反函数的存在性及求法.doc

(完整版)反函数的存在性及求法 目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11反函数的定义及其性质11.1反函数的定义11。2反函数的性质21.2.1反函数的简单性质21。2.2关于反函数图像的性质31.2.3反函数的连续性与可微性52反函数存在性的判定62.1反函数存在性判定（一）62.1反函数存在性判定（二）63反函数的求法83。1反函数的一般求法83.2几类特殊函数的反函数的求解93。2。1周期函数的反函数93。2。2分段函数的反函数113。2.3复合函数的反函数12参考文献14致谢14- 14 -函数的反函数的存在性及其求法 数学与应用数学专业 薛 云 指导老师 武秀美摘要 反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件，从图像、定义及单调性等多方面加以论述;最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法.关键词 反函数 周期函数 反函数存在性定理 The Existence and Solution of Inverse Function of FunctionsStudent majoring in Mathematics and applied mathematics Xue Yun Tutor Wu XiumeiAbstract The inverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function。 First， it gives the definition of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image， definition and monotonicity。 Finally， it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions.Key words Inverse function Periodic function Existence theorem of inverse function 引言函数是数学中的一个基本概念，对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解，中学数学中有一些基本的反函数的知识，在现有的数学分析和高等数学教科书中，也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上，对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论。1 反函数的定义及其性质1.1 反函数的定义定义 一般地，式子表示是自变量的函数，设它的定义域为，值域为。从式子中解出,得到式子。如果对于在中的任何一个值,通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数叫做的反函数,记作：,即。习惯上改写为，此时是自变量，为函数.定义 对于函数或者,若任意，有（或），那么就出现下述情况：对于集合中的每个数,集合中有且仅有一个数,使得。如果就让这个数与相对应，便立刻得到一个定义在上的新函数，称为的的反函数，记作:或者。1。2 反函数的性质1。2.1反函数的简单性质由定义1和定义2易得，若函数存在反函数,则其反函数是唯一的；反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域;函数和互为反函数.除此之外,函数的反函数还有以下性质:性质1 根据定义2,有.注1 和不一定是同一函数，只有当时,即的定义域与值域相同时,才可以看作是同一函数.对这一性质的理解,有助于解决一些十分繁琐的问题.例题1 已知函数，求和的值.分析 如果利用反函数的定义1，先解出,再把变换成代入,求第一式,把代入求第二式,此题将十分繁琐，计算量很大.此时,利用性质1，有=，可轻松解出答案。性质2 如果一个函数存在反函数,则原函数与其反函数在各自定义域内具有相同的单调性.设函数的定义域为,值域为，且为上的单调增函数,其反函数为,求证:为上的增函数。证明 取任意且,因为为增函数,所以,即在上有 使得。