资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知一元二次方程，则该方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
2．入冬以来气温变化异常，在校学生患流感人数明显增多，若某校某日九年级8个班因病缺课人数分别为2、6、4、6、10、4、6、2，则这组数据的众数是（ ）
A．5人 B．6人 C．4人 D．8人
3．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互增了182件．如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）．
A．x（x+1）=182 B．x（x+1）=182×
C．x（x－1）=182 D．x（x－1）=182×2
4．二次函数y = x2+2的对称轴为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于( )
A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：7
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
7．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
8．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上． B．抛出的篮球会下落．
C．任意的三条线段可以组成三角形 D．同位角相等
9．若反比例函数的图像在第二、四象限，则它的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
12．对于二次函数y＝2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（0，﹣3） B．图象与x轴的交点为（1，0），（﹣3，0）
C．此函数有最小值为﹣6 D．当x＜1时，y随x的增大而减小
二、填空题（每题4分，共24分）
13．设m是一元二次方程x2﹣x﹣2019＝0的一个根，则m2﹣m+1的值为___．
14．已知二次函数是常数)，当时，函数有最大值，则的值为_____．
15．cos30°+sin45°+tan60°＝_____．
16．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
17．方程的解是______________．
18．若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长
20．（8分）如图，点A，C，D，B在以O点为圆心，OA长为半径的圆弧上， AC=CD=DB，AB交OC于点E．求证：AE=CD．
21．（8分）先化简，再求值．
，请从一元二次方程x2+2x-3=0的两个根中选择一个你喜欢的求值．
22．（10分）甲、乙两人用如图所示的转盘（每个转盘被分成面积相等的6个扇形）做游戏，转动转盘停止时，得到指针所在区域的数字，若指针落在分界线上，则不计入次数，重新转动转盘记数．
(1)任意转动转盘一次，求指针落在奇数区域的概率；
(2)若游戏规则如下：甲乙分别转盘一次，记下两次指针所在区域数字，若两次的数字为一奇一偶，则甲赢；若两次的数字同为奇数或同为偶数，则乙赢．请用列表法或画树状图的方法计算甲、乙获胜的概率，并说明这个游戏规则是否公平．
23．（10分）综合与探究
如图，抛物线经过点、、，已知点，，且，点为抛物线上一点（异于）．
（1）求抛物线和直线的表达式．
（2）若点是直线上方抛物线上的点，过点作，与交于点，垂足为．当时，求点的坐标．
（3）若点为轴上一动点，是否存在点，使得由，，，四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）解方程：
（1）2x2﹣7x+3＝0
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）
25．（12分）在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.
（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；
（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.
26．解方程：2x2+3x﹣1=1．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3，
∴△=b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大．
2、B
【解析】找出这组数据出现次数最多的那个数据即为众数.
【详解】解：∵数据2、6、4、6、10、4、6、2，中数据6出现次数最多为3次，
∴这组数据的众数是6.
故选：B.
【点睛】
本题考查众数的概念，出现次数最多的数据为这组数的众数.
3、C
【解析】试题分析：先求每名同学赠的标本，再求x名同学赠的标本，而已知全组共互赠了182件，故根据等量关系可得到方程．
每名同学所赠的标本为：（x-1）件，
那么x名同学共赠：x（x-1）件，
根据题意可列方程：x（x-1）=182，故选C.
考点：本题考查的是根据实际问题列一元二次方程
点评：找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解答本题的关键．
4、B
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】二次函数y = x2+2的对称轴为直线．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k(a，b，c为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．
5、C
【分析】由于DE∥FG∥BC，那么△ADE△AFGABC，根据AD：AF：AB=1：2：4，可得出三个相似三角形的面积比，进而得出△ADE、四边形DFGE、四边形FBCG的面积比.
【详解】
设△ADE的面积为a,则△AFG和△ABC的面积分别是4a、16a;
则分别是3a、12a;
则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG= 1：3：12
故选C.
【点睛】
本题主要考察相似三角形，解题突破口是根据平行性质推出△ADE△AFGABC.
6、C
【解析】分析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=1，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．
详解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=1，
∴AE=CE=1，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故选C．
点睛：此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE=CE=1．
7、C
【分析】易得圆锥的母线长为24cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径.
【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为：，
∴圆锥的底面半径为：.
故答案为：C.
【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
8、B
【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
B、抛出的篮球会下落是必然事件，故此选项正确；
C、任意三条线段可以组成一个三角形是随机事件，故此选项错误；
D、同位角相等，属于随机事件，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
9、A
【分析】根据反比例函数的定义及图象经过第二、四象限时，判断即可．
【详解】解：、对于函数，是反比例函数，其，图象位于第二、四象限；
、对于函数，是正比例函数，不是反比例函数；
、对于函数，是反比例函数，图象位于一、三象限；
、对于函数，是二次函数，不是反比例函数；
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数、反比例的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．
10、B
【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=.
故选B.
点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了.
11、C
【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.
故选B．
考点：概率的求法
12、D
【分析】通过计算自变量x对应的函数值可对A进行判断；利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程2（x+1）（x﹣3）＝0可对B进行判断；把抛物线的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质对C、D进行判断．
【详解】解：A、当x＝0时，y＝2（x+1）（x﹣3）＝﹣6，则函数图象经过点（0，﹣6），所以A选项错误；
B、当y＝0时，2（x+1）（x﹣3）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），所以B选项错误；
C、y＝2（x+1）（x﹣3）＝2（x﹣1）2﹣8，则函数有最小值为﹣8，所以D选项错误；
D、抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，则当x＜1时，y随x的增大而减小，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，函数的最值，增减性，与坐标轴交点坐标熟练掌握是解题的关键
二、填空题（每题4分，共24分）
13、2020.
