资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交
2．某同学用一根长为（12+4π）cm的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA＝6cm，则扇形的面积是（ ）
A．12πcm2 B．18πcm2 C．24πcm2 D．36πcm2
3．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把△ABC放大得到△A1B1C1，使它们的相似比为1：2，若点A的坐标为（2，2），则它的对应点A1的坐标一定是（ ）
A．（﹣2，﹣2） B．（1，1）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
4．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=
5．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（ ）
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
6．关于x的一元二次方程x2+bx﹣10＝0的一个根为2，则b的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．7
7．如图，点C在弧ACB上，若∠OAB = 20°，则∠ACB的度数为( )
A． B． C． D．
8．下列方程中没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数y＝与y＝kx＋k(k为常数且k≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A． B． C． D．
10．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．若是方程的解，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，AD，BC相交于点O，AB∥CD．若AB=1，CD=2，则△ABO与△DCO的面积之比为
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是的直径，点、在上，连结、、、，若，，则的度数为________.
14．将抛物线y=﹣2x2+1向左平移三个单位，再向下平移两个单位得到抛物线________；
15．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线和直线外一点.
求作：直线的垂线，使它经过.
作法：如图2.
（1）在直线上取一点，连接；
（2）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接交于点；
（3）以点为圆心，为半径作圆，交直线于点（异于点），作直线.所以直线就是所求作的垂线.
请你写出上述作垂线的依据：______.
16．己知一个菱形的边长为2，较长的对角线长为2，则这个菱形的面积是_____．
17．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为6，则n=_____．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，∠BAC=30º，BC=4，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90º得到Rt△ADE，则BC扫过的阴影面积为___．
三、解答题（共78分）
19．（8分）阅读理解，我们已经学习了点和圆、直线和圆的位置关系以及各种位置关系的数量表示，如下表：
类似于研究点和圆、直线和圆的位置关系，我们也可以用两圆的半径和两圆的圆心距（两圆圆心的距离）来刻画两圆的位置关系．如果两圆的半径分别为和（r1＞r2），圆心距为d，请你通过画图，并利用d与和之间的数量关系探索两圆的位置关系．
图形表示
（圆和圆的位置关系）
数量表示
（圆心距d与两圆的半径、的数量关系）
20．（8分）在平面直角坐标系中，直线 y = x与反比例函数的图象交于点A（2，m）.
（1）求m和k的值；
（2）点P（xP，yP）是函数图象上的任意一点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x于点B.
①当yP = 4时，求线段BP的长；
②当BP3时，结合函数图象，直接写出点P 的纵坐标yP的取值范围．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AC=2，∠CAB=30°，求图中阴影部分面积．
22．（10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，连接 BD、CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）求证：△PBD∽△DCA．
23．（10分）如图①，在与中，，.
（1）与的数量关系是：______.
（2）把图①中的绕点旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.
①求证：.
②若延长交于点，则与的数量关系是什么？并说明理由.
（3）若，，把图①中的绕点顺时针旋转，直接写出长度的取值范围.
24．（10分）如图，正方形FGHI各顶点分别在△ABC各边上，AD是△ABC的高， BC=10，AD=6.
（1）证明：△AFI∽△ABC；
（2）求正方形FGHI的边长.
25．（12分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．
（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是 ．
（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．
26．某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题解析“因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于1．
此时和半径1的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．
故选D．
点睛：直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
2、A
【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm，半径OA＝6cm，
∴弧长为4πcm，
∴扇形的圆心角为：＝120°，
∴扇形的面积为：＝12πcm2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．
3、D
【解析】根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答．
【详解】∵以原点O为位似中心，相似比为：1：2，
把△ABC放大得到△A1B1C1，点A的坐标为（2，2），
则它的对应点A1的坐标一定为：（4，4）或（-4，-4），
故选D．
【点睛】
本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
4、B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．
点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
5、B
【解析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，
故答案选：B.
