将军饮马系列最值问题-教师版.doc

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题

“将军饮马”系列最值问题

知识回顾

1.两点之间，线段最短．
2.点到直线的距离，垂线段最短．
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．
4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点，
当且仅当三点共线时能取等号．

知识讲解

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．
根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．
若在河流的异侧，直接连接，与的交点即为所求．
若在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想

轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰是轴对称图形．

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，与关于直线对称，叫做对称轴．和，和，和是对称点．

轴对称的两个图形有如下性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化

常见模型：
（1）最小

（2）①最小

②最大

【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线
（3）周长最短
类型一 类型二 类型三

（4）“过河”最短距离
类型一 类型二

（5）线段和最小

（6）在直角坐标系里的运用

同步练习

【例1】 尺规作图，作线段的垂直平分线，作的角平分线．

【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．

【变式练习】已知：如图，及两点、．求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等．

【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线．
因为是两边所在的直线，所以有两个答案：

内角平分线与线段的垂直平分线的交点；
外角平分线与线段的垂直平分线的交点．

【例2】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由．

【解析】作点关于直线的对称点，即为点．

【例3】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？

【解析】作点关于直线的对称点，在连接于直线的交点即为点．

【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短．

【解析】如图，作对称再连接．这题实质还是“将军饮马”问题，在上找一点，使得 之和最小．

【巩固】若此题改成，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短．

【解析】作点，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，再向左平移个单位即为所求点．

【例4】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小．

【解析】如图，作对称再连接．

【例5】 已知：如图，、分别是内两点，，
（1）分别在角两边各取两点，使得周长
（2）分别在角两边各取两点，使得周长最小
（3）是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因．

【解析】如图,分别做对称再连接．
周长最小，周长最小
，，

【例6】 如图，在内部有点和点，同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；在直线上也取点，使从点到点和点的距离和也最小．证明：．

【解析】如图，点与点关于射线成对称，而点与点关于射线对称，这是点和点分别位于线段和线段上，，，，，∵，∴，
易证，∴，∴，即.

【例7】 已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小．

【解析】如图，作点关于的对称点，再过点作的垂线于．

【例8】 (2000年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和．求的值．

【解析】作点关于的对称点，连接、．
由点、关于对称可知，．
故
当且仅当、、共线时，等号成立，故
另外两个临界位置在点和点处．
当点位于点处时，；
当点位于点处时，．
故，．

【例9】 已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小值和最大值．

【解析】作的垂直平分线于直线的交点处可取得最小值，；
连接并延长于直线的交点处处可取得最大值，

【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，，是上的一点，且，是上的一动点．
求（1）的最小值与最大值．
（2）的最小值与最大值．

【解析】（1）找点关于的对称点，
由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，
连接、，由可知，
当且仅当、、三点共线时，的值最小，该最小值为．
当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：
与的交点，即取最小值时；
当点位于点时，；
当点位于点时，．故的最大值为．

（2）位于的垂直平分线于的交点处，可取的最小值为；
当且仅当三点共线时，位于点时，可取的最大值为；

【例10】 如图1，已知等边的边长为，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为.
（1）若分别是边上的中点，则=_______；
（2）若分别是边上任意点，则的取值范围是_______.
小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以
边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案．

【解析】（1）
（2）

【例11】 如图，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为，请作出周长最小的．

【解析】如图，过作于，在分别作点关于的对称点，连接分别交
于，连接，所得即为周长最小．

【例12】 如图，当点与连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点向点运动时的最短路程．

【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短

【例13】 如图，矩形台球桌上有两个球，求作一击球路线，使球顺次撞击球桌四边后再撞击球（球撞击桌边的入射角等于反射角）

【解析】四个对称轴，作出对称点，连线

【例14】 点是四边形的边的中点，，证明：．

【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“”非常有特点，即为什么会出现，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系的时候做过类似的问题．
【答案】作点关于的对称点，连接、，作点关于的对称点，
连接、、
∴，，，
易证， ∴,
∴ ∴是等边三角形
∴，∵ ∴

【变式练习】点是四边形的边的中点，，证明：．
当时，他们又有什么关系呢？

【解析】（1）当时
作点关于的对称点，连接、，作点关于的对称点，
连接、、
∴，，，
易证， ∴,
∴ ∴是等腰直角三角形．
∴，∵ ∴
（2）当时，
同理可推出是一个顶角为等腰三角形．
∴， ∵ ∴

【例15】 已知：如图，在直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，等腰，．
（1）作出关于轴的对称图形．
（2）若，求证

【解析】（1）根据轴对称的性质，作出对称图形．
（2）依题可知，，，
，
为等边三角形

设，则
，
∴

课后练习

【习题1】 如图，在等腰中，，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小．

【习题2】 如图，菱形的两条对角线分别长和，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小．

【习题3】 如图，在锐角中，，°，的平分线交于点，、
分别是和上的动点，则的最小值是____．

【答案】

【习题4】 已知⊙的直径为，的度数为°，点是的中点，在直径上找一点，使 的值最小，并求的最小值．

【答案】

【习题5】 如图，点关于、的对称点分别为，连接，交于，交于，若
，则的周长为________．

【答案】

【习题6】 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形
内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）
． ． ． ．

【答案】

【习题7】 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．

实验与探究：
（1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：_________；
归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为_____ （不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点，试在直线上找一点，使点到两点的距离之和最小．
【答案】（1）
（2）
（3）作对称在连接

【习题8】 在平面直角坐标系中，点，请在轴和轴上分别找到点和点，
（1）请在轴和轴上分别找到点和点使四边形周长最小，作出点和点．
（2）请在轴上找到一点，使得最大，作出点．

【答案】（1）作对称再连接．
（2）连接与的交点即为．

【习题9】 已知：如图，四边形中，°，∠C＝60°，，．
（1）在边上求作点，使最小；
（2）求出（1）中的最小值

【答案】（1）作对称再连接，如图所示．
（2）的最小值为，
依题可知为等边三角形，，
在中，，，．

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