资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．某商品先涨价后降价，销售单价由原来元最后调整到元，涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．图所示，已知二次函数的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线.给出以下四个结论:①；②；③；④.正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若. 则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若将抛物线y=x2平移，得到新抛物线，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位
6．如图，已知AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7．如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
10．当k>0时，下列图象中哪些可能是y=kx与y=在同一坐标系中的图象（ ）
A． B． C． D．
11．二次根式中x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2 B．x≥2 C．x≥0 D．x＞﹣2
12．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点，连接、、与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的是__________．
14．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1 000
2 000
5 000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1 604
4 005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．
15．如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.
16．数据1、2、3、2、4的众数是______．
17．如果线段a、b、c、d满足，则 =_________.
18．一元二次方程的解是_________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）为了改善生活环境，近年来，无为县政府不断加大对城市绿化的资金投入，使全县绿地面积不断增加．从2016年底到2018年底，我县绿地面积变化如图所示，求我县绿地面积的年平均增长率．
20．（8分）解方程：3x2﹣4x+1＝1．（用配方法解）
21．（8分）如图（1），某数学活动小组经探究发现：在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P,此时PA· PB=PC·PD
（1）如图（2），若AB与CD相交于圆外一点P, 上面的结论是否成立？请说明理由．
（2）如图（3）,将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C, 直接写出PA、PB、PC之间的数量关系．
（3）如图（3），直接利用（2）的结论，求当 PC= ,PA=1时,阴影部分的面积．
22．（10分）小明和小亮两同学做游戏，游戏规则是：有一个不透明的盒子，里面装有两张红卡片，两张绿卡片，卡片除颜色外其他均相同，两人先后从盒子中取出一张卡片（不放回），若两人所取卡片的颜色相同，则小明获胜，否则小亮获胜．
（1）请用画树状图或列表法列出游戏所有可能的结果；
（2）请根据你的计算结果说明游戏是否公平，若不公平，你认为对谁有利？
23．（10分）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式：求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解：求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．利用上述材料给你的启示，解下列方程；
（1）；
（2）．
24．（10分）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上．
（1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1．
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点C的坐标为（﹣4，﹣1），则点C2的坐标为 ．
25．（12分）如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
(1)求的值；
(2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
26．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】涨价和降价的百分率都为，根据增长率的定义即可列出方程．
【详解】涨价和降价的百分率都为．根据题意可列方程
故选A．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程．
2、D
【解析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
3、C
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0以及函数经过原点即可判断①；根据x=-1时的函数值可以判断②；由抛物线的对称轴方程得到为b=3a，用求差法即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数得到△=b2-4ac＞0，则可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线经过原点，
∴c=0，
则abc=0，所以①正确；
当x=-1时，函数值是a-b+c＞0，则②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=- ＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，
∴a-b=-2a＞0
∴a＞b，则③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，所以④正确．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
4、A
【分析】直接利用比例的性质分别判断即可得出答案．
【详解】∵2x-7y=0，∴2x=7y．
A．，则2x=7y，故此选项正确；
B．，则xy=14，故此选项错误；
C．，则2y=7x，故此选项错误；
D．，则7x=2y，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，正确将比例式变形是解题的关键．
5、A
【解析】先确定抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线y=x1的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）1的顶点坐标为（-3，0），
因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），
所以把抛物线y=x1向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6、C
【分析】由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．
【详解】∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
7、C
【分析】根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【详解】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，两点间的距离公式，掌握矩形的对角线的性质是解题的关键．
8、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9、D
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
10、B
【分析】由系数即可确定与经过的象限.
【详解】解：
经过第一、三象限，经过第一、三象限，B选项符合.
故选：B
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的图像，灵活根据的正负判断函数经过的象限是解题的关键.
11、A
【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】由题意可知：x+2≥0，
∴x≥﹣2，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
12、D
【分析】由题意可知旋转角∠BCB′=60°，则根据∠ACB′=∠BCB′+∠ACB即可得出答案．
【详解】解：根据旋转的定义可知旋转角∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠BCB′+∠ACB =60°+25°=85°．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查旋转的定义，解题的关键是找到旋转角，以及旋转后的不变量．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、①②③④
【分析】①正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题；②正确，通过计算证明∠BPD=135°，即可判断； ③正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断；④正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【详解】∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ABC =∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴在中，∠A=90°，∠ABE=30°，
∴，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=∠DPC=75°，
∴∠BPD=∠BPC+∠DPC =60°+75°=135°，故②正确；
∵∠ADC =90°，∠PDC=75°，
∴∠EDP=∠ADC -∠PDC =90°-75°=15°，
∵∠DBA=45°，∠ABE=30°，
∴∠EBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD=15°，
∵∠DEP=∠BED，
∴△PDE∽△DBE，故③正确；
∵△PDE∽△DBE，
∴，
∴，故④正确；
综上，①②③④都正确，
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14、1．2
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．
【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，
∴该玉米种子发芽的概率为1.2，
故答案为1.2．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
15、
【分析】设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BD•DC=DE•DF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；
【详解】解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，
根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，
∵EF∥AB，D是BC的中点，
∴DG是△ABC的中位线，
即DG=AB=3；
∵∠ACB=60°，BD=DC=BC，AG=GC=AC，且BC=AC，
∴△CGD是等边三角形，
∵CM⊥DG，
∴DM=MG；
∵OM⊥EF，
由垂径定理得：EM=MF，
故DE=GF，
∵弦BC、EF相交于点D，
∴BD×DC=DE×DF，
即DE×(DE+3)=3×3；
解得DE=或（舍去）；
∴EF=3+2×=；
【点睛】
本题主要考查了相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，掌握相交弦定理，等边三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理是解题的关键.