【点睛】
考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
6、C
【解析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x2+bx﹣10=0得4+2b﹣10=0
解得b=1．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7、C
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB，先求出∠AOB即可求出∠ACB的度数．
【详解】解：∵∠ACB=∠AOB，
而∠AOB=180°-2×20°=140°，
∴∠ACB=×140°=70°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
8、D
【分析】分别计算出判别式△＝b2−4ac的值，然后根据判别式的意义分别判断即可．
【详解】解：A、△＝＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝32−4×1×2＝1＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△＝112−4×2019×（−20）＝161641＞0，方程有两个不相等的实数根；
D、△＝12−4×1×2＝−7＜0，方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac的意义，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9、A
【解析】当k＞0时，双曲线y＝的两支分别位于一、三象限，直线y＝kx＋k的图象过一、二、三象限；当k＜0时，双曲线y＝的两支分别位于二、四象限，直线y＝kx＋k的图象过二、三、四象限；由此可得，只有选项A符合要求，故选A.
点睛：本题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．反比例函数y= 的图象当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．一次函数图象与k、b的关系：①k>0，b>0时，图像经过一二三象限；②k>0，b<0，图像经过一三四象限；③k>0，b=0时，图像经过一三象限，并过原点；④k<0，b>0时，图像经过一二四象限；⑤k<0，b<0时，图像经过二三四象限；⑥k<0，b=0时，图像经过二四象限,并过原点.
10、D
【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．
【详解】解：∵∠ABC=30°，
∴∠ADC=30°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-30°=60°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．
11、A
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义求解，把x＝1代入方程ax2＋bx＋c＝1得，a＋b＋c＝1．
【详解】∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝1的解，
∴将x＝1代入方程得a＋b＋c＝1，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．解该题的关键是要掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝1中几个特殊值的特殊形式：x＝1时，a＋b＋c＝1；x＝−1时，a−b＋c＝1．
12、B
【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．
【详解】∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、°
【分析】先由直径所对的圆周角为90°，可得：∠ADB=90°，根据同圆或等圆中，弦相等得到弧相等得到圆周角相等，得到∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠ABD的度数，即可得出结论．
【详解】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°．
∵BD=CD，
∴弧BD=弧CD，
∴∠A=∠DBC=20°，
∴∠ABD=90° -20°=70°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBC=70°-20°=50°．
故答案为：50°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°．
14、
【分析】根据抛物线平移的规律计算即可得到答案.
【详解】根据题意：平移后的抛物线为.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律：对称轴左加右减，函数值上加下减，掌握规律并熟练运用是解题的关键.
15、直径所对的圆周角是直角
【分析】由题意知点E在以PA为直径的圆上，根据“直径所对的圆周角是直角”可得∠PEA＝90°，即PE⊥直线a．
【详解】由作图知，点E在以PA为直径的圆上，
所以∠PEA＝90°，
则PE⊥直线a，
所以该尺规作图的依据是：直径所对的圆周角是直角，
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题主要考查作图−尺规作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及其性质和直径所对的圆周角是直角．
16、
【解析】分析：根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积．
详解：依照题意画出图形，如图所示．
在Rt△AOB中，AB=2，OB=，
∴OA==1，
∴AC=2OA=2，
∴S菱形ABCD=AC•BD=×2×2=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键．
17、1
【分析】根据题意作出图形，得到Rt△ADO，利用三角函数值计算出sin∠AOD=，得出∠AOD=15°，通过圆周角360°计算即可得出结果．
【详解】解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，
∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为6，
∴AD=BD=3，
∴sin∠AOD==，
∴∠AOD=15°，
∴∠AOB=90°，
∴n==1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理的应用，三角函数值的应用，掌握圆的性质内容是解题的关键．
18、4π
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8，AC=BC=，再根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAD=90°，然后根据扇形的面积公式，利用BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE进行计算．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=8，AC=BC=4，
∵Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=90°，
∴BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE
=．
故答案为：4π．
【点睛】
本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质．
三、解答题（共78分）
19、见解析
【分析】两圆的位置关系可以从两圆公共点的个数来考虑．两圆无公共点（即公共点的个数为0个），1个公共点，2个公共点，或者通过平移实验直观的探索两圆的相对位置，最后得出答案．初中阶段不考虑重合的情况；
【详解】解：如图，连接，设 的半径为 ，的半径为
圆和圆的位置关系（图形表示）
数量表示
（圆心距d与两圆的半径r1、r2的数量关系）
【点睛】
本题考查两圆的五种位置关系．经历探索两个圆之间位置关系的过程，训练学生的探索能力；通过平移实验直观的探索两个圆之间位置关系，发展学生的识图能力和动手操作能力．从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化是理解本题的关键．
20、（1）m=2，k=4 ；（2）①BP=3 ； ② yP≥4或0<yP≤1
【分析】（1）将A点坐标代入直线y = x中求出m的值，确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值；
（2）①由题可知点P 和点B的纵坐标都为4，将纵坐标分别代入两个函数解析式得相应横坐标，即可得到点的坐标,求出BP.②根据函数与不等式的关系，即可得到答案.
