2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题(解析版).doc

2020届山东省临沂市高三上学期期中数学试题

一、单选题
1．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据得：，可得，最后利用集合的并运算，可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查元素与集合的关系、集合的并运算，考查对集合概念的理解及基本的运算求解能力.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由对数的真数大于0，被开方数大于等于0，列出关于的不等式组，再解不等式得到函数的定义域.
【详解】
因为，
所以函数的定义域为.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数定义域的求法，即使函数解析式有意义的自变量的取值的集合，考查基本运算求解能力.
3．设函数，则（　　）
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.
【详解】
∵函数，
∴=2+9=11．
故选：B．
【点睛】
本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
4．已知满足，且，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用不等式的性质、结合综合法、分析法对选项进行验证.
【详解】
因为，且，所以，
对A，若显然成立，所以，故A正确；
对B，因为，所以，故B正确；
对C，因为，所以，若，此时不成立，若，此时成立，故C不一定成立；
对D，因为，，所以成立，故D正确；
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式性质的运用，求解时注意结合不等式证明的综合法、分析法，可使问题的求解更清晰，考查逻辑推理能力.
5．已知向量，满足，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接根据向量的夹角公式求得余弦值.
【详解】
设向量与的夹角为，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查向量数量积的定义、向量的夹角公式，考查基本的运算求解能力.
6．二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为130．0寸，夏至的晷影最短为14．8寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（ ）

A．77.2寸 B．72.4寸 C．67.3寸 D．62.8寸
【答案】D
【解析】设冬至的晷影长为等差数列的首项，夏至的晷影长为，求出等差数列的公差，再求即可得到清明的晷影长.
【详解】
设冬至的晷影长为等差数列的首项，夏至的晷影长为为，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查实际问题的建模，考查等差数列通项公式的应用，求解时要以哪一项为等差数列的首项，防止公差求错，考查基本运算求解能力.
7．已知等比数列的前n项和为，若则（ ）
A．45 B．81 C．117 D．153
【答案】D
【解析】利用通项公式得到关于的两个方程组，求出的值后，直接代入等比数列的前项和公式中，求得的值.
【详解】
由题意得：
所以.
故选：D.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式、前项和公式，求解时要注意运算的准确性.
8．函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将图象（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】根据函数的图象求得，再根据左加右减平移变换，要得到的解析式，观察出如何进行平移变换.
【详解】
由题意得：，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以图象向右平移个单位长度可得：
.
故选：C.
【点睛】
本题考查从三角函数图象提取信息求的值，考查“左加右减”平移变换，求解过程中注意是由函数平移变换到函数，考查数形结合思想的运用.
9．已知为的导函数，则的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用诱导公式对函数解析式进行化简，再利用函数的奇偶性及函数在原点右边的小邻域内单调递减，即可选出正确答案.
【详解】
因为，所以，
所以为奇函数，排除A，D；
因为，，
当时，，
所以在内递减.
故选：B.
【点睛】
本题考查导数在函数中的应用、诱导公式、奇偶性、单调性的综合运用，求解时要充分利用图象提供的信息，寻找隐含条件，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
10．已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在内单调递减．则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先得到函数的周期为6，利用为偶函数，得到，将化成，再比较的大小关系，最后利用函数的单调性得到的大小关系.
【详解】
因为，所以的最小正周期，
因为为偶函数，所以，
所以，
因为，，且在(0，3)内单调递减，
所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数的周期性、奇偶性、单调性的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意利用函数的性质把自变量的取值都化到同一个单调区间内.

二、多选题
11．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．已知非零向量，若则
B．若则
C．在中，“”是“”的充要条件
D．若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数
【答案】ABD
【解析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的定义可得也为奇函数.
【详解】
对A，，所以，故A正确；
对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；
对C，，
所以或，显然不是充要条件，故C错误；
对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.
12．设是定义在R上的函数，若存在两个不相等的实数，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数中，具有性质P的函数为（ ）
①；②；③；④．
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABC
【解析】函数具有性质P，本质是在图象上找到三个点，且点为中点即可.
【详解】
对A，在函数图象上取，有成立，
故A正确；
对B，在函数图象上取，有成立，故B正确；
对C，在函数图象上取，有成立，
故C正确；
对D，因为，
因为，
所以恒成立，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查对命题的直接判断，函数与方程的综合应用，将问题转化成找到图象上的三个点，且前后两点关于中间点对称是求解本题的关键，考查数形结合思想的应用.
13．设函数，已知在有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是（ ）
A．在上存在，满足
B．在有且仅有1个最大值点
C．在单调递增
D．的取值范围是
【答案】AD
【解析】对A选项，易知最小正周期；对，结合伸缩变换先求在轴右侧的前4个零点，进而得到在轴右侧的前4个零点，再列出不等式组，即可得的范围；对B，可以把第三个零点与第四个零点的中点坐标求出来，利用选项D中的范围，可得该中点坐标可能在内；对C，根据选项D中的范围，可得的范围不在区间内.
【详解】
对A，在有且仅有3个零点，则函数的最小正周期，所以在上存在，使得，所以可以成立，故A正确；
对B，由D选项中前4个零点分别是：，得，此时可使函数取得最大值，因为，所以，所以在可能存在2个最大值点，故B错误；
对C，由D选项中，所以，区间不是的子区间，故C错误；
对D，函数在轴右侧的前4个零点分别是：，
则函数在轴右侧的前4个零点分别是：，
因为在有且仅有3个零点，所以，故D正确；
故选：AD.
【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，对三角函数的中对图象的影响作用做了深入的考查，求解时要能灵活地运用伸缩变换，研究函数的图象特征，考查数形结合思想、函数与方程思想，同时要注意懂得先判断D选项的正确性，再利用的范围为判断B，C选项服务.

