1，y1)、C（x2,y2）则
两式相减得：
，
代入得：，∴2a2-5bc=0 ② 又a2=b2+c2
由①、②可得c=2或。
当c=2时，代入①得b=4，则a2=20，
当时,舍去。
∴所求椭圆的方程为.
例8、焦点在x轴上的椭圆绕上顶点逆时针旋转90°后,一条准线方程为y=，求旋转前后的椭圆方程及它们的焦点坐标。
解:a=，b=3,c=，旋转后椭圆的中心为（33) ∴3+=
∴3+= 解之得：m=4或(均满足5m+5〉9)
∴旋转前椭圆的方程为和 其焦点坐标分别为（—4，0)(4，0)和（-，0）（，0）
旋转后椭圆方程为和
其焦点坐标分别为（3，7)(3，-1）和（3，)、（3，)。
例9、已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D,且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2—2y-8=0,求椭圆方程和直线的方程。
解:圆方程x2+y2-2y—8=0即x2+（y—1)2=9的圆心O＇（0,1）,半径r=3。
设正方形的边长为p,则,∴，又O＇是正方形ABCD的中心,∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。
(1）设AB：y=x-2 由 y=x—2
CD:y=x+4 x2+y2-2y—8=0
得A（3，1)B（0，—2），又点A、B在椭圆上,∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
(2)设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为(0，4），（—3,1）代入椭圆方程得：，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。
例11、曲线2x2+y2=2a2(a＞0）与连结A（-1，1）,B（2，3)的线段没有公共点,求a的取值范围。
解：（1)若A、B在椭圆外部，则方程2x2+y2=2a2与直线AB的方程2x—3y+5=0组成的方程组无实数解，由 消去y得

22x2+20x+25—18a2=0无实数解，令
解得。
（2)若A、B两点都在椭圆内部，显然交点B在椭圆上时是线段AB与椭圆有公共点的最大椭圆此时可解得，∴时,椭圆与线段AB无公共点，故所求a的取值范围是或。
例12、AB是椭圆（a＞b＞0）中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：为定值。
解：设A（x1，y1)B（x2，y2）∴,，
∴,又点A、B在椭圆上,则：

∴为定值。
说明:若一条动直线与椭圆相交于两个点A、B，我们常常采用“设点法”设出点A（x1，y1)，B（x2，y2）的坐标，然后把点的坐标代入椭圆的方程，两

式相减即可得到x1+x2，y1+y2及x1—x2，y1-y2的关系了，往往可以简化计算，达到很理想的效果,这种“设而不求”的解题思想在解析几何中有着广泛的应用，我们在学习时要充分注意。
例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ|=，求椭圆的方程。
解:设所求椭圆方程为，依题知点P、Q的坐标满足方程组 ① ∴ (a2+b2）x2+2a2x+a2 (1-b2）=0 ③，设③的两个根分别为x1、x2，则
y=x+1 ②
P （x1,x1+1)、Q （x2，x2+1) ∵OP⊥OQ，|PQ|=
∴ x1x2=- ∴
或 或
x1+x2— x1+x2=—
∴ a2=2 a2=
或 故所求椭圆的方程为或
b2= b2=2,
例14、已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上除长轴端点外的任一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，（1）若，,求证：离心率；（2）若,求证:的面积为。
分析:的两个顶点为焦点，另一点是椭圆上的动点，因此，｜F1F2|=2c，所以我们应以为突破口，在该三角形中用正弦定理或余弦定理，结合椭圆的定义即可证得。
证明:（1）在中，由正弦定理可知，则 ∴
∴
（2）在中由余弦定理可知

∴

∴。
例15、过点作直线与椭圆3x2+4y2=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析：若直接用点斜式设的方程为，则要求的斜率一定要存在,但在这里的斜率有可能不存在，因此要讨论斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线的方程为，这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化了运算。
解:设A（x1，y1)，B（x2,y2）,：
把代入椭圆方程得：，即
,，

∴，此时
令直线的倾角为,则
即△OAB面积的最大值为，此时直线倾斜角的正切值为。
【一周一练】
一、选择题
1、 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率e为[ ］
A. B。 C. D.
2、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是[ ]
A. （0，+∞） B。 （0，2） C. （1，+∞) D。 （0，1）
2、 曲线与曲线之间具有的等量关系：[ ]
A。 有相等的长、短轴 B. 有相等的焦距
C. 有相等的离心率 D. 有相同的准线
4、P是椭圆上的一点,F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°,则△F1PF2的面积等于[ ]
A. B。 C。 D. 16
5、设一动点P到直线x=5的距离与它到点A(1,0）的距离之比为，则动点P的轨迹方程是［ ］
A。 B.
C。 D.
6、设θ∈(），则关于x，y的方程x2cscθ—y2secθ=1所表示的曲线是[ ]
A。 实轴在y轴上的双曲线 B。 实轴在x轴上的双曲线
C. 长轴在y轴上的椭圆 D。 长轴在x轴上的椭圆
7、椭圆25x2—150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是［ ]
A。（-3，5)(-3，3） B.（3，3）(3，—5）
C.（1，1)（—7，1） D.（7,—1）（-1，—1）
8、曲线y=与直线y=k（x—1）+3有交点时，实数k的取值范围是( ）
A.(—∞，—7]∪(3-,+∞） B。[-7，3—］
C。 (-∞,—7］∪［1，+∞) D. ［-7,1］
二、填空题
9、过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则△AOB的面积为 ________________。
10、椭圆C与椭圆，关于直线x+y=0对称，则椭圆C的方程是___________________。
11、到两定点F1（3，0），F2(9，0)的距离和等于10的点的轨迹方程是 。
12、已知椭圆的离心率，则a的值等于 _________。
三、解答题
13、△ABC中三边长度|AB｜、|BC｜、|CA|成等差数列，若B、C两点的坐标分别为B（3，0）C（-3,0），求顶点A的轨迹.

14、已知椭圆的焦点F1（—1,0)和F2（1,0），直线x=4是椭圆的一条准线,（1）求椭圆的方程；(2）设点P在这个椭圆上，且|PF1|—|PF2|=1，求cos∠F1PF2的值。

15、已知椭圆，直线：，P是上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·｜OP|=｜OR|2，当P在上移动时,求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

16、已知中心在原点，焦点在y轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点A、B，且线段AB恰被直线平分？若存在，求出直线倾角的取值范围；若不存在，请说明理由。

17、设椭圆的中心是原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P距离等于的点的坐标.

18、设椭圆C1：（a〉b>0）,曲线C2：y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P，（1）试用a表示P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积，函数s （a）的值域；（3）证min｛y1,y2……yn}为y1、y2……yn中最小的一个，设g （a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a)=min｛g（a)，s （a)｝的表达式.

【一周一练答案】
一、选择题
1。 A 2. D 3。 B 4. B 5. C 6。 C 7。 B 8。 A
二、填空题
9. 10.
11。 12. 4或
三、解答题
13. 除点（6，0)（-6，0） 14。 1） 2）cos∠F1PF2=
15。 ,其中x、y不同时为零，轨迹是以（1，1)为中心，长短半轴分别为和,且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点
16. x∈（60°,90°)∪(90°，120°）
17.椭圆方程为； 椭圆上点（-，—）和（,-）到P点的距离都等于。
18、1）P(）
2）s （a）的值域为（0,）
3） a2－ 〈a≤
f （a)=min｛g (a）， s（a)｝=
a〉