资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，则1+a+b的值是（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
2．如图，抛物线与直线交于，两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线方向平移个单位．在整个平移过程中，点经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P（m，1）与点Q（﹣2，n）关于原点对称,则m n的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
4．九（1）班的教室里正在召开50人的座谈会，其中有3名教师，12名家长，35名学生，当林校长走到教室门口时，听到里面有人在发言，那么发言人是家长的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2 .正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．线段 B．三角形 C．平行四边形 D．正方形
7．下列说法正确的是（ ）
A．25人中至少有3人的出生月份相同
B．任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次一定反面朝上
C．天气预报说明天降雨的概率为10%，则明天一定是晴天
D．任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3的概率是
8．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确
B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确
D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．观察下列四个图形，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
10．某公司一月份缴税40万元，由于公司的业绩逐月稳步上升，假设每月的缴税增长率相同，第一季度共缴税145.6万元，该公司这季度缴税的月平均增长率为多少？设公司这季度缴税的月平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，点，分别在线段，上，若，，，，则的长为________．
12．二次函数图像的顶点坐标为_________．
13．若，，是反比例函数图象上的点，且，则、、的大小关系是__________．
14．如图,∠MON=90°,直角三角形ABC斜边的端点A,B别在射线OM,ON上滑动,BC=1,∠BAC=30°,连接OC.当AB平分OC时,OC的长为______．
15．如图，，，若，则_________ ．
16．如图，过圆外一点作圆的一条割线交于点，若，，且，则_______．
17．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．
18．已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温，11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180平方米，单价1．8万元/平方米，小三居每套面积120平方米，单价1．5万元/平方米．
（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？
（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”，重庆房市成功稳定并略有回落．为年底清盘促销，LH地产调整营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元(m>0)，将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较(1)中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与(1)中I1月的销售总额相等．求出m的值．
20．（6分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21．（6分）已知抛物线的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；
（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.
22．（8分）如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
23．（8分）直线y＝kx+b与反比例函数（x＞0）的图象分别交于点A（m，4）和点B（8，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）观察图象，当x＞0时，直接写出的解集；
（3）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．
24．（8分）如图是反比例函数y＝的图象，当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1.
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)若点M，N分别在该反比例函数的两支图象上，请指出什么情况下线段MN最短(不需要证明)，并注出线段MN长度的取值范围．
25．（10分）已知函数，(m，n，k为常数且≠0)
(1)若函数的图像经过点A(2,5)，B(-1,3)两个点中的其中一个点，求该函数的表达式.
(2)若函数，的图像始终经过同一个定点M.
①求点M的坐标和k的取值
②若m≤2，当-1≤x≤2时，总有≤，求m+n的取值范围.
26．（10分）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，以3为半径的圆，分别交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，过点的直线交轴负半轴于点．
（1）求两点的坐标；
（2）求证：直线是⊙的切线．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据x=-1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，可以得到a+b的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2019＝0的一个解，
∴a+b﹣2019＝0，
∴a+b＝2019，
∴1+a+b＝1+2019＝2020，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
2、B
【分析】根据题意抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+a，令x=2,y=(a-)²+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根据点D的纵坐标的变化情形，即可解决问题．
【详解】解：由题意，抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，
∵抛物线=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a个单位，则向上平移a个单位，
抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+a
令x=2,y=(3-a) ²-1+a,
∴y=(a-)²+,
∵0≤a≤4
∴y的最大值为8，最小值为，
∵a=4时，y=2，
∴8-2+2(2-)=
故选：B
【点睛】
本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．
3、A
【分析】已知在平面直角坐标系中，点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称，则P和Q两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m，n，进而求得m n的值．
【详解】∵点P(m,1)与点Q(﹣2,n)关于原点对称
∴m=2，n=-1
∴m n=-2
故选：A
【点睛】
本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
4、B
【解析】根据概率=频数除以总数即可解题.
【详解】解：由题可知：发言人是家长的概率==,
故选B.
【点睛】
本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概率的计算方法是解题关键.
5、C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
∴
解得：
∴2a－b＝0，故②正确；
③∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，
∴此抛物线与x轴的另一个交点在(0，0)和(1，0)之间
∵在对称轴的右侧，函数y随x增大而减小
∴当x=1时，y＜0，
∴将x=1代入解析式中，得：y＝a＋b＋c＜0
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】
此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
6、B
【解析】根据长方形放置的不同角度，得到的不同影子，发挥想象能力逐个实验即可.
【详解】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查几何图形的投影，关键在于根据不同的位置，识别不同的投影图形.
