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(完整word)直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
解析几何作为数学研究的重要的、有效的工具,集几何与代数的优点于一体，为数学的研究带来了方便。它的基础是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论从定性的研究推进到可以计算的定量的层面。从下面几个关于直线与椭圆位置关系问题中可略见一斑：
一、公共点问题
通过方程判别式来判断直线与椭圆的位置关系,几何的交点问题与代数的方程根问题完美结合于此
例1、判断直线与椭圆的位置关系
解：由可得
(1）当时，直线与椭圆相交
（2）当时,直线与椭圆相切
（3）当时,直线与椭圆相离
例2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围
解法一:
由可得,即

解法二：直线恒过一定点
当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长,要使直线与椭圆恒有交点则即
当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即
综述：
解法三：直线恒过一定点
要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即

[评述］由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程与椭圆方程联立，消去或得到关于或的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交(2)直线与椭圆相切（3）直线与椭圆相离，所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点,并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断:如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点在椭圆内部或在椭圆上则
二、弦长问题
例3、已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2)及F1的直线交椭圆于A,B两点,求⊿ABF2的面积
解法一:由题可知：直线方程为
由可得,

解法二：到直线AB的距离
由可得,又

解法三：令则，其中
到直线AB的距离
由可得,

[评述］在利用弦长公式（k为直线斜率)或焦(左）半径公式时，应结合韦达定理解决问题。
三、中点问题
例4、已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是，求椭圆的方程
解法一：
令椭圆方程为，由题得：，
由可得,
又即
椭圆方程为
解法二：
令椭圆方程为，由题得:,
由作差得

又即
椭圆方程为
［评述]椭圆中心定，焦点定，所以椭圆的位置定，而且由准线方程可得一个方程，还有一个方程怎么找？根据直线与椭圆相交,可联立方程组，利用韦达定理解决,事实上就是把交点问题化归为方程根的问题,有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减，式中含有三个未知量,但直接联系了中点和直线的斜率，同样可得到a与b的关系（点差法）从而解决问题，但两者又各有弊端：韦达定理解决过程中易漏解,需关注直线的斜率问题；点差法则在确定范围方面略显不足。