将军饮马系列最值问题-教师版.doc

同步课程“将军饮马”系列最值问题“将军饮马”系列最值问题知识回顾1.两点之间，线段最短2.点到直线的距离，垂线段最短3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边4.分别为同一圆心半径不等的两个圆上的一点，当且仅当三点共线时能取等号知识讲解古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从出发到河边饮马，然后再到地军营视察，显然有许多走法问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题下面我们来看看数学家是怎样解决的海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题根据公理：连接两点的所有线中，线段最短若在河流的异侧，直接连接，与的交点即为所求若在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称如等腰是轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点如下图，与关于直线对称，叫做对称轴和，和，和是对称点轴对称的两个图形有如下性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化 常见模型：（1）最小 （2）最小最大 【变形】异侧时，也可以问：在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线（3）周长最短类型一 类型二 类型三 （4）“过河”最短距离类型一 类型二 （5）线段和最小（6）在直角坐标系里的运用同步练习【例1】 尺规作图，作线段的垂直平分线，作的角平分线【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线【变式练习】已知：如图，及两点、求作：点，使得，且点到两边所在的直线的距离相等【解析】用尺规作图画角平分线和垂直平分线因为是两边所在的直线，所以有两个答案：内角平分线与线段的垂直平分线的交点；外角平分线与线段的垂直平分线的交点【例2】 已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由【解析】作点关于直线的对称点，即为点【例3】 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 【解析】作点关于直线的对称点，在连接于直线的交点即为点【变式练习】如图，、为的边、上的两个定点，在上求一点，使的周长最短 【解析】如图，作对称再连接这题实质还是“将军饮马”问题，在上找一点，使得 之和最小【巩固】若此题改成，在上找到、两点，且，在的左边，使四边形的周长最短 【解析】作点，作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求点，再向左平移个单位即为所求点【例4】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，角内有点，在角的两边有两点、(均不同于点)，求作、，使得的周长的最小 【解析】如图，作对称再连接【例5】 已知：如图，、分别是内两点，（1）分别在角两边各取两点，使得周长（2）分别在角两边各取两点，使得周长最小（3）是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明原因 【解析】如图,分别做对称再连接周长最小，周长最小，【例6】 如图，在内部有点和点，同时能使，这时在直线上再取点，使从点到点及点的距离和为最小；在直线上也取点，使从点到点和点的距离和也最小证明： 【解析】如图，点与点关于射线成对称，而点与点关于射线对称，这是点和点分别位于线段和线段上，易证，即.【例7】 已知如图，点在锐角的内部，在边上求作一点，使点到点的距离与点到的边的距离和最小 【解析】如图，作点关于的对称点，再过点作的垂线于【例8】 (2000年全国数学联赛)如图，设正的边长为2，是边上的中点，是边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为和求的值 【解析】作点关于的对称点，连接、 由点、关于对称可知， 故当且仅当、共线时，等号成立，故另外两个临界位置在点和点处当点位于点处时，；当点位于点处时，故，【例9】 已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小值和最大值【解析】作的垂直平分线于直线的交点处可取得最小值，；连接并延长于直线的交点处处可取得最大值，【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形中，是上的一点，且，是上的一动点求（1）的最小值与最大值（2）的最小值与最大值 【解析】（1）找点关于的对称点，由正方形的性质可知，就是点关于的对称点，连接、，由可知，当且仅当、三点共线时，的值最小，该最小值为当点在上移动时，有三个特殊的位置我们要考察： 与的交点，即取最小值时； 当点位于点时，； 当点位于点时，故的最大值为（2）位于的垂直平分线于的交点处，可取的最小值为；当且仅当三点共线时，位于点时，可取的最大值为；【例10】 如图1，已知等边的边长为，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为.（1）若分别是边上的中点，则=_；（2）若分别是边上任意点，则的取值范围是_.小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将以边为轴翻折一次得，再将以为轴翻折一次得，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，根据两点之间线段最短，可得. 老师听了后说：“你的想法很好，但的长度会因点的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案【解析】（1）（2）【例11】 如图，分别是边上的点（均不与点重合），记的周长为，请作出周长最小的 【解析】如图，过作于，在分别作点关于的对称点，连接分别交于，连接，所得即为周长最小【例12】 如图，当点与连续相撞时，假设入射角等于反射角，求作出点向点运动时的最短路程 【解析】利用三条对称轴作出对称点，然后根据两点之间线段最短【例13】 如图，矩形台球桌上有两个球，求作一击球路线，使球顺次撞击球桌四边后再撞击球（球撞击桌边的入射角等于反射角）【解析】四个对称轴，作出对称点，连线【例14】 点是四边形的边的中点，证明： 【解析】本题是典型轴对称变换，条件非常少，不过结论“”非常有特点，即为什么会出现，同时还是证明不等关系，只有我们在接触最短路程，已经三角形三边关系的时候做过类似的问题【答案】作点关于的对称点，连接、，作点关于的对称点，连接、，易证， , 是等边三角形， 【变式练习】点是四边形的边的中点，证明：当时，他们又有什么关系呢？ 【解析】（1）当时作点关于的对称点，连接、，作点关于的对称点，连接、，易证， , 是等腰直角三角形， （2）当时，同理可推出是一个顶角为等腰三角形， 【例15】 已知：如图，在直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，等腰，（1）作出关于轴的对称图形（2）若，求证【解析】（1）根据轴对称的性质，作出对称图形 （2）依题可知， ， 为等边三角形 设，则， 课后练习【习题1】 如图，在等腰中，的上一点，满足，在斜边上求作一点使得长度之和最小 【习题2】 如图，菱形的两条对角线分别长和，点、分别是变、的中点，在对角线求作一点使得的值最小 【习题3】 如图，在锐角中，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_ 【答案】【习题4】 已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使 的值最小，并求的最小值 【答案】 【习题5】 如图，点关于、的对称点分别为，连接，交于，交于，若，则的周长为_【答案】【习题6】 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（） 【答案】【习题7】 如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线实验与探究：（1）由图观察易知关于直线的对称点的坐标为，请在图中分别标关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标：_；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为_ （不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点，试在直线上找一点，使点到两点的距离之和最小【答案】（1） （2） （3）作对称在连接【习题8】 在平面直角坐标系中，点，请在轴和轴上分别找到点和点，（1）请在轴和轴上分别找到点和点使四边形周长最小，作出点和点（2）请在轴上找到一点，使得最大，作出点【答案】（1）作对称再连接（2）连接与的交点即为【习题9】 已知：如图，四边形中，C60，（1）在边上求作点，使最小；（2）求出（1）中的最小值 【答案】（1）作对称再连接，如图所示 （2）的最小值为，依题可知为等边三角形，在中， 18 / 18