资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
2．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3．某水库大坝高米，背水坝的坡度为，则背水面的坡长为（ ）
A．40米 B．60米 C．米 D．米
4．如图1所示的是山西大同北都桥的照片，桥上面的部分是以抛物线为模型设计而成的，从正面观察该桥的上面部分是一条抛物线，如图2，若，以所在直线为轴，抛物线的顶点在轴上建立平面直角坐标系，则此桥上半部分所在抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
7．是四边形的外接圆，平分，则正确结论是（ ）
A． B． C． D．
8．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在1．2附近，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．11
9．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．24cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．8cm2
10．已知一个几何体从三个不同方向看到的图形如图所示，则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知x-2y=3，试求9-4x+8y=_______
12．如图，在中，A，B，C是上三点，如果，那么的度数为________.
13．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．
14．一元二次方程有一个根为，二次项系数为1，且一次项系数和常数项都是非0的有理数，这个方程可以是_________．
15．二次函数的顶点坐标是___________.
16．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F在CD上，且CF=3，连接FE’，当点E在圆C上运动，FE’长的最大值为____.
17．已知和时，多项式的值相等，则m的值等于 ______ ．
18．边心距为的正六边形的半径为_______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）举世瞩目的港珠澳大桥已于2018年10月24日正式通车，这座大桥是世界上最长的跨海大桥，被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”，车辆经过这座大桥收费站时，从已开放的4个收费通道A、B、C、D中可随机选择其中一个通过．
（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是 ．
（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
20．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．
21．（6分）如图，已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.
22．（8分）已知抛物线的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；
（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.
23．（8分）解方程： -2（x+1）=3
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C做⊙O 的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AB=10，CD=4，求DE的长．
25．（10分）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元?
26．（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．
【详解】
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
2、C
【分析】根据三角函数的定义及相似三角形的判定定理及性质对各选项逐一判断即可得答案．
【详解】∵已知∠ACB的度数和AC的长，
∴利用∠ACB的正切可求出AB的长，故①能求得A，B两树距离，
∵AB//EF，
∴△ADB∽△EDF，
∴，故②能求得A，B两树距离，
设AC＝x，
∴AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
∵已知CD，∠ACB，∠ADB，
∴可求出x，然后可得出AB，故③能求得A，B两树距离，
已知∠F，∠ADB，FB不能求得A，B两树距离，故④求得A，B两树距离，
综上所述：求得A，B两树距离的有①②③，共3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
3、A
【解析】坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示，可知坡度与坡角的关系式，tanα(坡度)=垂直距离÷水平距离，根据公式可得水平距离，依据勾股定理可得问题的答案．
【详解】∵大坝高20米，背水坝的坡度为1:，
∴水平距离=20×=20米．
根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角的有关知识，熟悉且会灵活应用坡度公式是解此题的关键.
4、A
【分析】首先设抛物线的解析式y=ax2+bx+c，由题意可以知道A（-30,0）B（30,0）C（0,15）代入即可得到解析式.
【详解】解：设此桥上半部分所在抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵AB=60 OC=15
∴A（-30,0）B（30,0）C（0,15）
将A、B、C代入y=ax2+bx+c中
得到 y=-x2+15
故选A
【点睛】
此题主要考查了二次函数的实际应用问题，主要培养学生用数学知识解决实际问题的能力.
5、A
【分析】先根据勾股定理计算出斜边AB的长，然后根据正弦的定义求解．
【详解】如图，
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10，
∴sinB=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
6、C
【解析】设，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=1．∴．故选C
7、B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对结论进行逐一判断即可．
【详解】解：与的大小关系不确定，与不一定相等，故选项A错误；
平分，，，故选项B正确；
与的大小关系不确定，与不一定相等，选项C错误；
∵与的大小关系不确定，选项D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
8、C
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：依题意有：=1.2，
解得：n=2．
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
9、B
【解析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积
解：如图所示：
设O是正六边形的中心,AB是正六边形的一边,OC是边心距,
则∠AOB=60°，OA=OB=2cm，
∴△OAB是正三角形，
∴AB=OA=2cm，
OC=OA⋅sin∠A=2×=(cm)，
∴S△OAB=AB⋅OC=×2×= (cm2)，
∴正六边形的面积=6×=6 (cm2).