【分析】把x=m代入方程计算即可求解．
【详解】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣2019＝0，即m2﹣m＝2019，
则原式＝2019+1＝2020，
故答案为2020.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14、或
【分析】由题意，二次函数的对称轴为，且开口向下，则可分为三种情况进行分析，分别求出m的值，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且开口向下，
∵当时，函数有最大值，
①当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
②当时，函数有最大值为1；不符合题意；
③当时，抛物线在处取到最大值，
∴，
解得：或（舍去）；
∴m的值为：或；
故答案为：或.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，以及二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，确定对称轴的位置，进行分类讨论.
15、
【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简进行计算，在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后求得计算结果．
【详解】cos30°+sin45°+tan60°
=
=
=
故填：.
【点睛】
解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
16、2-2
【解析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为-2.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
17、,
【分析】根据题意先移项，再提取公因式，求出x的值即可．
【详解】解：移项得，x（x-3）-x=0，
提取公因式得，x（x-3-1）=0，即x（x-4）=0，
解得,．
故答案为：,．
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程-因式分解法，熟练利用因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
18、y1＜y1
【分析】由k=-1可知，反比例函数y＝﹣的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则问题可解.
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣1＜0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（1，y1），B（1，y1）在反比例函数y＝﹣的图象上，1＞1，
∴y1＜y1，
故答案为y1＜y1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）1
【分析】（1）由正方形的性质得出∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，证出∠ABE＝∠DEF，即可得出△ABE∽△DEF；
（2）求出DF＝1，CF＝3，由相似三角形的性质得出，解得DE＝2，证明△EDF∽△GCF，得出 ，求出CG＝6，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BEF＝90°，
∵∠AEB+∠EBA＝∠DEF+∠EBA＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，
∴DF＝1，CF＝3，
∵△ABE∽△DEF，
∴，即 ，
解得：DE＝2，
∵AD∥BC，
∴△EDF∽△GCF，
∴，即，
∴CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝4+6＝1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
20、证明见解析
【解析】试题分析：连接OC，OD，根据弦相等，得出它们所对的弧相等，得到=,再得到它们所对的圆心角相等，证明 得到
又因为 即可证明.
试题解析：证明：方法一：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB，=,
∴，
∴，
∵，∴，
，
，
，
，
，
，．
方法二：连接OC，OD，
∵AC=CD=DB，=,
∴，
∴，
∵，∴，
∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，
∴∠CAO=∠AEC，
在中，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠ACO=∠AEC，，
，.
方法三：连接AD，OC，OD，
∵AC=DB，=,
∴∠ADC=∠DAB，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠DCO，
∵AC=CD，AO=DO，
∴CO⊥AD，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，
∵AC=CD，∴AE=CD．
21、，
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再把使分式有意义的方程的根代入即可求解．
【详解】解：
＝
＝
＝
＝，
∵x2+2x-3=0的两根是-3，1，
又∵x不能为1
所以把x=﹣3代入，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，注意代入数值时，要选择使分式有意义的数．
22、（1）；（2）游戏规则公平，理由详见解析
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）P（指针落在奇数区域）=．
(2)列表如下：（画树形图评分方案同列表）
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
由表可知，P（甲获胜）=P（一奇一偶）=，
P（乙获胜）=P（同奇或同偶）=，
P（甲获胜）= P（乙获胜）=，
所以，游戏规则公平
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1），；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或
【分析】（1），则OA=4OC=8，故点A（-8，0）；△AOC∽△COB，则△ABC为直角三角形，则CO2=OA•OB，解得：OB=2，故点B（2，0）；即可求解；
（2）PE=EF，即；即可求解；
（3）分BC是边、BC是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
由点的坐标可知，故，，则点，点．
设抛物线的表达式为,
代入点的坐标，得，解得．
故抛物线的表达式为．
设直线的表达式为,
代入点、的坐标，得，解得
故直线的表达式为．
（2）设点的坐标为，则点的坐标分别为，，．
∵，
∴，
解得或（舍去），则，
故当时，点的坐标为．
（3）设点P（m，n），n=，点M（s，0），而点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；
①当BC是边时，
点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，
同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），
即m-2=s，n+4=0或m+2=s，n-4=0，
解得：m=-6或±-3，
故点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：2=m+s，n=4，
故点P（-6，4）；
综上，点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）．
【点睛】
此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质，平行四边形的性质，三角形相似，解题关键在于注意（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24、（1）;（2）
【分析】（1）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程右边看做一个整体，移项到左边，提取公因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：（1）2x2﹣7x+3＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣3）＝0，
可得2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝3；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2），
移项得：7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
分解因式得：（7x﹣6）（5x+2）＝0，
可得7x﹣6＝0或5x+2＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣．
【点睛】
考核知识点：解一元二次方程.掌握基本方法是关键.
25、（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），图详见解析.
【分析】（1）利用已知条件易证，则有，，从而有，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（2）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（3）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.
【详解】（1）证明：，
又，
(ASA)
，
又，，
在中，
（2）成立，证明如下：
延长到，使，连接、、.
，，
、、
，，
，
在中，
（3）
论证过程中需要的辅助线如图所示
证明：延长GP到点E，使,连接DE，CE,CG,
∵
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
26、．
【分析】找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
【详解】解：这里a=2，b=3，c=﹣1，
∵△=9+8=17，
∴x=．
考点：解一元二次方程-公式法．
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