资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值（ ）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
2．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（ ）
A．2组
B．3组
C．4组
D．5组
3．二次根式有意义的条件是（ ）
A．x>－1 B．x≥－1 C．x≥1 D．x＝－1
4．在反比例函数图像的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则b的取值范围是（ ）
A．b=3 B． C． D．
5．下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．某汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1 200牛时，汽车的速度为( )
A．180千米/时 B．144千米/时 C．50千米/时 D．40千米/时
7．若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
8．如图，在⊙O中，AB⊥OC，垂足为点D，AB＝8，CD＝2，若点P是优弧上的任意一点，则sin∠APB＝（ ）
A． B． C． D．
9．经过两年时间，我市的污水利用率提高了.设这两年污水利用率的平均增长率是，则列出的关于的一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．下列根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
11．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
12．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，命中靶心
B．抛一枚硬币，一定正面朝上
C．打开电视机，它正在播放新闻联播
D．三角形的内角和等于180°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某圆锥的底面半径是2，母线长是6，则该圆锥的侧面积等于________．
14．已知CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，若∠A＝35°，则∠BCD＝_____________．
15．若、是关于的一元二次方程的两个根，且，则，，，的大小关系是_____________．
16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝_____
17．如图，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以点O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以点O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以点O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切……，若⊙O1的半径为1，则⊙On的半径是______________．
18．如图，已知半⊙O的直径AB＝8，将半⊙O绕A点逆时针旋转，使点B落在点B'处，AB'与半⊙O交于点C，若图中阴影部分的面积是8π，则弧BC的长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线．交BC于点E．
（1）求证：BE=EC
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2，则DE=______；
②当∠B=______度时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
20．（8分）如图，在中，，，，将线段绕点按逆时针方向旋转到线段.由沿方向平移得到，且直线过点.
（1）求的大小；
（2）求的长.
21．（8分）用合适的方法解方程：
（1）；
（2）．
22．（10分）如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
23．（10分）小华为了测量楼房的高度，他从楼底的处沿着斜坡向上行走，到达坡顶处．已知斜坡的坡角为，小华的身高是，他站在坡顶看楼顶处的仰角为，求楼房的高度．（计算结果精确到）（参考数据：，，）
24．（10分）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
25．（12分）某商店经过市场调查，整理出某种商品在第（）天的售价与销量的相关信息如下表．已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为元．
（1）求与的函数关系是；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
26．如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为1．
（1）画出的外接圆，并直接写出的半径是多少．
（2）连结，在网络中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】把x=1代入已知方程得到关于m的一元二次方程，通过解方程求得m的值；注意二次项系数不为零，即m-1≠1．
【详解】解：根据题意，将x=1代入方程，得：m2-3m+2=1，
解得：m=1或m=2，
又m-1≠1，即m≠1，
∴m=2，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m的值必须满足：m-1≠1这一条件．
2、A
【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；
②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；
③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；
④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；
⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；
⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；
所以正确的有③⑥．
故选A．
3、C
【解析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求出x的取值范围即可.
【详解】∵二次根式有意义，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
故选：C.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数为非负数；熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键.
4、C
【分析】由反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，可得3-b＜0，进而求出答案，作出选择．
【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴3-b＜0，
∴b＞3，
故选C.
【点睛】
考查反比例函数的性质和一元一次不等式的解法，掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
5、B
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】A、原式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意；
故选B．
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键．
6、C
【分析】根据图像可知为反比例函数，图像过点（3000,20），代入(k),即可求出反比例函数的解析式，再求出牵引力为1200牛时，汽车的速度即可.
【详解】设函数为(k),
代入（3000,20），得，得k=60000，
∴，
∴牵引力为1 200牛时，汽车的速度为= 50千米/时,故选C.
【点睛】
此题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是找到已知条件求出反比例函数的解析式.
7、B
【分析】根据反比例函数的性质解答即可．
【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
8、B
【分析】如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．利用勾股定理构建方程求出x，再证明∠APB＝∠AOD即可解决问题．
【详解】如图，连接OA，OB．设OA＝OB＝x．
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝4，
在Rt△AOD中，则有x2＝42+（x﹣2）2，
∴x＝5，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵∠APB＝∠AOB＝∠AOD，
∴sin∠APB＝sin∠AOD＝＝，
故选：B．
【点睛】
考查了圆周角定理和解直角三角形等知识，解题的关键是熟练灵活运用其相关知识．
9、A
【分析】设这两年污水利用率的平均增长率是，原有污水利用率为1，利用原有污水利用率（1+平均每年污水利用率的增长率=污水利用率，列方程即可.
【详解】解：设这两年污水利用率的平均增长率是，由题意得出：
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题目找出等量关系式，再列方程.
10、D
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查最简二次根式的定义根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
11、C
【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、▱OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．
【详解】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则，，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，
由于函数图象在第一象限，
∴k＞0，则，
∴k＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
12、D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；
B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；
C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；
D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据圆锥的侧面积公式即可得．
【详解】圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为圆锥母线
则该圆锥的侧面积为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记公式是解题关键．
14、55°
【分析】这道题可以根据CD为斜边AB的中线得出CD=AD，由∠A=35°得出∠A=∠ACD=35°，则∠BCD=90°- 35°=55°.
【详解】如图，∵CD为斜边AB的中线
∴CD=AD
∵∠A=35°
∴∠A=∠ACD=35°
∵∠ACD+∠BCD=90°
则∠BCD=90°- 35°=55°
故填：55°.
【点睛】
此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质.