故选B．
10、D
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆及圆心可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：主视图和左视图都是三角形，
此几何体为椎体，
俯视图是一个圆，
此几何体为圆锥．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了由三视图判断几何体，由主视图和左视图可得几何体是柱体，锥体还是球体，由俯视图可确定几何体的具体形状．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-3
【分析】将代数式变形为9-4（x-2y），再代入已知值可得．
【详解】因为x-2y=3，
所以9-4x+8y=9-4（x-2y）=9-4×3=-3
故答案为：-3
【点睛】
考核知识点：求整式的值．利用整体代入法是解题的关键．
12、37°
【分析】根据圆周角定理直接得到∠ACB=35°．
【详解】解：根据圆周角定理有∠ACB= ∠AOB= ×74°=37°；
故答案为37°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13、下 直线x＝1 （1，2）
【分析】根据y=a（x-h）2+k的性质即可得答案
【详解】∵-3<0，
∴抛物线的开口向下，
∵y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
故答案为：下，直线x＝1，（1，2）
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．
14、
【分析】根据有理系数一元二次方程若有一根为，则必有另一根为求解即可.
【详解】根据题意，方程的另一个根为，
∴这个方程可以是：，
即：，
故答案是：，
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解“有理系数一元二次方程若有一根为，则必有另一根为”是解题的关键.
15、
【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），直接求二次函数的顶点坐标即可．
【详解】∵是顶点式，
∴顶点坐标是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.
16、
【分析】先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP==,
∴FE’=,
故答案是：
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
17、或1
【分析】根据和时，多项式的值相等，得出 ，解方程即可．
【详解】解：和时，多项式的值相等，
，
化简整理，得，
，
解得或1．
故答案为或1．
【点睛】
本题考查多项式以及代数式求值，正确理解题意是解题的关键．
18、8
【分析】根据正六边形的性质求得∠AOH=30°，得到AH=OA，再根据求出OA即可得到答案.
【详解】如图，正六边形ABCDEF，边心距OH=，
∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，
∴∠AOH=30°，
∴AH=OA，
∵，
∴,
解得OA=8，
即该正六边形的半径为8，
故答案为：8.
【点睛】
此题考查正六边形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理，正确理解正六边形的性质是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、 (1);(2) .
【解析】（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图即可得到结论．
【详解】解答：（1）一辆车经过收费站时，选择A通道通过的概率是，
故答案为．
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
AA
AB
AC
AD
B
BA
BB
BC
BD
C
CA
CB
CC
CD
D
DA
DB
DC
DD
由表可知，共有16种等可能结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
所以选择不同通道通过的概率为＝．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
20、（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析
【分析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．
【详解】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，
可得a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，
∵C（0，6），
∴C'（5，6），
设直线BC'的解析式为y=kx＋b
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得
解得：
∴直线BC'的解析式为y＝x+1，
将x＝代入，解得y=
∴M（，）；
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；
故存在5个满足条件的P点．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和尺规作图，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间线段最短和用尺规作图作等腰三角形是解决此题的关键．
21、（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）分别作A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC得△A'B'C'即可．
（2）根据中位线定理易得△DEF∽△CAB，△D'E'F'∽△C'A'B'，故可得△DEF∽△D'E'F'.