三、填空题
14．若则_________．
【答案】
【解析】利用诱导公式、二倍角正弦公式，将目标式子化成关于的表达式，再进行求值；
【详解】
原式.
故答案为：.
【点睛】
本题考查诱导公式、二倍角正弦公式、同角三角函数的基本关系，考查基本运算求解能力，求解时要灵活地运用1的代换，能使问题的求解更简洁.
15．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】对函数进行求导，利用在区间恒成立，求得的取值范围.
【详解】
由题意得：，
因为在区间上单调递减，
所以在区间恒成立，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，考查二次函数根的分布问题，求解时要注意是恒成立，而不是恒成立，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
16．中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________．
【答案】
【解析】由得，再三点共线得，进而利用基本不等式分别求得，的最大值和最小值.
【详解】
如图所示，

由得，
所以，所以，
所以，等号成立当且仅当，
所以的最大值为.
因为，等号成立当且仅当，
所以的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】
本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立.
17．设的内角A，B，C的对边分别为，已知依次成等比数列，且则___________．
【答案】
【解析】根据依次成等比数列得，利用正弦定理得，利用化简得，求出及，最后求得的值.
【详解】
因为依次成等比数列，
所以，在中，，
所以①，
因为②，
由①②得：，所以，
因为，所以，则.
由①②得：，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比中项、三角形内角和、诱导公式、三角恒等变换等知识的综合运用，求解时注意两角互补，余弦值是互为相反数，考查逻辑推理能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.

四、解答题
18．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)若成等比数列，求正整数k的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用通项公式和前项和公式得求出，即可写出通项公式；
（2）由等比中项性质得关于的一元二次方程，可求出的值，并把不符合题意的值舍去.
【详解】
（1）设公差为d，则
解得，

（2）
又成等比数列，
，
，
或，又，
.
【点睛】
本题考查等差数列通项公式、前项和公式、等比中项性质，考查函数与方程思想及基本量法的运用.
19．设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的值．
【答案】（1）（2）或.
【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式得，再根据图象的对称轴求得的值，进而得到函数的解析式；
（2）根据得到关于的方程，再解三角方程得到的值.
【详解】
（1）

.
图象关于直线对称，
.
又，
令时，符合要求，
.
（2）

即，
，
当时，；当时，；
或.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数图象性质、已知三角函数值求角，考查基本运算求解能力，注意在解题过程中关注和角的范围.
20．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求的值；
(2)若在区间上至少存在一点，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）先对函数求导，由得到的值；
（2）若在区间上存在，使得，问题转化为在区间上的最小值小于0，再对分3种情况讨论.
【详解】
解：（1）

曲线在点处的切线与y轴垂直，

（2）
令，得，
若在区间上存在，使得，即在区间上的最小值小于0.
①当，即时，上恒成立，
在区间上的最小值为.
由得.
②当时，即，
此时，当时，，当时，，
在区间上的最小值为
由，得.
③当，即
此时当上时，恒成立，
在上的最小值为，
显然不成立.
综上可知，所求的取值范围为或.
【点睛】
本题考查函数在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性，求解时注意曲线在某点处的切线方程与过某点切线方程的区别，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合运用，在分类时要找准分类的标准，做到不重不漏.
21．如图，在平面四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；
(2)若，求AC．
【答案】（1）2（2）
【解析】（1）利用余弦定理求出的值，再由面积公式得到求得△ABC的面积；
（2）设在中利用正弦定理得，在中利用正弦定理得，从而得到关于的方程，求出后，代入的表达式，即可得答案.
【详解】
（1），
由余弦定理可得，

或（舍去），
.
（2）设则，，
在中，，即

在中，即，

由，解得：，
又，
.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，在第（2）问求解时，关键是设出角，然后利用正弦定理寻找等量关系，从而得到关于的方程，是对函数与方程思想的深入考查.
22．某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间个月的二次函数是常数，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月开始，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励120万元．
(1)求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；
(2)问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．
【答案】（1）万元（2）经过10个月投资开始见效
【解析】（1）由前3个月的累计生产净收入可求得，第4个月的净收入为万元，再根据题意得；
（2）求出表达式要想投资开始见效，必须且只需，将分段函数代入不等式解出的取值.
【详解】
解：（1）据题意，
解得

第4个月的净收入为万元.

万元.
（2）
即
要想投资开始见效，必须且只需，
即，
①当时，

即
即，显然不成立.
②当时，
，
即，即，
验算得时，，
所以，经过10个月投资开始见效.
【点睛】
本题考查分段函数与二次函数的实际应用，考查对实际问题的建模能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想的综合运用.在求解关于的不等式时，可以灵活运用代入法判断不等式的解.
23．已知．
(1)当时，证明：；
(2)已知点，若O为坐标原点，设函数，当时，试判断的零点个数．
【答案】（1）证明见解析（2）零点个数为2
【解析】（1）构造函数，利用导数证明的最小值大于0，从而证明不等式成立；
（2）求出函数，对区间分成四种情况讨论，并利用零点存在定理、结合函数的单调性判断零点的情况.
【详解】
（1）令.
则
令
则
由，得，
由，得，
在递减，在递增，
，
在上恒成立，
在递减，在递增，

.
（2）点，点，
，

①当时，可知，
又
在单调递减，
.
在上有一个零点。
②当时，，
恒成立.
在上无零点.
③当时，，
，
在上单调递增.
又，
在上存在一个零点。
④当时，

恒成立，
在无零点，
综上，在上零点个数为2.
【点睛】
本题考查利用导数证明不等式、判断零点个数，考查构造函数法证明不等式、零点存在定理判断零点个数，考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想，第（2）问求解的关键是对区间分成四个小区间讨论，也是本题的难点.

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