由反函数的定义1得 因为 所以。综上所述，当时有,故是上的增函数。同理可证减函数的情况.例题2 （2008高考天津（理）)设函数的反函数为，则（ ）.A. 在其定义域上是增函数,且最大值为1.B. 在其定义域上是减函数,且最小值为0.C. 在其定义域上是减函数，且最大值为1.D. 在其定义域上是增函数,且最小值为0.解 函数为增函数，由性质2得也为增函数；由互为反函数的的两个函数的定义域和值域互换,的定义域为0,1),可得的值域为0，1），故的最小值为0,答案为。性质3 存在反函数的奇函数其反函数仍为奇函数；而偶函数一般不存在反函数，除外,它的反函数为.注2 对于偶函数一般不存在反函数的描述和反函数的定义2是吻合的,周期函数和一般偶函数都是一个值对应多个值,所以这些函数在其定义域上没有反函数,但是,将函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数。1.2.2关于反函数图像的性质性质4 互为反函数的两个函数图像关于直线对称.注3 （1）理解性质4时应注意，这里的反函数是指经过习惯性改写后的反函数,即把，对调后的反函数；如果不经对调,则原函数与其反函数的图像在同一坐标系内是相同的。 （2）一般情况下，原函数与其反函数的解析式是不同的，但也有一些函数外,即对定义域内的任意，都有,这样的函数称为自反函数，显然，自反函数的定义域和值域相等,原函数与反函数图像重合。例如等函数都是自反函数。（3）由此性质引出了互为反函数的两个函数图像交点问题,各种情况分类如下:1) 两图像没有交点。例如指数函数和它的反函数,即对数函数就没有交点。2) 两图像的交点只在直线上.例如函数和它的反函数图像有两个交点都在上.3) 两图像的交点都不在直线上。例如和它的反函数的图像重合,有无数个交点,但交点都不在直线上.4) 两图像的交点有的在直线上，有的在直线外.例如函数和它的反函数就有三个交点，一个在直线上,两个不在其上。由几何画板给出他们的图像如下:可以清晰地看到三个交点。总结以上情况，可以归纳出以下两条结论：结论1 互为反函数的增函数,若两函数图像有交点,则交点定在直线上；求交点坐标可解方程组或。结论2 互为反函数的函数不是增函数,若两函数图像有交点,则交点以直线为对称轴成对出现;求交点坐标时应解方程组，以防漏解。例题3 已知函数与其反函数的图像没有公共交点，求实数的取值范围。解 首先容易看出为其定义域上的增函数,则根据结论1，与同解,题目可化为方程无解,求实数的取值范围.化简方程得,令解出.例题4 解方程.分析 若用传统方法将方程化为,解这个高次方程将十分困难.此时,我们发现令,则的反函数为,上述方程就是求这两个函数图像的交点横坐标，由于两函数为增函数，则可化为,解这个方程得,因为,故即是原方程的解。例题5 求与其反函数的交点坐标.解 首先，在其定义域上为减函数，故不能用结论1.根据反函数的定义1反解出，联立方程，解得，交点坐标为(0,0),（1,1）,（1,1）.1。2。3反函数的连续性与可微性性质 连续函数的反函数也是连续函数。性质 如果函数在某区间上连续、可导且,并且存在反函数，那么它的反函数在对应的区间内也可导，且有，即反函数的导数等于原函数导数的倒数。证明详细参见参考文献3.2 反函数存在性的判定2。1 反函数存在性判定（一）并非所有函数都有反函数,对于函数的反函数的存在性的判定,有以下结论：定理 严格单调函数必存在反函数。证明 设在数集上有定义,值域为，且为上的严格增(减）函数,由函数的定义得:使得成立.取且，因为为上的严格增（减)函数,所以 即当时，有,这就证明了严格单调函数必存在反函数.注4 这条定理是充分不必要的，即存在反函数的函数不一定是严格单调的，非严格单调的函数也可能存在反函数,例如在整个定义域上不是严格单调的，但它有反函数,且它为自反函数。推论1 当连续时，严格单调是函数存在反函数的充要条件。例题6 证明函数存在反函数.证明 取任意 则因为 故，即为严格减函数，根据定理1得，存在反函数。2。1 反函数存在性判定(二）当的单调性利用单调性的定义不容易确定时，这条定理就无能为力了,例如判断是否存在反函数,根据定理1,取任意,则虽然,但的符号很难判断，也就无法判断的单调性，下面我们给出判定反函数存在的其他方法.定理（反函数存在性定理）若在的某邻域内有连续的导函数且,则一定能在的某邻域内存在反函数.