2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编：13导数及其应用.doc

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2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编导数及其应用 1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数且. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）讨论函数的极值． 2、（东城区2019届高三一模）设函数的极小值点为. （I）若，求的值的单调区间；（II）若，在曲线上是否存在点，使得点位于轴的下方？若存在，求出一个点坐标，若不存在，说明理由. 3、（丰台区2019届高三一模）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求证：是函数的极小值点. 4、（海淀区2019届高三一模）已知函数. (I)求曲线在点处的切线方程； (Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数的零点个数． 5、（怀柔区2019届高三一模）已知函数. （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围. 6、（门头沟区2019届高三一模）已知在点处的切线与直线平行。 (Ⅰ)求实数的值；（Ⅱ）设（）若函数在上恒成立,求实数的最大值；（）当时，判断函数有几个零点，并给出证明. 7、（石景山区2019届高三一模）设函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值． 8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数. （I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；（II）若有极小值2，求. 9、（西城区2019届高三一模）设函数，其中．（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 10、（延庆区2019届高三一模）已知函数在点处的切线与直线平行. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）令，求函数的单调区间. 11、（房山区2019届高三一模）已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若函数的图象在轴的上方，求的取值范围. 12、（大兴区2019届高三一模）已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求证：．参考答案 1、解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．……………….3分（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立. 设，则．当变化时，，变化情况如下表：＋－ ↗ 极大值 ↘ 所以．因为，所以，所以．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：＋－ ↗ 极大值 ↘ 此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：－＋ ↘ 极小值 ↗ 此时有极小值，无极大值．……………………………………………….13分 2、解：（Ⅰ）定义域为. . 由已知，得，解得. 当时，当时，；当时，. 所以的递减区间为，单调递增区间为所以时函数在处取得极小值. 即的极小值点为时的值为. ......................6分（II）当时，曲线上不存在点位于轴的下方，理由如下：由（I）知当时，，所以在单调递减，不存在极小值点；当时，令，得. 当时，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增. 所以是在上的最小值. 由已知，若，则有，即. 当时，，且，. 所以当时，曲线上所有的点均位于轴的上方. 故当时，曲线上不存在点位于轴的下方. ...............13分 3、解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为；令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得. ① 当时，对任意，都有恒成立，所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. ② 当时，设，依然取. 则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增，所以. 因为，所以（当且仅当时，等号成立，此时）. 所以对任意，都有恒成立. 所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当时是函数的极小值点. 4、解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为（Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表: 极小值所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表: 极小值所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点当且时，函数有两个零点 5、解：（Ⅰ）当时，因为，所以． f’(1)= －1, f(1)= －2, 所以在点处的切线方程是x+y+1=0------------------------------------5分（Ⅱ）函数的定义域是，因为，（ⅰ）当a时，>0恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递增，又因为，不合题意，舍．（ⅱ）当时，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在单调递减．所以函数在时，取得最大值．　　　因为对于任意，都有，所以只需令，即，即．　　所以当的取值范围是----------------------------------------------13分 6、解：(Ⅰ)由题意得：（Ⅱ）（）当时，若，递增，则当时，若，在递减，则不恒成立，所以，的最大值为1. （），显然有一个零点0；设当时，无零点；所以只有一个零点0 当时，有，所以在上单增，又，由零点存在定理可知，所以在上有唯一一个零点，所以有二个零点综上所述，时，只有一个零点0，时，有二个零点. 7、解：（Ⅰ），，由题设知，即，解得．经验证满足题意。（Ⅱ）方法一：令，即，则（1）当时，即对于任意有，故在单调递减；对于任意有，故在单调递增，因此当时，有最小值为成立．（2）当时，即对于任意有，故在单调递减，因为，所以，即，综上，的最大值为．方法二：由题设知，当时，, （1）当时，．设，则，故在单调递减，因此，的最小值大于，所以．（2）当时，成立．（3）当时，，因为，所以当时，成立．综上，的最大值为． 8、解：（I）因为点在曲线上，所以， ------------------------------------------1分又， ------------------------------------------3分所以 ------------------------------------------4分在该点处曲线的切线方程为即 -----------------------------5分（II）定义域为， --------------------------------------6分讨论：（1）当时，此时在上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分（2）当时，令可得 ------------------------------------------9分列表可得 0 单调递减单调递增所以在上单调递减，在上单调递增 ----------------------11分所以=，所以=2解得 ------------------------------------------13分 9、解：（Ⅰ）由函数是偶函数，得，即对于任意实数都成立，所以. ……………… 2分此时，则. 由，解得. ……………… 3分当x变化时，与的变化情况如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 5分所以有极小值，有极大值. ……………… 6分（Ⅱ）由，得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数求导，得. ……………… 9分由，解得，. ……………… 10分当x变化时，与的变化情况如下表所示： 0 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 11分又因为，，，，所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. 即当或时，函数在区间上有两个零点. ……… 13分 10、解：（Ⅰ） ………1分 ………2分在点处的切线与直线平行解得 ………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ………5分函数的定义域是， ………6分所以，…………7分令， …………8分又，…………9分有恒成立故在上为增函数，由，所以函数是上单调递减． …………… 11分有恒成立故在上为减函数，由，所以函数是上单调递减． …………… 13分综上，在和单调递减 11、（Ⅰ）当时，，所以，所以曲线在处的切线方程是： ……………4分（Ⅱ） “函数的图象在轴的上方”，等价于“时，恒成立” 由得 ……………5分 ①当时，因为，不合题意 ……………6分 ②当时，令得显然 ……………7分令得或；令得所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是， ……………10分当时，，所以 ……………11分只需所以，所以 ……………13分 12、解：（Ⅰ）由，得，所以.……1分由，得，所以.……2分由已知，得.……3分经检验，符合题意．……4分（Ⅱ），，，设，……1分则，所以在区间单调递增，……3分又，，……4分所以在区间存在唯一零点，设零点为，则，且．……5分当时，；当，．所以，函数在递减，在递增，……6分，……7分由，得所以，……8分由于，从而，命题得证．……9分

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