2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编：13导数及其应用.doc

2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编
导数及其应用
1、（朝阳区2019届高三一模）已知函数 且.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）讨论函数的极值．

2、（东城区2019届高三一模）设函数的极小值点为.
（I）若，求的值的单调区间；
（II）若，在曲线上是否存在点，使得点位于轴的下方？若存在，求出一个点坐标，若不存在，说明理由.

3、（丰台区2019届高三一模）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求证：是函数的极小值点.

4、（海淀区2019届高三一模） 已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)当时，求证：函数存在极小值；
(Ⅲ)请直接写出函数的零点个数．

5、（怀柔区2019届高三一模）已知函数.
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.

6、（门头沟区2019届高三一模）已知在点处的切线与直线平行。
(Ⅰ)求实数的值；
（Ⅱ）设
（）若函数在上恒成立,求实数的最大值；
（）当时，判断函数有几个零点，并给出证明.

7、（石景山区2019届高三一模）设函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；
（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．

8、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数.
（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；
（II）若有极小值2，求.

9、（西城区2019届高三一模）设函数，其中．
（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．

10、（延庆区2019届高三一模） 已知函数在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）令，求函数的单调区间.

11、（房山区2019届高三一模）已知函数
（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数的图象在轴的上方，求的取值范围.

12、（大兴区2019届高三一模）已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求证：．

参考答案
1、解：（Ⅰ）当时，．所以．
因为，
所以曲线在处的切线方程为．……………….3分
（Ⅱ）当时，．
函数的定义域为．
不等式成立成立成立.
设，
则．
当变化时，，变化情况如下表：

＋

－

↗
极大值
↘
所以．
因为，所以，
所以．………………………………………………………………….8分
（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．
当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：

＋

－

↗
极大值
↘
此时有极大值，无极小值．
当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：

－

＋

↘
极小值
↗
此时有极小值，无极大值．……………………………………………….13分
2、解：（Ⅰ）定义域为.
.
由已知，得，解得.
当时，
当时，；当时，.
所以的递减区间为，单调递增区间为
所以时函数在处取得极小值.
即的极小值点为时的值为. ......................6分
（II） 当时，曲线上不存在点位于轴的下方，理由如下：
由（I）知
当时，，所以在单调递减，不存在极小值点；
当时令，得.
当时，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增.
所以是在上的最小值.
由已知，若，则有，即.
当时，，且，.
所以
当时，曲线上所有的点均位于轴的上方.
故当时，曲线上不存在点位于轴的下方. ...............13分
3、解：（Ⅰ）因为，所以，
故，
令，得，所以单调递增区间为；
令，得，所以单调递区间为．
（Ⅱ）由题可得.
① 当时，对任意，都有恒成立，
所以当时，；当时，.
所以函数在处取得极小值，符合题意.
② 当时，设，依然取.
则，令，得，
所以在上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
因为，所以（当且仅当时，等号成立，此时）.
所以对任意，都有恒成立.
所以当时，；当时，.
所以函数在处取得极小值，符合题意.
综上①②可知：当时是函数的极小值点.
4、解：（Ⅰ）的定义域为
因为
所以切点的坐标为
因为

所以切线的斜率，
所以切线的方程为
（Ⅱ）方法一：
令

因为且，
所以，，
从而得到在上恒成立
所以在上单调递增且，
所以，，在区间 的变化情况如下表:

极小值

所以时，取得极小值，问题得证
方法二：
因为
当时，
当时， ，所以
当时， ，所以
所以，，在区间 的变化情况如下表:

极小值

所以时，函数取得极小值，问题得证
（Ⅲ）当或时，函数有一个零点
当且时，函数有两个零点
5、解：（Ⅰ）当时，因为，
所以． f’(1)= －1, f(1)= －2,
所以在点处的切线方程是x+y+1=0------------------------------------5分
（Ⅱ）函数的定义域是，
因为，
（ⅰ） 当a时，>0恒成立，所以f（x）在（0，+）单调递增，又因为，不合题意，舍．
（ⅱ）当时，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在单调递减．
所以函数在时，取得最大值．
　　　 因为对于任意，都有，所以只需令，即，即．
　　 所以当的取值范围是----------------------------------------------13分
6、解：(Ⅰ)由题意得：
（Ⅱ）（）
当时，若，递增，则
当时，若，在递减，则不恒成立，所以，的最大值为1.
（），显然有一个零点0；
设
当时，无零点；所以只有一个零点0
当时，有，所以在上单增，
又，由零点存在定理可知，
所以在上有唯一一个零点，所以有二个零点
综上所述，时，只有一个零点0，时，有二个零点.
7、解：（Ⅰ）
，
，
由题设知，即，解得．
经验证满足题意。
（Ⅱ）方法一：
令，即，则
（1） 当时，即
对于任意有，
故在单调递减；
对于任意有，
故在单调递增，
因此当时，有最小值为成立．

（2） 当时，即
对于任意有，
故在单调递减，
因为，所以，即，
综上，的最大值为．
方法二：由题设知，当时，,
（1）当时，．
设，
则，
故在单调递减，
因此，的最小值大于，所以．
（2）当时，成立．
（3）当时，，因为，
所以当时，成立．
综上，的最大值为．
8、解：（I）因为点在曲线上，所以， ------------------------------------------1分
又， ------------------------------------------3分
所以 ------------------------------------------4分
在该点处曲线的切线方程为即 -----------------------------5分

（II）定义域为， --------------------------------------6分
讨论：（1）当时，
此时在上单调递减，所以不存在极小值------------------------------8分
（2）当时，令可得 ------------------------------------------9分
列表可得

0

单调递减

单调递增

所以在上单调递减，在上单调递增 ----------------------11分
所以所以=2解得 ------------------------------------------13分
9、解：（Ⅰ）由函数是偶函数，得，
即对于任意实数都成立，
所以. ……………… 2分
此时，则.
由，解得. ……………… 3分
当x变化时，与的变化情况如下表所示：

0

0

↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 5分
所以有极小值，有极大值. ……………… 6分
（Ⅱ）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ……………… 8分
对函数求导，得. ……………… 9分
由，解得，. ……………… 10分
当x变化时，与的变化情况如下表所示：

0

0

↘
极小值
↗
极大值
↘
所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 11分
又因为，，，，
所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.
即当或时，函数在区间上有两个零点. ……… 13分
10、解：（Ⅰ） ………1分
………2分
在点处的切线与直线平行
解得 ………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ………5分
函数的定义域是， ………6分
所以，…………7分
令， …………8分
又，…………9分
有恒成立
故在上为增函数，
由，
所以函数是上单调递减． …………… 11分
有恒成立
故在上为减函数，
由，
所以函数是上单调递减． …………… 13分
综上， 在 和 单调递减
11、（Ⅰ）当时，，
所以，
所以曲线在处的切线方程是： ……………4分
（Ⅱ）
“函数的图象在轴的上方”，等价于“时，恒成立”
由得
……………5分
①当时，因为， 不合题意 ……………6分
②当时，令得 显然 ……………7分
令得或；令得
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
……………10分
当时，， 所以
……………11分
只需所以，
所以 ……………13分
12、解：（Ⅰ）由，得，所以.……1分
由，得，所以.……2分
由已知，得.……3分
经检验，符合题意．……4分
（Ⅱ），，
，设，……1分
则，所以在区间单调递增，……3分
又，，……4分
所以在区间存在唯一零点，
设零点为，则，且．……5分
当时，；当，．
所以，函数在递减，在递增，……6分
，……7分
由，得
所以，……8分
由于，
从而，命题得证．……9分