证明 在的某邻域内有连续的导函数,则在的这个邻域内是连续函数,又即则在的某个邻域内是严格增(减）函数,根据定理1,可得定能在的某个邻域内存在反函数.由定理2再判断是否存在反函数，,因为,所以，根据定理2 存在反函数.定理3 函数存在反函数的充要条件是函数的映射是一一映射。这条定理可直接由反函数的定义2得出,这种一一映射的关系可以在函数图像上反映出来。推论2 函数存在反函数的充要条件是直线与函数的图像最多有一个交点。注5 对于推论的理解,可以设的值域为，则当时,（为常数)与有且仅有一个交点；当时，与没有交点.这条推论的应用可实现数形结合，大量减少代数运算。例题7 判断双曲余弦函数和双曲余切函数在其定义域上是否存在反函数。解 双曲余弦函数和双曲余切函数都是初等函数,画出它们的图像分别为: 当时,直线与有两个交点,根据定理3推论双曲余弦函数在定义域上不存在反函数.对于，当时,与没有交点,当时，与有且仅有一个交点，根据定理3推论,双曲余切函数在定义域上存在反函数.3 反函数的求法3。1 反函数的一般求法函数的反函数的一般求法为根据反函数的定义1，由原函数的解析式反解出反函数.当函数的反函数存在时,求反函数的具体步骤归纳如下:（1） 定值域 求出的值域,即反函数的定义域。之所以把这一步骤放在第一位，是防止解出反函数的解析式之后,忘记求它的定义域。（2） 反解 根据反函数的定义1,将看做的方程，直接解出的表达式。（3） 对调 将中的和直接对调,得到。再根据步骤（1)的求解,注明其定义域即可。以上步骤对于求解一次函数、特殊定义域上的二次函数、指数型函数、对数型函数及简单的无理函数、分数函数等的反函数都行之有效,便于掌握，是很基础也很重要的方法。例题8 求下列函数的反函数.（1） ; （2） ； (3）.解（1）容易得到此函数的值域为，因为，所以，,即，将和直接对调得的反函数为.(2）因为，得到此函数的值域为，因为，所以，,即,将和直接对调得的反函数为.(3）因为,得到此函数的值域为,因为,所以，由于,故，所以上式开平方得，即，将和直接对调得的反函数为.3。2 几类特殊函数的反函数的求解3.2。1周期函数的反函数一般来说，根据函数的反函数存在性判定定理3,由于周期函数的映射不是一一映射，所以在整个定义域上，周期函数是不存在反函数的,但是,将周期函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数,又由于其周期性,在相关定义域的子集上,其反函数是有一定规律的.定理 若函数的周期为,且在上存在反函数，则其在上的反函数为.证明 若,则有,因为为周期函数,故，由反函数的定义1,即，将和对调得在上的反函数为。三角函数作为周期函数的一个特例，在数学中的学习中占据极其重要的地位，下面具体介绍三角函数的反函数.和一般的周期函数一样,三角函数在整个定义域上不存在反函数,为了研究它们的反函数,我们做出这样的规定,如果存在以原点为中心的严格单调区间,就在这个严格单调区间上定义反三角函数的主值,例如正弦函数和正切函数在区间上都是严格增函数,根据反函数存在性判定定理1，它们都存在严格增加的反函数，分别为和.如果不存在以原点为中心的严格单调区间，我们在原点右侧的严格单调区间（原点是这个区间的左端点)定义反三角函数的主值，例如余弦函数和余切函数在区间上都是严格减函数，根据反函数的存在性判定定理1，它们都存在严格减少的反函数,分别为和。除此之外,根据定理4,我们可以得出三角函数在其他的严格单调区间上反函数.例如在上的反函数为,在区间上的反函数为，将上面两个区间的反函数合并,得到在区间上的反函数为。例题9 求下列函数的反函数.（1） ; (2).解 （1）因为，所以,即,将和直接对调得的反函数为，。 (2）因为，所以,函数在此区间上为单调减函数，故存在反函数，,将和直接对调得的反函数为,。例题10 求下列式子的值.（1） ； （2）。解 (1）令，根据三角函数的反函数求解,则，有,因为，,所以,原式。 （2）令,根据三角函数的反函数求解,则，有,代入后两边平方得:,解得，因为,所以原式。3.2。2分段函数的反函数定义 已知函数定义域被分成有限个区间，若在各个区间上对应法则一样，但单独定义各个区间公共端点处的函数值；或者在各个区间上对应法则不完全一样,则称这样的函数为分段函数.分段函数的反函数也是一个分段函数,在求分段函数的反函数时，先求不同对应法则下的独立的反函数,并标注下每一段反函数的定义域,再合并成一个分段函数.