7、A
【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、25人中至少有3人的出生月份相同，原说法正确，故这个选项符合题意；
B、任意抛掷一枚均匀的1元硬币，若上一次正面朝上，则下一次可能正面朝上，可能反面朝上，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C、天气预报说明天的降水概率为10%，则明天不一定是晴天，原说法错误，故这个选项不符合题意；
D、任意抛掷一枚均匀的骰子，掷出的点数小于3有2种可能，故概率是，原说法错误，故这个选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．
8、C
【分析】画出抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）的图象，根据图象即可判断．
【详解】解：由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），
如图所示：
∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题，作出函数的图象是解题的关键．
9、C
【分析】根据中心对称图形的定义即可判断.
【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，
根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形.
10、D
【分析】根据题意，第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，根据第一季度共获利145.6万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】设二、三月份利润的月增长率为，则第二月获得利润万元，第三月获得利润万元，
依题意，得：．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法为：若变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、7.1
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：，
，即，
解得，，
，
故答案为：7.1．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12、（，）
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【详解】∵
∴抛物线顶点坐标为．
故本题答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．
13、
【分析】根据“反比例函数”可知k=3，可知该函数图像过第一、三象限，在第一象限，y随x的增大而减小且y>0，在第三象限，y随x的增大而减小且y<0，据此进行排序即可.
【详解】由题意可知该函数图像过第一、三象限，在第一象限，y随x的增大而减小且y>0，在第三象限，y随x的增大而减小且y<0，
因为
所以
所以
故答案填.
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，能够熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键.
14、．
【分析】取AB中点F，连接FC、FO，根据斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质得到AB垂直平分OC，利用特殊角的三角函数即可求得答案.
【详解】如图，设AB交OC于E，取AB中点F，连接FC、FO，
∵∠MON=∠ACB=90°
∴FC=FO(斜边上的中线等于斜边的一半)，
又AB平分OC，
∴CE=EO，ABOC(三线合一)
在中，BC=1, ∠ABC=90，
∴，
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，综合性较强，但难度不大，构造合适的辅助线是解题的关键．
15、1
【分析】可得出△OAB∽△OCD，可求出CD的长．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ ，
∵ ，若AB=8，
∴CD=1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16、1
【分析】作OD⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝BD，由三角函数定义得出sin∠OAB＝，设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，由勾股定理的AD＝3x，由含30角的直角三角形的性质得出OP＝2OD，得出方程3＋5x＝2×4x，解得x＝1，得出BD＝AD＝3即可．
【详解】作OD⊥AB于D，如图所示：
则AD＝BD，
∵sin∠OAB＝，
∴设OD＝4x，则OC＝OA＝5x，OP＝3＋5x，
AD＝＝3x，
∵∠OPA＝30，
∴OP＝2OD，
∴3＋5x＝2×4x，
解得：x＝1，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝1；
故答案为：1．
【点睛】
本题看了垂径定理、勾股定理、三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
17、60°
【解析】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CBD=30°，
∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；
故答案是：60°
18、（1,4）.
【解析】试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.
考点：抛物线的顶点.
三、解答题(共66分)
19、（1）30 （2）2
【分析】（1）设推出大平层x套，小三居y套，根据题意列出方程求解即可；
（2）由题意得，12月大平层推出套，单价为，12月小三居推出套，单价为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设推出大平层x套，小三居y套，由题意得
②①
故11月要推出30套大平层房型；
（2）解：由题意得，12月大平层推出套，单价为，12月小三居推出套，单价为
∴
解得或
∵
∴．
【点睛】
本题考查了一元一次方程组和一元二次方程的实际应用，掌握解一元一次方程组和一元二次方程的方法是解题的关键．
20、（1）；（2），；（3）当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元.
【分析】（1）根据题意找到平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
（2）根据题意找到平均每天销售利润W（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
（3）根据二次函数解析式求最值
【详解】解：（1）由题意，得，化简，得.
（2）由题意，得，.
（3）.
∵，
∴抛物线开口向下.
当时，有最大值.
又当时，随的增大而增大，
∴当元时，的最大值为1125元.
∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用和求最值，其中：利润=（售价-进价）×销量
21、 (1)y=x2﹣2x﹣3；(2)(1，－4)
【分析】（1）将两点代入列出关于b和c的二元一次方程组，然后进行求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解．
【详解】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入y=x2+bx+c（a≠0）得
，解得
∴所求函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴=﹣=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法．
22、 (1)y=－；y=－x－2；(2)6
【分析】（1）先把点A（-4，2）代入，求得“m”的值得到反比例函数的解析式，再把点B（n，-4）代入所得的反比例函数的解析式中求得“n”的值，从而可得点B的坐标，最后把A、B的坐标代入中列方程组解得“k、b”的值即可得到一次函数的解析式；
（2）设直线AB和x轴交于点C，先求出点C的坐标，再由S△AOB=S△AOC+S△BOC，即可计算出△AOB的面积；
【详解】（１）把点A（-4，2）代入得：，解得：，
∴反比例函数的解析式为：.
把点B（n，-4）代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为（2，-4）.
把点A、B的坐标代入得：，
解得，
∴一次函数的解析式是；
（2）如图，设AB与x轴的交点为点C，
在中由可得：，解得：.
∴点C的坐标是（-2，0）.
∴OC=2，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=.
23、（1）；（2）2<x<8；（3）点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似.
【解析】（1）首先确定A、B两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，根据A、B两点的横坐标即可确定．
（3）分两种情形讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵点A（m,4）和点B（8,n)在图象上，
∴，即A（2，4），B（8，1）
把A（2，4），B（8，1）两点代入得
解得：，所以直线AB的解析式为：
（2）由图象可得，当x>0时，的解集为2<x<8.
（3）由（1）得直线AB的解析式为，当x=0时，y=5，当y=0时，x=10，即C点坐标为（0，5），D点坐标为（10，0）
∴OC=5，OD=10，
∴
设P点坐标为（a，0），由题可以，点P在点D左侧，则PD=10-a
由∠CDO＝∠ADP可得
①当时，△COD∽△APD，此时AP∥CO，,解得a=2,
故点P坐标为（2，0）
②当时，△COD∽△PAD，即，解得a=0，
即点P的坐标为（0，0）
因此，点P的坐标为（2，0）或（0，0）时，△COD与△ADP相似.
【点睛】
本题是反比例函数综合题，还考查了一次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
24、（1）（2）MN≥4
【分析】（1）根据反比例函数自变量与因变量的取值知当x＝－4时，y＝－1，当x=-1，时y=-4，代入其中一组即可求出反比例函数的解析式;（2）根据反比例函数的中心对称图性知当点M，N都在直线y＝x上时，此时线段MN的长度最短，联立y＝与y＝x即可求出M、N的坐标，再求出此时MN的距离，故线段MN长度的取值范围为MN≥4.
【详解】∵反比例函数图象的两支曲线分别位于第一、三象限，
∴当－4≤x≤－1时，y随着x的增大而减小，
又∵当－4≤x≤－1时，－4≤y≤－1，
∴当x＝－4时，y＝－1，由y＝
得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝.
当点M，N都在直线y＝x上时，线段MN的长度最短，
解，
得x1=2,x2=-2,
∴点M，N的坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，
MN =4，
故线段MN长度的取值范围为MN≥4.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是利用变量的取值来确定坐标，从而解出解析式.
25、 (1)；(2)①M(2,3)，k=3；②
【分析】（1）将两点代入解析式即可得出结果；
（2）①二次函数过某定点，则函数表达式与字母系数无关，以此解决问题；②根据二次函数的性质解题
【详解】解：(1)①若函数图象经过点A(2,5)，将A(2,5)代入得
，不成立
②若函数图象经过点B(-1,3)，将B(-1,3)代入得
，解得.
∴.
(2)①过定点M，
与m无关，故，代入，得点M为(2,3)，
也过点M，代入得，解得k=3.
②在时，
.
，则，
∴，即.
∵，
∴，
∴，，
∴.
【点睛】
此题考查含字母系数的二次函数综合题，掌握二次函数的图像与性质是解题的基础.
26、（1）,；（2）详见解析．
【分析】（1）先根据圆的半径可求出CA的长，再结合点C坐标即可得出点A坐标；根据点C坐标可知OC的长，又根据圆的半径可求出CB的长，然后利用勾股定理可求出OB的长，即可得出点B坐标；
（2）先根据点坐标分别求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，然后根据圆的切线的判定定理即可得证．
【详解】（1）∵，圆的半径为3
∴，
∴
点A是x轴正半轴与圆的交点
∴
如图，连接CB，则
在中，
点B是y轴正半轴与圆的交点
∴；
（2）∵
∴
在中，
则在中，
是直角三角形，即
又∵BC是⊙C半径
∴直线BD是⊙C的切线．
【点睛】
本题是一道较简单的综合题，考查了圆的基本性质、勾股定理、圆的切线的判定定理等知识点，熟记各定理与性质是解题关键．
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