【详解】（1）解：将A（2，m）代入直线 y = x，得m=2,所以A(2,2),
将A（2,2）代入反比例函数，得：，则k=4
综上所述，m=2，k=4.
（2）①解：作图：
当yP = 4时
点P 和点B的纵坐标都为4
当将y=4，代入 得x=1,即P点坐标（1,4）
当将y=4，代入y=x得x=4,即B点坐标（4,4）
∴BP=3
②由图可知BP3时，纵坐标yP的范围： yP≥4或0<yP≤1
【点睛】
本题考查了一次函数、反比例函数参数的求法，以及函数与不等式的关系，掌握解题方法是解答此题的关键.
21、+
【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：连接OC且过点O作AC的垂线，垂足为D，如图所示．
∵OA=OC
∴AD=1
在Rt△AOD中
∵∠DAO=30°
∴
∴OD=,
∴
由OA=OC；∠DAO=30可得∠COB=60°
∴S扇形BOC=
∴S阴影=S△AOC+ S扇形BOC=+
【点睛】
本题考查扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
22、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角得到∠BAC为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出∠DOC为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
（2）由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到∠P=∠ACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
【详解】证明：（1）∵圆心O在BC上，
∴BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAC，
∵∠DOC=2∠DAC，
∴∠DOC=∠BAC=90°，即OD⊥BC，
∵PD∥BC，
∴OD⊥PD，
∵OD为圆O的半径，
∴PD是圆O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠P=∠ADC，
∵∠PBD+∠ABD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠PBD=∠ACD，
∴△PBD∽△DCA．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握判定性质是解题关键
23、（1）=；（2）①详见解析；②，理由详见解析；（3）.
【分析】（1）根据线段的和差定义即可解决问题；
（2）①②只要证明，即可解决问题；
（3）由三角形的三边关系即可解决问题
【详解】解：（1）=
（2）①证明：由旋转的性质，得.
∴，即
.
∵，，
∴.∴.
②.理由：
∵，∴.
∵，
∴，
∴.
（3）.
【点睛】
本题考查了三角形全等的证明和三角形三边之间的关系，注意三角形证全等的几种方法要熟练掌握
24、（1）见解析；（2）正方形FGHI的边长是.
【分析】（1）由正方形得出，从而得出两组对应相等的角，由相似三角形的判定定理即可得证；
（2）由题（1）的结论和AD是的高可得，将各值代入求解即可.
【详解】（1）四边形FGHI是正方形
，即
（两直线平行，同位角相等）
；
（2）设正方形FGHI的边长为x
由题（1）得的结论和AD是的高
∴，解得
故正方形FGHI的边长是.
【点睛】
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
25、（1）；（2）P(这2名同学性别相同) =．
【分析】（1）用男生人数2除以总人数4即可得出答案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
【详解】解：（1）；
（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：
（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有4种，
所以P(A)= ．
26、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；
（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．
∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．
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