资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（ ）
A．15 B．10 C．7.5 D．5
2．如图，点O是△ABC内一点、分别连接OA、OB、OC并延长到点D、E、F，使AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，连接DE，EF，FD．若△ABC的面积是3，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．15 C．24 D．27
3．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用表示孔庙的位置，用表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．2π C．4 D．4π
5．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1 B．－1或 C． D．1或
7．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，BD，点E在AD的延长线上，( )
A．若DC平分∠BDE，则AB=BC
B．若AC平分∠BCD，则
C．若AC⊥BD，BD为直径，则
D．若AC⊥BD，AC为直径，则
9．下列实数中，有理数是（ ）
A．﹣2 B． C．﹣1 D．π
10．观察下列等式：
①
②
③
④
…
请根据上述规律判断下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠B′AB等于_____．
12．设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2 021＝0的两个实数根,则m2＋3m＋n＝______.
13．如图，在矩形中，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于，点恰好是中点，则图中阴影部分的面积为___________.（结果保留）
14．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．
15．投掷一枚材质均匀的正方体骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率等于_________．
16．若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是_________．
17．要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
18．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是_________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知，二次函数（m，n为常数且m≠0）
（1）若n＝0，请判断该函数的图像与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若点A（n＋5，n）在该函数图像上，试探索m，n满足的条件；
（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图像上，且p＜q＜r，求m的取值范围.
20．（6分）在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架．如图所示，卡槽的宽度DF与内三角形ABC的AB边长相等．已知AC＝20cm，BC＝18cm，∠ACB＝50°，一块手机的最长边为17cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽内？请说明你的理由（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴、两点（在的左侧），且，，与轴交于，抛物线的顶点坐标为.
（1）求、两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点作直线轴，交轴于点，点是抛物线上、两点间的一个动点（点不与、两点重合），、与直线分别交于点、，当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于E．
（1）求证DE⊥BC；
（2）若⊙O的半径为5，BE＝2，求DE的长度．
23．（8分）一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直半径OA，C为垂足，DE＝6，连接DB，，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．
（1）求的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45°时，求图中阴影部分的面积．
25．（10分）长城汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．
（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
26．（10分）一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数图像经过点A、B，与x轴相交于另一点C．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中画出该二次函数的图像；
（3）求∠ABC的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴，
∴，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝×15＝5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
2、C
【解析】根据三边对应成比例，两三角形相似，得到△ABC∽△DEF，再由相似三角形的性质即可得到结果．
【详解】∵AD＝2OA，BE＝2OB，CF＝2OC，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∵△ABC的面积是3，
∴S△DEF＝27，
∴S阴影＝S△DEF﹣S△ABC＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3、A
【分析】根据孔庙和东山公园的位置，可知坐标轴的原点、单位长度、坐标轴的正方向，据此建立平面直角坐标系，从而可得体育场的位置.
【详解】由题意可建立如下图所示的平面直角坐标系：
平面直角坐标系中，原点O表示孔庙的位置，点A表示东山公园的位置，点B表示体育场的位置
则点B的坐标为
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知点在平面直角坐标系中的位置求其坐标，依据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键.
4、B
【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，
∴BC＝ ，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，
∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
5、D
【分析】直接利用二次根式混合运算法则分别判断得出答案．
【详解】A、无法计算，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，正确.
故选D.
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
6、B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．
7、C
【解析】如图，连接BF交y轴于P，
∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（-4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG=3，
∵BC∥GF，
∴，
∴GP=1，PC=2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
8、D
【分析】利用圆的相关性质，依次分析各选项作答.
【详解】解：A. 若平分，则，∴A错
B. 若平分，则，则，∴B错
C. 若，为直径，则
∴C错
D. 若，AC为直径，如图：
连接BO并延长交于点E，连接DE,
∵,
∴.
∵BE为直径，∴,
,
∴ .
∴选D.
【点睛】
本题考查圆的相关性质，另外需结合勾股定理，三角函数相关知识解题属于综合题.
9、A
【分析】根据有理数的定义判断即可．
【详解】A、﹣2是有理数，故本选项正确；
B、是无理数，故本选项错误；
C、﹣1是无理数，故本选项错误；
D、π是无理数，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查有理数和无理数的定义,关键在于牢记定义．
10、C
【分析】根据题目中各个式子的变化规律，可以判断各个选项中的等式是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C正确；
，选项D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识点是探寻数式的规律，从题目中找出式子的变化规律是解此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、50°
【解析】由平行线的性质可求得∠C/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC/，然后依据三角形的性质可知∠AC/C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC/的度数，从而得到∠BAB/的度数.
解：∵CC/∥AB，
∴∠C/CA=∠CAB=65°，
∵由旋转的性质可知：AC=AC/,
∴∠ACC/=∠AC/C=65°.
∴∠CAC/=180°-65°-65°=50°.
∴∠BAB/=50°.
12、1.
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=2021、m+n=-2，将其代入m2+3m+n中即可求出结论．
【详解】∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，
∴m2+2m=2021，m+n=-2，
∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=1+（-2）=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系即可得出m2+2m=1、m+n=-2是解题的关键．
13、
【分析】连接EC，先根据题意得出，再得出，然后计算出和的面积即可求解.