例题11 已知函数的反函数，求的值。解 第一段函数的值域为,反解出得,故其反函数为;第二段函数的值域为，反解出得,故其反函数为；综上可得函数，当时,.3.2.3复合函数的反函数定理 设函数，若与都存在反函数，分别为与,那么复合函数存在反函数且反函数为.证明 设复合函数的定义域为,则,。因为，所以,取任意，因为存在反函数，根据反函数的定义2有，。同理可得,即，根据反函数的定义2得，存在反函数.把看做对应法则下的自变量，求反函数得，再把看做对应法则下的自变量,求的反函数得,将和对调得函数的反函数为.注6 (1）当时的反函数为。同理，的反函数为。从图像角度讲,即原函数向左平移个单位时,它的反函数向下平移个单位。 （2）的反函数不能写做,对于函数是先求后,再与函数直接合并即可;而函数的反函数,则是要依据定理5的求法来求出其反函数.例题 12 已知，试求和的反函数.解 由求反函数的一般方法，得,由定理5得的反函数为，的反函数为。例题 13 已知函数,若函数的图像与函数的图像关于直线对称，求的值.解 已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，由反函数的判定定理3的推论得，函数与函数互为反函数。根据注6（1)，的反函数为.所以，故。利用数学归纳法，对定理5进行推广.推论3 将个存在反函数的函数进行复合,若可以得到一个有定义的复合函数，则这个复合函数存在反函数,且其反函数为。例题 14 求函数的反函数。解 函数是由，,复合而成，复合顺序为，分别求各个分函数的反函数为，则根据定理5的推论得的反函数为.反函数的一般求法对于以上的特殊函数同样适用,只不过有些函数解析式比较复杂,或者解析式并未具体给出，导致反解时有一定困难。通过特殊函数的反函数求解方法可以大大减少计算量，使问题简单化.对于一些函数图像容易给出的函数,我们也可以利用反函数的性质4绘出其反函数的图像,以便求解函数的反函数.参考文献1 高中数学教科书人教版必修1M。北京:人民教育出版社：8485,89。2 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨,刘宁 编 数学分析讲义第五版（上）M. 北京：高等教育出版社：2635.3 候吉成,李冬香。关于反函数的连续性与可微性J.高等数学研究, 2012，15(9）:2425.4 华东师范大数学系 著 数学分析第三版（上）M.北京：高等教育出版 社.1314.5 吉米多维奇(俄罗斯） 著 李荣涷，李植 译 数学分析习题集M。北京：高 等教育出版社。2010：3438。6 张忠旺，祁正红。有关反函数的若干问题释疑J.数学通讯,2012，（4)(上）: 4142。7 毕志刚。有关反函数教学中几个问题的探讨J。呼伦贝尔学院学报， 2005,13（8):106,116.8 姜轩.利用反函数性质求互为反函数的函数图像交点例析J。数学学习与 研究，2011，（1):65。9 司永斌。一节利用几何画板探究两函数交点问题的校本课程设计J。中小 学数学.中学版:3335.10 陈志惠.关于复合函数的反函数及其求法J.丹东纺专报，1998，（4)：42.11 刘锐。利用导数讨论反函数的存在性J。宁夏大学（自然科学版)， 1990,11（3)：54-55.12 柳长青,叶蓓蓓.判定反函数存在性定理在中学数学中的应用与拓展J. 广西右江民族师专学报,2004，(12)：16-19。致 谢本论文是在我的指导老师武秀美女士的悉心指导下完成的，从选课题到资料的收集整理,再到论文的撰写与修改，到最后成稿,武老师无不给予我最热忱,最有力的帮助和支持,武老师精益求精的工作精神，公正严明的治学态度和细心负责的教学作风使我深受感动,而这些也将成为我在以后人生道路上的标榜，在论文即将完成之际,谨此向武秀美老师致以衷心的感谢和崇高的敬意。时光荏苒，岁月如梭,在菏泽学院的两年时光白驹过隙般的飞逝,这两年，学院的老师和领导们给与我良好的学习环境，优越的专业指导,使我不论是在专业上、思想上，还是人生态度和意志品质上，都有了极大的提高.真诚感谢我的辅导员王庆林王老师，他不仅在学习上给我帮助,在生活上也对我予以照顾，我从他身上学到很多。由衷感谢我的同学曹影和孙丹丹,在与她们的无数争论和探讨中,我的论文工作有了长足发展.最后，感谢曾经教育和帮助过我的所有老师,衷心感谢为评论本论文而付出宝贵时间和辛勤劳动的专家和教授们，谢谢您们！13