15、
【分析】根据题意和二次函数性质，可以判断出的大小关系，本题得以解决．
【详解】令，则该函数的图象开口向上，
当时，，
当时，
，
即，
∵是关于的方程的两根，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
16、58°
【解析】根据圆周角定理得到∠BAD=∠BCD=32°，∠ADB=90°，根据互余的概念计算即可．
【详解】由圆周角定理得,∠BAD=∠BCD=32°，
∵AB为⊙O的直径，
∴
∴
故答案为
【点睛】
考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
17、2n−1
【分析】
作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【详解】
解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，
∵∠AOB＝30°，
∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3，
∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n−1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长＝2n−1，
故答案为：2n−1．
【点睛】
本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
18、2π
【分析】设∠OAC＝n°．根据S阴＝S半圆＋S扇形BAB′−S半圆＝S扇形ABB′，构建方程求出n即可解决问题．
【详解】解：设∠OAC＝n°．
∵S阴＝S半圆+S扇形BAB′﹣S半圆＝S扇形ABB′，
∴＝8π，
∴n＝45，
∴∠OAC＝∠ACO＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴的长＝＝2π，
故答案为2π．
【点睛】
本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，弧长公式．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析；（2）①3；②1.
【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=1°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接DO．
∵∠ACB=90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，
∴AB=2AC=4，
∴BC==6，
∵AC为直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=BC=3，
故答案为3；
②当∠B=1°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=1°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=1°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质可求得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；
（2）根据平移的性质及同角的余角相等证得∠DAE=∠CAB，进而证得△ADE∽△ACB，利用相似的性质求出AE即可．
【详解】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∵△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到，
∴AB∥EF，
∴∠1=∠ABD=45°；
（2）由平移的性质得，AE∥CG，
∴∠EAC=180°－∠C=90°，
∴∠EAB+∠BAC=90°，
由（1）知∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠CAB，
又∵∠ADE=∠ADB+∠1=90°，∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AC=8，AB=AD=10，
∴AE=12.5.
【点睛】
本题为平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质的综合考查，熟练掌握基础的性质与判定是解题的关键.
21、（1）；（2），．
【分析】（1）把方程整理后左边进行因式分解，求方程的解即可；
（2）方程整理配方后，开方即可求出解；
【详解】(1) ，
移项整理得：，
提公因式得：，
∴或，
解得：；
(2) ，
方程移项得：，
二次项系数化成1得：，
配方得：，
即，
开方得：，
解得：．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程－配方法、因式分解法，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
22、（1）；（2）存在，或，理由见解析；（3）或．
【分析】（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；
（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；
（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设，由相似得到或，建立方程求解即可．
【详解】（1）将，代入得：
，解得
∴抛物线解析式为
（2）存在，理由如下：
联立和，
，解得或
∴E点坐标为(4,-5)，
如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q'，
此时Q点与Q'点的坐标即为所求，
设Q点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，
由QA=QE，Q'A= Q'E得：
，
解得，
故Q点坐标为或
（3）∵，
∴，
当时，解得或3
∴B点坐标为(3,0)，
∴
∴，，，
由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1)，而A点坐标为(-1,0)
∴∠BAE=45°
设则，
∵和相似
∴或，即或
解得或，
∴或．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．
23、．
【分析】作DH⊥AB于H，根据余弦的定义求出BC，根据正弦的定义求出CD，结合题意计算即可．
【详解】作DH⊥AB于H，
∵∠DBC=15°，BD=20，
∴，，
由题意得，四边形ECBF和四边形CDHB是矩形，
∴EF=BC=19.2，BH=CD=5，
∵∠AEF=45°，
∴AF=EF=19.2，
∴AB=AF+FH+HB=19.2+1.6+5=25.8≈26m，
答：楼房AB的高度约为26m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24、（1）图见解析，y＝－10x＋1；（2）单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；（3）单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
【分析】(1)从表格中的数据我们可以看出当x增加10时，对应y的值减小100，所以y与x之间可能是一次函数的关系，我们可以根据图象发现这些点在一条直线上，所以y与x之间是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式；
(2)利用二次函数的知识求最大值；
（3）根据函数的增减性，即可求得销售单价最高不能超过45元/件时的最大值．
【详解】解：(1)画图如图；
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0)
∵这个一次函数的图象经过(30，500)、(40，400)这两点，
∴，解得
∴函数关系式是：y＝－10x＋1．
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W＝(x－20)(－10x＋1)
＝－10x2＋1000x－16000
＝－10(x－50)2＋9000
∴当x＝50时，W有最大值9000.
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元.
(3)对于函数W＝－10(x－50)2＋9000，
当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
25、（1）；（2）销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
【分析】（1）根据利润=(每件售价-进价)×每天销量，分段计算即可得出函数关系式；
（2）根据所得函数的性质，分别求出最大值，比较即可．
【详解】解：（1）当时，
当时，
故与的函数关系式为：
，（为整数）
（2）当时，
∵，
∴当时，有最大值6050元；
当时，，
∵，
∴随的增大而减小.
当时，有最大值6000元.
∵，
∴当时，有最大值6050元.
∴销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解此题的关键．
26、（1）作图见解析，半径为；（2）作图见解析
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O的位置，在网格中应用勾股定理即可求得半径；
（2）只能是或，直接利用网格作图即可．
【详解】解：（1）作AB和BC的垂直平分线，交点即为点O，如图：
，
根据勾股定理可得半径为；
（2）当是直角三角形时，且点在上，
只能是或，利用网格作图如下：
．
【点睛】
本题考查尺规作图、确定圆的条件，掌握三角形外接圆圆心是三边线段垂直平分线的交点是解题的关键．
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