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平行线的判定和性质

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直线平行的条件 

知识精点
通过本节的学习，要了解两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握平行线的识别方法，理解由角的关系得到两条直线的平行关系．
本节的主要概念：
1．同位角、内错角、同旁内角的概念——两条直线被第三条直线所截，构成八个角，俗称“三线八角”．其中分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同旁的一对角叫同位角；在两条直线之间．但分别在第三条直线的两旁的一对角叫内错角．在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角，叫同旁内角．
2．平行线的判定方法：
方法1：同位角相等，两直线平行；
方法2：内错角相等，两直线平行．
方法3：同旁内角互补，两直线平行．

重、难、疑点：
重点：同位角、内错角、同旁内角的定义及平行线的判定方法．
难点：1．同位角、内错角、同旁内角的正确识别；
2．平行线判定方法的运用．
疑点：1．在不同的图形中，识别同位角、内错角、同旁内角容易出现混淆；
2．平行线的判定与性质在运用过程中易出现错误．

典例精讲
例1 根据右图，回答下列问题：
（1）由∠C=∠1，可以判断哪两条直线平行？说明理由？
（2）由∠1=∠2，可以判断哪两条直线平行？说明理由？
（3）由∠D+∠C=180°，可以判断哪两条直线平行？说明理由？

举一反三 （贵阳市中考题）如图，已知同一平面内的直线、、，如果，那么与的位置关系是 （ ）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．以上全不对

例2 如图，写出所有能够推得直线AB∥CD的条件．

举一反三 如图，直线c与a、b相交，形成∠1、∠2、…、∠8，请你填上适合的一个条件：____________，使得a∥b．

例3 （黄冈市中考题）如图，已知∠1=∠2，问：再添加什么条件可使AB∥CD？

举一反三 如图，已知∠C=100°，若增加一个条件，使得AB∥CD，试写出所有符合要求的条件．

例4 如图，已知点O在直线AB上，OF平分∠BOC，OE平分∠AOC，CF⊥OF于点F，求证：FC∥OE．

举一反三 如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，求证：DF∥AE．

例5 一个裁缝师傅随意地剪了一块六边形的布料，如图所示，经测量他发现∠ABC、∠BCD、∠CDE三角之和等于360°，他然后就说布料的两个边AB和ED是平行的．你知道为什么吗？

举一反三 如图，已知∠B+∠E+∠D=360°，求证：AB∥CD．

知识网络

学法点津
1．识别同位角、内错角、同旁内角是本节的重点之一，掌握这项技能，首先要牢记“三线八角”的基本特征，抓住同位角、内错角、同旁内角的特征，找出哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线，再得出正确的判断．同时，要善于用比较法来理解三种角的特征，培养自己在较复杂的图形中识别三种角的能力．
2．在学习平行线的三种判定方法时，要结合实际条件，观察图形，通过同学间的合作、交流，将方法1、2、3融合贯通，培养自己会根据实际情况灵活选用判定方法的能力．

强化练习
1．具有下列关系的两角中，一定有公共顶点的是 （ ）．
A．互为余角 B．同位角
C．邻补角 D．内错角
2．已知a，b，c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是 （ ）．
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若a⊥b，b∥c，则a⊥c
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
3．如图5-2-11，由A测B的方向是 （ ）．
A．南偏东30°
B．南偏东60°
C．北偏西30°
D．北偏西60°

4．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍按原来的方向行驶，那么两次拐弯的角度可能是 （ ）．
A．先右转50°，再右转40°
B．先左转50°，再左转40°
C．先右转50°，再左转130°
D．先右转50°，再左转50°
5．如图5-2-12，直线l截直线a，b，得到8个角，其中（1）对顶角有__________对，它们是___________；
（2）邻补角有______________对，它们是_____________；
（3）同位角有______________对，它们是_____________；
（4）内错角有______________对，它们是______________；
（5）同旁内角有______________对，它们是_____________．

6．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有___________条，而经过直线a外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有_____________条．
7．如图5-2-13所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中与棱AB平行的棱有____________条，它们是___________．
8．如图5-2-14，若∠1=∠2，则_________∥____________；若∠3=∠4，则________∥_________；若∠5=∠6，则__________∥____________；若∠7=∠8，则___________∥_____________；若∠BAD+∠ABC=180°，则___________∥__________；若∠ABC+∠BCD=180°，则_________∥___________．

