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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．一个袋中有个红球和个白球，现从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是
A. B.
C. D.
2．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，则
3．函数的定义域为D，若满足；（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）
A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多
C.甲比乙先到达终点 D.甲、乙两人的速度相同
5．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．已知，则的值是
A. B.
C. D.
7．给出下列命题：①函数为偶函数；②函数在上单调递增；③函数在区间上单调递减；④函数与的图像关于直线对称．其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知直线及三个互不重合的平面，，，下列结论错误的是（）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，，则
9．已知a，b，，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，，则 D.若，，则
10．函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
11．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）
A. B.
C.2 D.4
12．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:
第一档水量为240立方米/户年及以下部分；
第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；
第三档水量为360立方米/户年以上部分.
家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.
第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.
小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）.
A.474立方米 B.482立方米
C.520立方米 D.540立方米
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.
14．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
15．已知函数，则的值是________
16．已知集合，.若，则___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．已知定义域为的函数是奇函数
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅳ）设关于的函数有零点，求实数的取值范围.
19．某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产，以提高整体效益.通过市场分析，每月需投入固定成本5000元，每月生产台该设备另需投入成本元，且，若每台设备售价1000元，且当月生产的视频设备该月内能全部售完.
（1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.
20．已知，，，请在①②，③中任选一个条件，补充在横线上
（1）求的值；
（2）求的值
21．已知函数（常数）.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）当时，求最小值.
22．已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式：.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】从袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有种方法，
其中取出的两个球同色的取法有种，因此概率为 选D.
2、B
【解析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若，，则，故，A错；
对于B选项，若，，则，所以，，
故，B对；
对于C选项，若，则，则，C错；
对于D选项，若，则，所以，，D错.
故选：B.
3、C
【解析】先判定函数的单调性,然后根据条件建立方程组,转化为使方程有两个相异的非负实根,最后建立关于的不等式,解之即可.
【详解】因为函数是单调递增函数,
所以即有两个相异非负实根,
所以有两个相异非负实根,
令,所以有两个相异非负实根,
令
则,解得.
故选.
【点睛】本题考查了函数与方程,二次方程实根的分布,转化法,属于中档题.
4、C
【解析】结合图像逐项求解即可.
【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
5、D
【解析】是奇函数，单调递增，所以，得，
所以，所以，故选D
点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性应用．本题中，结合函数的奇偶性和单调性的特点，转化得到，分参，结合恒成立的特点，得到，求出参数范围
6、C
【解析】由可得，化简则，从而可得结果.
【详解】
，
，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
7、C
【解析】①函数为偶函数，因为是正确的；
②函数在上单调递增，单调增是正确的；
③函数是偶函数，在区间上单调递增，故选项不正确；
④函数与互为反函数，根据反函数的概念得到图像关于对称.是正确的.
故答案为C.
8、B
【解析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断.
【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项A正确，
对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误，
对于选项C：根据面面平行的性质可知，若，，则成立，故选项C正确，
对于选项D：若，，，
设，，
在平面中作一条直线，则，
在平面中作一条直线，则，
，，
又，，，
故选项D正确，
故选：B.
9、C
【解析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析
【详解】．若，当时，，所以不成立；
．若，当时，则，所以不成立；
．因为，将两边同除以，则，所以成立
．若且，当时，则，所以，则不成立
故选：
10、C
【解析】由二倍角公式化简，设，利用复合函数求值域.
【详解】函数，
设，，则，
由二次函数的图像及性质可知，
所以的值域为，
故选：C.
11、D
【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知.
故选：D
12、D
【解析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.
【详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.
若时，则；
若时，则；
若时，则.
令，解得：
故选：D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、##
【解析】利用扇形面积公式进行计算.
【详解】即，，由扇形面积公式得：.
故答案为：
14、(答案不唯一)
【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.
【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.
故答案为：.
15、-1
【解析】利用分段函数的解析式，代入即可求解.
【详解】解：因为，
则.
故答案为：-1
16、
【解析】根据给定条件可得，由此列式计算作答.
【详解】因集合，，且，于是得，即，解得，
所以.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据，利用两角差的余弦函数公式即可求解
（2）利用二倍角公式可求，的值，进而即可代入求解
【详解】（1）因为，
所以
又因为，
所以
所以
（2）因为，
所以
所以
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想
18、 (Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)（Ⅳ）.
【解析】（1）根据奇函数性质得，解得值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由题设，需，∴，∴，
经验证，为奇函数，∴.
（Ⅱ）减函数
证明：任取，，且，则，
∵
∴
∴，；
∴，即
∴该函数在定义域上减函数.
（Ⅲ）由得，
∵是奇函数，∴，
由（Ⅱ）知，是减函数
∴原问题转化为，即对任意恒成立，
∴，得即为所求.
（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程
由（Ⅱ）知，，即方程有解
∵，
∴当时函数存在零点.
点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
19、（1）
（2）当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元
【解析】（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；
（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，
【小问2详解】
当时，，
当时，
当时，，
当且仅当，即时，
当时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为4000元
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据所选的条件求得，，再由差角正弦公式求的值；
（2）由题设可得，进而可得，结合及差角余弦公式，即可求值.
【小问1详解】
由，则：
若选①，由，，得，，
若选②，由得：，所以，
若选③，由得，，，，
所以.
【小问2详解】
∵，
∴，又，
∴
∴.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】（Ⅰ）由，得到，再由，利用一元二次不等式的解法结合对数函数的单调性求解；.
（Ⅱ）化简得到函数，令，，转化为函数在上的最小值求解.，
【详解】（Ⅰ）当时，
，
由得，
即：，
解得：，
所以的解集为.
（Ⅱ），
，
.
令，因为，所以，
若求在上的最小值，
即求函数在上的最小值，
，，对称轴为.
①当时，即时，
函数在为减函数，所以；
②当时，即时，
函数在为减函数，在为增函数，
所以；
③当，即时，
函数在为增函数，
所以.
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解
22、（1）；
（2）函数在上是增函数，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
即，可得，则，
所以，，则，因此，.
【小问2详解】
证明：函数在上是增函数，证明如下：
任取、且，则
，
因为，则，，故，即.
因此，函数在上是增函数.
【小问3详解】
解：因为函数是上的奇函数且为增函数，
由得，
由已知可得，解得.
因此，不等式的解集为.
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