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(完整word)平行四边形的判定典型例题及练习
平行四边形
一、 知识点复习
1、 平行四边形的判定

平行四边形的判定方法
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
④对角线相互平分的四边形是平行四边形。
2、 平行线等分线段和三角形中位线定理
（1） 平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

（2） 平行线等分线段定理的推论:
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

（3)三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（4)三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

3、三角形的重心
（1）重心的定义:三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
（2）重心的性质:三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。

二、 典型例题讲解
模块1：平行四边形的判定
题型1：平行四边形的判定
例题1：如图所示，在平行四边形中，分别是，的平分线,求证：四边形是平行四边形。

例题2:如图，在等边三角形中,是的中点，以为边向左侧作等边三角形.
（1） 求的度数.
（2） 取的中点,连接、。试证明四边形是平行四边形。

例题3：如图,在平行四边形中,为对角线，是上的点，且。
求证：四边形是平行四边形。

变式练习：
1.如图，在中，中线,相交于点，、分别是、的中点，连接，求证：四边形是平行四边形。

2。如图，已知，，,求证：四边形是平行四边形.

3.如图，四边形中，，作交于.的周长是，四边形的周长是，那么 .

题型2：添加条件证明平行四边形
例题4:如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形,则应添加的条件不能是（ ）

A、 B、 C、 D、
例题5：、、、在同一平面内,从①；②；③；④这四个条件中任选两个,能使四边形是平行四边形的选法有 种.
变式练习
1。（如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ）

A、 B、
C、 D、
2. 已知在四边形中,，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是( ）
A、 B、 C、 D、
3.如图所示，平行四边形中，、是对角线上两点，连接，，
，，添加 条件，可以判定四边形是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）

4。四边形中,，要使四边形成为平行四边形还需满足的条件是 (横线上只需填一个你认为合适的条件即可）
题型3:平行四边形的判定与性质的综合应用
例题6：已知：如图,平行四边形的两条对角线相交于点,是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点,连接。
（1） 求证:；
（2） 求证:四边形是平行四边形。

例题7：如图所示，为等边内任意一点，，，，并且、、分别在、、上,求证：．

例题8:如图所示，是的角平分线，点，分别在边,上,且。
（1） 求证：；
（2） 若，求四边形的面积.

变式练习
1. 如图，是等边三角形外一点，且,,，若的周长是36，则= .

2.如图，在平行四边形中，交于点,,,垂足分别为，求证：四边形为平行四边形.

3. 如图所示，在平行四边形中,，分别是的中点，.
（1） 求证四边形是平行四边形；
（2） 求证.

题型4：平行四边形中的动点问题
例题18:如图,在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动．试探究：几秒后四边形ABQP是平行四边形？

例题19:如图，在四边形中，，，，是的中点。点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动。点停止运动时,点也随之停止运动。当运动时间为多少秒时,以
为顶点的四边形是平行四边形.

变式练习
1。如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC,BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，______秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．

2. 如图，在四边形中，，,，
，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，使和，分别需经过多少时间？为什么?

模块2:三角形的中位线
题型1：直接利用三角形的中位线性质
例题1：如图，在中，,,,点，,分别是三边的中点，则的周长为（ ）

A、9 B、10 C、11 D、12
例题2：如图，周长为1，连接三边中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,以此类推，第2018个三角形的周长为（ ）

A、 B、 C、 D、
变式练习
1. 已知三角形的3条中位线分别为、、,则这个三角形的周长是( ）
A、 B、 C、 D、
2.如图所示，是的中位线，平分,交于,若，则 。

题型2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题
例题3:如图,是的中位线，是的中点，的延长线交于点,若的面积为，则的值为（ ）

A、 B、 C、 D、
例题4：如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则的面积是（ ）

A、 B、 C、 D、
变式练习
1. 如图，在中，，分别是的中点，为上的点，连接,。若,，,则图中阴影部分面积为（ )。
A、25 B、35 C、30 D、42

第1题 第2题
2.如图，在中，,，点分别是，的中点，交的延长线于，则四边形的面积为 。
题型3：与三角形中位线有关的动点问题
例题4：如图，四边形中，,,，点分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合)，点分别为的中点，则长度的最大值为（ ）

A、8 B、6 C、4 D、5

变式练习
1. 如图,已知四边形中，分别是，边上的点,分别是的中点,当点在上从向移动而点不动时,下列结论成立的是（ )
A、 的周长不变 B、线段的长与点的位置无关
C、点到的距离不变 D、的大小不变

2. 如图，已知四边形中，,点是边上的动点,连接，分别是，的中点，当点在上从点向点移动过程中，下列结论成立的是（ ）
A、 线段的长先减小后增大 B、线段的长不变
C、线段的长逐渐增大 D、线段的长逐渐减小

题型4:三角形中位线性质的综合应用
例题5：如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，。
（1） 求证:四边形是平行四边形；
（2） 线段、、的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。

变式练习
1.如图所示，已知是中的平分线，的延长线于点是的中点.求证:.

课后作业
一、 选择题。
1. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是( ）
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C。一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D。对角线相互平分的四边形是平行四边形
2. 能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A、 B、
C、 D、
3. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A、 ①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③

第3题 第4题 第5题
4. 如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，则的长是（ ）

A、 B、 C、 D、
5. 如图,是的边的中点，平分，
于点，且，，则的长是（ ）
A、12 B、14 C、16 D、18
6. 如图，在中，分别是的中点,点在上,且，与相交于点，若，，那么的度数是( ）
A、 B、 C、 D、

第6题 第7题 第8题
7. 如图，在四边形中，,，,,点从点出发以3个单位/s的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以1个单位/s的速度沿向终点运动。当四边形为平行四边形时,运动时间为（ )
A、 B、 C、 D、
8. 如图，平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止(同时点也停止），在运动以后，以四点组成平行四边形的次数有( )
A、1次 B、2次 C、3次 D、4次
二、 填空题。
9.如图,在中，分别是边的中点，,先将沿折叠，点落在三角形所在平面内的点为,则的度数为 。

10。如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 平行四边形。

11. 如图，已知为等腰三角形纸片的底边，,，将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个。

12. 已知直角坐标系内有四个点，，,，若以为顶点的四边形是平行四边形,则= 。
13. 如图,在等边三角形ABCD中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动。如果点同时出发，设运动时间为，当= 时,以为顶点的四边形是平行四边形。

三、 解答题
14.如图，四边形中,,,，是边的中点，连接并延长，与的延长线相交于点。
求证：四边形是平行四边形。

15。如图，在平行四边形中,,,连接，，，。求证：四边形是平行四边形。

16。在平行四边形和平行四边形中,，，,分别是对角线、的中点，求的长。

17. 如图，平行四边形是对角线、交于点，，,连接。
（1） 求证:；
（2） 求证：四边形是平行四边形。

18。如图所示，在四边形中,，是对角线的中点,是的中点,是的中点.请判断的形状，并说明理由。

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