9．如图5-2-15，因为∠1=∠3，∠2=∠3（已知），所以∠1=∠2（ ），所以AB∥__________（ ）．
10．如图5-2-16，（1）如果∠B=∠1，那么根据______________，可得AD∥BC；（2）如果∠D=∠1，那么根据____________，可得AB∥CD．
11．图5-2-17所示的6个角中，有多少对同位角？写出每对这样的角．有多少对内错角？写出每对这样的角．有多少对同旁内角？写出每对这样的角．

12．如图5-2-18，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°．AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？为什么？

13．读下列语句，并在图5-2-19上画出图形．
（1）过△ABC的顶点C，画MN∥AB；
（2）过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交BC于点E．

14．如图5-2-20，（1）要判定AB∥CD，只需知道什么条件？
（2）要判定AD∥BC，只需知道什么条件？
（3）要判定AE∥CF，只需知道什么条件？

15．如图5-2-21，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AB∥EF．

16．图5-2-22所示为一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD，若已知∠ABC=150°，要使街道AB与CD平行，∠BCD应为多少度？为什么？
17．如图5-2-23，已知∠BED=∠B+∠D．试问：AB与CD平行吗？若平行，请说明理由．

探索直线平行的性质
一、学习目标
1．掌握平行线的三个性质，并能解决一些问题．
2．理解平行线的判定与性质的区别与应用
二、学习重点
会用“两直线平行，同位角相等”、“ 两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”来解决问题.
三、学习难点
1
3
2
探索平行线性质和平行线性质的运用
四、学习过程
交流合作、探索发现
合作交流一：
如图，猜一猜∠1和∠2相等吗？为什么？
图中还有其它同位角吗？它们的大小有什么关系？
1
3
2
是不是任意一条直线去截平行线a、b所得的同位角都相等呢？
[结论] 两条平行线被第三条直线所截，___________________.
简单说成：_____________________.
符号语言:_________________________.
合作交流二：
如图：已知a//b,那么Ð2与Ð 3相等吗？为什么？
4
1
2

[结论]两条平行线被第三条直线所截，____________________.
简单说成：________________________.
符号语言:_______________________________.
合作交流三：
如图,已知a//b， 那么 Ð2与Ð4有什么关系呢？
[结论]两条平行线被第三条直线所截，______________________.
简单说成：_________________________________.
符号语言：______________________________.
1
3
2
4
五、例题讲解
a
例1.如图1,已知直线a∥b,∠1 = 500,求∠2的度数.
变式1.已知条件不变，求∠3，∠4的度数？

b
图1

变式2.如图2，已知∠3 =∠4， ∠1=47°， 求∠2的度数？

图2

C
B
F
E
D
A
例2如图3，AD∥BC，∠A＝∠C.试说明AB∥CD.

图3
B
A
D
C

例3.如图4，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，∠B = 600。
①求∠C的度数；
②由已知条件能否求得∠A的度数?

图4

六．强化练习
1、如图1,如果DE∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是__ ____;
如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是__ ______.
2、如图2,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________.
3、如图3,AB∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=_______.

（1） （2） （3）
七、巩固练习
1、下列说法:①两条直线平行，同旁内角互补；②同位角相等,两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④垂直于同一直线的两直线平行，其中是平行线的性质的是 ( )
A.① B.②和③ C.④ D.①和④
2、如图1，AB∥CD，AD，BC相交于O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，则∠C的度数是（ ）
A．31° B．35° C．41° D．76°
3、如图2,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
4、如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD, AD∥BC下列各式不一定正确的是 （ ）
A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°

（1） （2） （3）
5、完成下列推理过程．
（1）如图4-1，∵DA∥BC，AE∥BC（已知），
∴D、A、E在同一条直线上（ ）
（2）∵AB∥CD，CD∥EF（已知），
∴______∥_______（ ）．

4-1 4-3
（3）如图4-3，DE∥BC，点D、A、E在同一条直线上，求证：∠BAC+∠B+∠C=180°，
证明：∵DE∥BC（ ）
∴∠1=∠B，∠2=∠C（ ）．
∵D、A、E在同一直线上（已知），
∴∠1+∠BAC+∠2=180°（ ），
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（ ）．
6、如图,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.

7、如图，AB∥CD，∠A=60°，∠1=2∠2，求∠2的度数．

8、如图，已知DC平分∠ACB，∠B=70°，∠ACB=50°，DE∥BC，求∠EDC与∠BDC的度数．

9、如图，已知AB∥EF，DE∥BC，问∠B与∠DEF有什么样的数量关系？为什么？

10、如图，EB∥DC，∠C=∠E，求证：∠A=∠ADE．

11、如图，AB∥CD，BF∥CE，则∠B与∠C有什么关系？请说明理由．

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