1、2019北京市各区高三一模数学理试题分类汇编导数及其应用1、(朝阳区2019届高三一模)已知函数 且.()当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求证:;()讨论函数的极值2、(东城区2019届高三一模)设函数的极小值点为.(I)若,求的值的单调区间;(II)若,在曲线上是否存在点,使得点位于轴的下方?若存在,求出一个点坐标,若不存在,说明理由.3、(丰台区2019届高三一模)已知函数.()当时,求函数的单调区间;()当时,求证:是函数的极小值点.4、(海淀区2019届高三一模) 已知函数. (I)求曲线在点处的切线方程; ()当时,求证:函数存在极小值; ()请直接写出函数的零点个数5、(怀
2、柔区2019届高三一模)已知函数. ()当时,求在点处的切线方程;()若对于任意的,都有,求的取值范围.6、(门头沟区2019届高三一模)已知在点处的切线与直线平行。()求实数的值;()设()若函数在上恒成立,求实数的最大值;()当时,判断函数有几个零点,并给出证明.7、(石景山区2019届高三一模)设函数,()若曲线在点处的切线与轴平行,求;()当时,函数的图象恒在轴上方,求的最大值8、(顺义区2019届高三第二次统练(一模)设函数.(I)若点在曲线上,求在该点处曲线的切线方程;(II)若有极小值2,求.9、(西城区2019届高三一模)设函数,其中 ()当为偶函数时,求函数的极值;()若函数
3、在区间上有两个零点,求的取值范围10、(延庆区2019届高三一模) 已知函数在点处的切线与直线平行.()求的值; ()令,求函数的单调区间.11、(房山区2019届高三一模)已知函数()当时,求曲线在处的切线方程;()若函数的图象在轴的上方,求的取值范围.12、(大兴区2019届高三一模)已知函数图象在处的切线与函数图象在处的切线互相平行()求的值;()设,求证:参考答案1、解:()当时,所以因为,所以曲线在处的切线方程为.3分()当时, 函数的定义域为 不等式成立成立成立.设,则当变化时,变化情况如下表:极大值所以因为,所以,所以.8分()求导得. 令,因为可得当时,的定义域为.当变化时,变
4、化情况如下表:极大值此时有极大值,无极小值当时,的定义域为,当变化时,变化情况如下表:极小值此时有极小值,无极大值.13分2、解:()定义域为.由已知,得,解得.当时,当时,;当时,.所以的递减区间为,单调递增区间为所以时函数在处取得极小值.即的极小值点为时的值为. .6分(II) 当时,曲线上不存在点位于轴的下方,理由如下:由(I)知当时,所以在单调递减,不存在极小值点;当时,令,得.当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.所以是在上的最小值.由已知,若,则有,即.当时,且,. 所以 当时,曲线上所有的点均位于轴的上方.故当时,曲线上不存在点位于轴的下方. .13分3、解:()因为,
5、所以,故,令,得,所以单调递增区间为;令,得,所以单调递区间为 ()由题可得. 当时,对任意,都有恒成立,所以当时,;当时,.所以函数在处取得极小值,符合题意. 当时,设,依然取.则,令,得,所以在上单调递减,在区间上单调递增,所以.因为,所以(当且仅当时,等号成立,此时).所以对任意,都有恒成立. 所以当时,;当时,. 所以函数在处取得极小值,符合题意.综上可知:当时是函数的极小值点. 4、解:()的定义域为 因为 所以切点的坐标为 因为 所以切线的斜率, 所以切线的方程为 ()方法一:令 因为且, 所以, 从而得到在上恒成立 所以在上单调递增且, 所以,在区间 的变化情况如下表:极小值 所
6、以时,取得极小值,问题得证 方法二:因为 当时,当时, ,所以 当时, ,所以 所以,在区间 的变化情况如下表: 极小值 所以时,函数取得极小值,问题得证 ()当或时,函数有一个零点 当且时,函数有两个零点 5、解:()当时,因为, 所以 f(1)= 1, f(1)= 2,所以在点处的切线方程是x+y+1=0-5分()函数的定义域是,因为, () 当a时,0恒成立,所以f(x)在(0,+)单调递增,又因为,不合题意,舍 ()当时,当时,函数在上单调递增;当时,函数在单调递减所以函数在时,取得最大值 因为对于任意,都有,所以只需令,即,即 所以当的取值范围是-13分6、解:()由题意得:()()
7、当时,若,递增,则当时,若,在递减,则不恒成立,所以,的最大值为1.(),显然有一个零点0;设当时,无零点;所以只有一个零点0当时,有,所以在上单增,又,由零点存在定理可知,所以在上有唯一一个零点,所以有二个零点综上所述,时,只有一个零点0,时,有二个零点.7、解:(), , 由题设知,即,解得 经验证满足题意。()方法一: 令,即,则 (1) 当时,即对于任意有,故在单调递减; 对于任意有,故在单调递增, 因此当时,有最小值为成立(2) 当时,即对于任意有,故在单调递减, 因为,所以,即, 综上,的最大值为 方法二:由题设知,当时,, (1)当时, 设,则, 故在单调递减, 因此,的最小值大
8、于,所以 (2)当时,成立 (3)当时,因为, 所以当时,成立 综上,的最大值为 8、解:(I)因为点在曲线上,所以, -1分又, -3分所以 -4分在该点处曲线的切线方程为即 -5分(II)定义域为, -6分讨论:(1)当时,此时在上单调递减,所以不存在极小值-8分(2)当时,令可得 -9分列表可得0单调递减单调递增所以在上单调递减,在上单调递增 -11分所以=,所以=2解得 -13分9、解:()由函数是偶函数,得,即对于任意实数都成立,所以. 2分此时,则.由,解得. 3分当x变化时,与的变化情况如下表所示:00极小值极大值所以在,上单调递减,在上单调递增. 5分所以有极小值,有极大值.
9、6分 ()由,得. 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”. 8分 对函数求导,得. 9分 由,解得,. 10分 当x变化时,与的变化情况如下表所示:00极小值极大值 所以在,上单调递减,在上单调递增. 11分 又因为, 所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点. 即当或时,函数在区间上有两个零点. 13分10、解:() 1分 2分在点处的切线与直线平行 解得 4分()由()可知 5分函数的定义域是, 6分所以,7分令, 8分又,9分有恒成立故在上为增函数, 由, 所以函数是上单调递减 11分 有恒成立故在上为减函数, 由, 所以函数是上单调递减 13分 综上, 在 和 单调递减 11、()当时,所以,所以曲线在处的切线方程是: 4分()“函数的图象在轴的上方”,等价于“时,恒成立”由得 5分当时,因为, 不合题意 6分当时,令得 显然 7分令得或;令得所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是,10分当时, 所以11分只需所以, 所以 13分12、解:()由,得,所以.1分由,得,所以.2分由已知,得.3分经检验,符合题意4分(),设,1分则,所以在区间单调递增,3分又,4分所以在区间存在唯一零点,设零点为,则,且5分当时,;当,所以,函数在递减,在递增,6分,7分由,得所以,8分由于,从而,命题得证9分
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