平行线的判定及性质.doc

(完整word)平行线的判定及性质
授课主题
平行线
教学目的
1。理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；
2。掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理
3。 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；
教学重点
平行线的判定及性质
教学内容
【知识梳理】
要点一、平行线
1．定义:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
（1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内；二是两条直线;三是不相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
（3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系．
2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
(1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
(2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性。
要点二、直线平行的判定
判定方法1：同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:
∵　∠3＝∠2
∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：内错角相等,两直线平行。如上图,几何语言:
∵　∠1＝∠2
∴　AB∥CD（内错角相等,两直线平行）
判定方法3：同旁内角互补,两直线平行.如上图，几何语言：
∵　∠4＋∠2＝180°
∴　AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）
要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行,即由数推形.
要点三、平行线的性质
性质1:两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3:两直线平行，同旁内角互补.
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提 “两直线平行"．
(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．
要点四、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
(1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
（2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
要点五、命题、定理、证明
1。命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：
（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
（2）命题的表达形式:“如果……，那么…….”，也可写成:“若……，则……。"
（3）真命题与假命题：
真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题。
2。定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据。
3。证明：在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等。
（2)判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．
要点六、平移
1。 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．
（2)图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置。
2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：
（1)平移后,对应线段平行且相等;
（2)平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等;
(4)平移后，新图形与原图形是一对全等图形。

【典型例题】
类型一、平行线
例1．下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条线段是平行线.
B．不相交的两条直线是平行线。
C．不相交的两条射线是平行线。
D．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
【答案】D
例2．在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;(4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】正确的是：（1）（3）.
【变式1】下列说法正确的个数是 （ )
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.
（2)两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直。
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
(4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．
A．1个 B .2个 C．3个 D．4个
【答案】B
类型二、两直线平行的判定
例3. 如图，给出下列四个条件:（1)AC＝BD; （2)∠DAC＝∠BCA；
（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD，其中能使AD∥BC的条件有 （ )。
A．（1）(2） B．（3）（4) C．(2)(4） D．（1）(3）（4)

【答案】C
【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例4. 如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

解法1:如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，
在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

∵ ∠B＝25°,∠E＝10°(已知),
∴ ∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN（等量代换）．
∴ AB∥CM,EF∥DN（内错角相等，两直线平行）．
又∵ ∠BCD＝45°,∠CDE＝30°(已知)，
∴ ∠DCM＝20°,∠CDN＝20°（等式性质)．
∴ ∠DCM＝∠CDN（等量代换）．
∴ CM∥DN（内错角相等，两直线平行）．
∵ AB∥CM，EF∥DN（已证），
∴ AB∥EF（平行线的传递性）．

解法2：如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵ ∠BCD＝45°，∴ ∠NCB＝135°．
∵ ∠B＝25°，
∴ ∠CNB＝180°—∠NCB—∠B＝20°(三角形的内角和等于180°)．
又∵ ∠CDE＝30°,∴ ∠EDM＝150°．
又∵ ∠E＝10°，
∴ ∠EMD＝180°—∠EDM—∠E＝20°（三角形的内角和等于180°)．
∴ ∠CNB＝∠EMD(等量代换）．
所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行)．
【变式3】已知,如图,BE平分ÐABD，DE平分ÐCDB，且Ð1与Ð2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．
解:AB∥CD，理由如下：
∵ BE平分∠ABD,DE平分∠CDB，
∴ ∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵ ∠1+∠2＝90°，
∴ ∠ABD+∠CDB＝180°．
∴ AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．

【变式4】已知，如图，AB^BD于B,CD^BD于D，Ð1+Ð2=180°，求证：CD//EF．

【答案】
证明：∵AB^BD于B，CD^BD于D，
∴AB∥CD．
又∵Ð1+Ð2=180°，
∴AB∥EF．
∴CD//EF．

类型三、平行线的性质
例5．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?为什么．
解：∵ DE∥BC，
∴ ∠4＝∠1＝65°(两直线平行，内错角相等）．
∠2+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补)．
∴ ∠2＝180°—∠1＝180°-65°＝115°．
又∵ DF∥AB(已知），
∴ ∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∴ ∠3＝115°(等量代换)．
【变式5】如图，已知，且∠1=48°，则∠2＝ ，∠3＝ ，∠4＝ .