【详解】解：（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求．
证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴；
（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，
∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴△DEF∽△CAB，
同理：△D'E'F'∽△C'A' B'，
由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，
∴△DEF∽△D'E'F'．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
22、 (1)y=x2﹣2x﹣3；(2)(1，－4)
【分析】（1）将两点代入列出关于b和c的二元一次方程组，然后进行求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解．
【详解】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入y=x2+bx+c（a≠0）得
，解得
∴所求函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴=﹣=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法．
23、
【分析】先将 -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0,再将x+1当作一个整体运用因式分解法求出x+1,最后求出x．
【详解】解：∵ -2（x+1）=3化成 -2（x+1）-3=0
∴（x+1-3）(x+1+1)=0
∴x+1-3=0或x+1+1=0
∴
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法,掌握整体换元法是解答本题的关键．
24、（1）见解析；（1）DE=1
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质可得出OC∥AD，再根据平行线的性质得出∠DAC=∠OCA，又因为∠OCA=∠OAC，继而可得出结论；
（1）方法一：连接BE交OC于点H，可证明四边形EHCD为矩形，再根据垂径定理可得出，得出，从而得出，再通过三角形中位线定理可得出，继而得出结论；方法二：连接BC、EC，可证明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的性质可得出AD=8，再证△DEC∽△DCA，从而可得出结论；方法三：连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F，利用已知条件得出OF=3，再证明△DEC≌△CFB，利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OC，
∵CD切☉O于点C
∴OC⊥CD
∵AD⊥CD
∴∠D=∠OCD=90°
∴∠D+∠OCD=180°
∴OC∥AD
∴∠DAC=∠OCA
∵OA=OC
∴∠OCA=∠OAC
∴∠DAC=∠OAC
∴AC平分DAB
（1）方法1：连接BE交OC于点H
∵AB是☉O直径
∴∠AEB=90°
∴∠DEC=90°
∴四边形EHCD为矩形
∴CD=EH=4
DE=CH
∴∠CHE=90°
即OC⊥BH
∴EH=BE=4
∴BE=8
∴在Rt△AEB中
AE=6
∵EH=BH
AO=BO
∴OH=AE=3
∴CH=1
∴DE=1
方法1：
连接BC、EC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠D=∠ACB
∵∠DAC=∠CAB
∴△ADC∽△ACB
∴
∠B=∠DCA
∴AC1=10·AD
∵AC1=AD1+CD1
∴10·AD=AD1+16
∴AD=1舍AD=8
∵四边形ABCE内接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴∠DEC=∠DCA
∵∠D=∠D
∴△DEC∽△DCA
∴
∴CD1=AD·DE
∴16=8·DE
∴DE=1；
方法3：
连接BC、EC，过点C做CF⊥AB，垂足为F
∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB
∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°
∵AB=10
∴OC=OB=5
∴OF=3
∴BF=OB-OF=5-3=1
∵四边形ABCE内接于☉O
∴∠B+∠AEC=180°
∵∠DEC+∠AEC=180°
∴∠B=∠DEC
∴△DEC≌△CFB
∴DE=FB=1．
【点睛】
本题是一道关于圆的综合题目，涉及的知识点有切线的性质、平行线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质等，综合利用以上知识点是解此题的关键．
25、每件降价4元
【详解】试题分析：设每件降价元，则可多售出5件，根据题意可得：
化简整理得
解得：
经检验都是方程的解，但是题目要求x≤10
∴x=36不符合题意，舍去
即x=4
答：每件降价4元．
考点: 一元二次方程的应用
26、（1）；（2）存在，理由见解析；D(－4, )或（2，）；（3）最大值； 最小值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；
（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得△ABD的面积是△ABC面积的倍，判断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点D的坐标；
（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E的坐标为E,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标，再设设F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n=，通过计算整理得出，由此得出F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再计算最大值与最小值即可.
【详解】解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得
，解得，
∴
（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1，）时，，
△ABD的面积是△ABC面积的倍，
，所以D点一定在x轴上方．
设D(m,n), △ABD的面积是△ABC面积的倍，
n＝
＝m＝－4或m＝2
D(－4, )或（2，）
（3）设E(x,y),
∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴,
∴y=,
∴E,
∵F是AE的中点,
∴F的坐标,
设F(m,n),
∴m=,n=,
∴x=2m+3,
∴n=,
∴2n+2=,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4()2=1,
∴,
∴F点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
∴最大值：，
最小值：
最大值； 最小值
【点睛】
此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