16、1
【分析】根据众数的定义直接解答即可．
【详解】解：数据1、1、3、1、4中，
∵数字1出现了两次，出现次数最多，
∴1是众数，
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
17、
【分析】设，，则，，代入计算即可求得答案.
【详解】∵线段满足，
∴设，，则，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例线段以及比例的性质，设出适当的未知数可使解题简便．
18、x1=0，x2=4
【分析】用因式分解法求解即可.
【详解】∵，
∴x(x-4)=0,
∴x1=0，x2=4.
故答案为x1=0，x2=4.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
三、解答题（共78分）
19、年平均增长率为10%．
【分析】根据图表可知2016年底城市绿地面积300公顷，2018年底城市绿地面积363公顷，设年平均增长率是，则2017年的绿地面积是，2018年的绿地面积是，即可列出方程解答．
【详解】解：设这两年年平均增长率为x，则
300（x+1）2＝363，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合实际意义，舍去）
∴x＝0.1＝10%，
答：年平均增长率为10%．
【点睛】
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”．
20、x1＝1，x2＝
【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】3x2﹣4x+1＝1
3（x2﹣x）+1＝1
（x﹣）2＝
∴x﹣＝±
∴x1＝1，x2＝
【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
21、（1）成立，理由见解析；（2）；（3）
【分析】（1）连接AD、BC，得到∠D=∠B，可证△PAD∽△PCB，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解；
（3）连接OC，根据 ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1，PO=2 利用,得到AOC为等边三角形，再分别求出，即可求解.
【详解】解：（1）成立
理由如下：如图，连接AD、BC
则∠D=∠B
∵∠P=∠P
∴△PAD∽△PCB
∴=
∴PA· PB=PC·PD
(2)当PD与⊙O相切于点C时，
PC=PD，
由（1）得PA· PB=PC·PD
∴
(3)如图，连接OC
,PC= ,PA=1
PB=3 , AO=CO=1，PO=2
PC与 ⊙O相切于点C
PCO为直角三角形
,
AOC为等边三角形
=
==
=
【点睛】
此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、切线的性质及扇形面积的求解公式.
22、（1）见解析；（2）不公平，对小亮有利，见解析.
【解析】（1）采用树状图法或者列表法解答均可；
（2）列举出所有情况，看两人所取卡片的颜色相同和不同的情况占总情况的多少即可判断．
【详解】解：（1）画树状图如下：
（2）不公平，理由如下：
由树状图知共有12种等可能结果，其中两种颜色相同的有4种结果，两种颜色不同的有8种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
因为 ＞，
所以小亮获胜的可能性大，
故此游戏不公平．
【点睛】
本题考查游戏的公平性，解题的关键是正确的列出表格或树状图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23、（1）；（2）x=1
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）根据题目中的方程，两边同时平方转化为有理方程，然后解方程即可，注意，最后要检验，所得的根是否使得原无理方程有意义．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：x1=-1，x2=1，
经检验，x=1是原无理方程的根，x=-1不是原无理方程的根，
即方程，的解是x=1．
【点睛】
本题考查解无理方程、因式分解法，解答本题的关键是明确解方程的方法，注意无理方程最后要检验．
24、 (1)见解析,（2）图见解析；（4，1）
【解析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；
（2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得到结论．
【详解】解：（1）所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求；
（2）所画图形如下所示，△AB2C2即为所求．
点C2的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
【点睛】
本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数．
25、 (1)；(2)小岛、相距.
【解析】(1)如图，过点作，垂足为，在中，先求出DE长，然后在在中，根据正弦的定义由即可求得答案；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，在中，利用勾股定理求出BE长，再由矩形的性质可得，，继而得CF长，在中，利用勾股定理求出CD长即可.
【详解】(1)如图，过点作，垂足为，
在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小岛、相距.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形，灵活运用相应三角形函数是解题的关键.
26、（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
考点：相似三角形的判定
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