【答案】48°，132°，48°

【变式6】如图所示,直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则（ )
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定
【答案】B
类型四、命题
例6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的？ 还是错误的？
①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c;④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
【答案】①②不是命题;③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题;⑤是错误的命题．
【变式8】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）对顶角相等；
(3）同角的余角相等.
【答案】
解:（1）如果两直线平行，那么同位角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
（3)如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.
类型四、平移
例7．(湖南益阳）如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的
位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．
【答案】30°
【变式9】 （上海静安区一模）如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC（ ）
A．沿EC的方向移动DB长
B．沿BD的方向移动BD长
C．沿EC的方向移动CD长
D．沿BD的方向移动DC长
【答案】A
类型五、平行的性质与判定综合应用
例8、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（ )
A．180° B．270° C．360° D．540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB，
∵ CD∥AB，
∴ ∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵ EF∥AB
∴ EF∥CD．
∴ ∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【课后作业】
一、选择题
1。下列说法中正确的有( ）
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角( )
A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补
3．如图,能够判定DE∥BC的条件是 （ ）

A．∠DCE+∠DEC＝180° B．∠EDC＝∠DCB
C．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB，GF⊥AB
4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是 （ ) ．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°,第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°,第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是 ( ）

A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°
6。( 绍兴)学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，(1)-（4)）：

从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等,两直线平行．
④内错角相等，两直线平行．
A.①② B. ②③ C. ③④ D。 ④①
二、填空题
7。 在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
8．如图,DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．

9．规律探究:同一平面内有直线a1，a2，a3…,a100，若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．
10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°,则另一个角的度数是
11．直线同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线 与B、C两点确定的直线都与平行,则A、B、C三点 ，其依据是
12. 如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有 ．

三、解答题
13。如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度？说明理由．

14．小敏有一块小画板（如图所示）,她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗？

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2,BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】A
【解析】只有④正确，其它均错．
2。 【答案】D
3. 【答案】B
【解析】内错角相等,两直线平行．
4。 【答案】B
5。 【答案】B
【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．
6。 【答案】C
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直．
二、填空题
7. 【答案】0或1或2或3个；
8。 【答案】BC, DE;
【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°,而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．
9。 【答案】a1∥a100；
【解析】为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3，而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8 ∥a9，a9∥a12 ∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100．
10.【答案】 40°或140°
11.【答案】共线，平行公理；
【解析】此题考查是平行公理,它是论证推理的基础，应熟练应用．
12。【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
理由:∵ AB⊥EF，CD⊥EF．∴ ∠AGE＝∠CHG＝90°．∴ AB∥CD．
∵ AB⊥EF．∴ ∠EGB＝∠2＝90°．∴ GP平分∠EGB．
∴ ∠1＝EGB＝45°．
∴ ∠PGH＝∠1+∠2＝135°．
同理∠GHQ＝135°，∴ ∠PGH＝∠GHQ．
∴ GP∥HQ．

三、解答题
13。 【解析】
解：∠4＝100°．理由如下:
∵ ∠1＝60°，∠2＝60°，
∴ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD
又∵∠3＝∠4＝100°，
∴ CD∥EF，∴ AB∥EF．
14．【解析】
解：如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN,用量角器测得∠1＝50°，
∠2＝50°,因为∠1＝∠2，所以由内错角相等,两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．

15. 【解析】
解：要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°,
∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．
∴∠BAF＝∠B′AB＝×110°＝55°．
16．【解析】
解：可推出AD∥BC．∵ BD平分∠ABC（已知)．
∴ ∠1＝∠DBC(角平分线定义）．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，∴ ∠2＝∠DBC（等量代换）．
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．

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