【详解】连接EC，如下图所示：
由题意可得：
∵是中点
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：.
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算、矩形的性质、解直角三角形，准确作出辅助线是关键.
14、5π
【解析】∵∠1=60°，
∴图中扇形的圆心角为300°，
又∵扇形的半径为：，
∴S阴影=.
故答案为.
15、
【解析】分析：利用概率公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=，即要求解.
详解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
点数为2的倍数的有3个，分别为2、4、6；
∴掷得朝上一面的点数为2的倍数的概率为：．
故答案为：．
点睛：本题考查了概率公式的知识，解题的关键是利用概率＝所求情况数与总数之比进行求解.
16、相离
【解析】r=2,d=3, 则直线l与⊙O的位置关系是相离
17、x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
18、
【分析】根据菱形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长，得出规律求出即可．
【详解】∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，
设菱形对角线交于点O，
∴，
∴，，
∴，，
顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，
∴A1D1=A A1=AB =5，C1D1 =AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=AB=5，
∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，
同理可得出：A3D3=5×，C3D3=C1D1=5，
A5D5=5，C5D5=C3D3=5，
∴四边形A2019B2019C2019D2019的周长是：
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．
三、解答题(共66分)
19、 (1) 函数图像与轴有两个交点； (2) 或； (3) 且m≠0
【分析】（1）先确定△=b2-4ac>0，可得函数图象与轴有两个交点；（2）将点A代入中即可得m，n应满足的关系；（3）根据二次函数的增减性进行分类讨论.
【详解】解： (1)当时，原函数为
该函数图像与轴有两个交点
(2)将代入原函数得：
或
(3) 对称轴
①当2，3，4在对称轴的同一侧时，且m≠0
且m≠0
②当2，3，4在对称轴两侧时，
综上：且m≠0
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征，利用图象特征与字母系数的关系，观察图象即数形结合是解答此题的关键.
20、王浩同学能将手机放入卡槽DF内，理由见解析
【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦、余弦的定义分别求出AD和CD的长，求出DB的长，根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，得到答案．
【详解】解：王浩同学能将手机放入卡槽DF内，
理由如下：作AD⊥BC于点D，
∵∠C＝50°，AC＝20，
∴AD＝AC•sin50°≈20×0.8＝16，
CD＝AC•cos50°≈20×0.6＝12，
∴DB＝BC﹣CD＝18﹣12＝6，
∴AB＝＝＝，
∴DF＝AB＝，
∵17＝＜，
∴王浩同学能将手机放入卡槽DF内．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21、（1）点坐标，点坐标；（2）；（3）是定值，定值为8
【分析】（1）由OA、OB的长可得A、B两点坐标；
（2）结合题意可设抛物线的解析式为，将点C坐标代入求解即可；
（3）过点作轴交轴于，设，可用含t的代数式表示出，，的长，利用，的性质可得EF、EG的长，相加可得结论.
【详解】（1）由抛物线交轴于、两点（在的左侧），且，
，得
点坐标，点坐标；
（2）设抛物线的解析式为，
把点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为
；
（3）（或是定值），理由如下：
过点作轴交轴于，如图
设，
则，，
，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】
本题考查了抛物线与三角形的综合，涉及的知识点主要有抛物线的解析式、相似三角形的判定和性质，灵活利用点坐标表示线段长是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）DE＝4
【分析】（1）连接OD ，DE是切线，则OD⊥DE，则OD是△ABC的中位线，可得OD∥BC，据此即可求证；
（2）过B作OD的垂线，垂足为F，证明四边形DFBE为矩形，Rt△OFB中用勾股定理即可求得DE的长度.
【详解】证明（1）连接OD
∵DE切⊙O于点D
∴OD⊥DE
∴∠ODE＝90°
∵D是AC的中点，O是AB的中点
∴OD是△ABCD的中位线
∴OD∥BC
∴∠DEC＝90°
∴DE⊥BC
（2）过B作BF⊥OD
∵BF⊥OD
∴∠DFB＝90°
∴∠DFB＝∠DEB＝∠ODE＝90°
∴四边形DFBE为矩形
∴DF＝BE＝2
∴OF＝OD－DF＝5－2＝3
∴DE＝BF＝4
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质、三角形中位线的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，辅助线是关键.
23、
【解析】本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为.
【详解】解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．
在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为．
【点睛】
本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24、⑴ OE＝2；⑵ 见详解 ⑶
【分析】（1） 连结OE,根据垂径定理可以得到，得到∠AOE =60º，OC=OE，根据勾股定理即可求出.
（2） 只要证明出∠OEM=90°即可，由(1)得到∠AOE =60º，根据EM∥BD，∠B=∠M=30°，即可求出.
（3） 连接OF,根据∠APD＝45°，可以求出∠EDF＝45º，根据圆心角为2倍的圆周角，得到∠BOE，用扇形OEF面积减去三角形OEF面积即可.
【详解】（1）连结OE
∵DE垂直OA，∠B=30°∴CE＝DE＝3，
∴∠AOE＝2∠B=60º，∴∠CEO=30°，OC=OE
由勾股定理得OE＝
（2） ∵EM∥BD，
∴∠M＝∠B＝30º，∠M+∠AOE=90º
∴∠OEM＝90º，即OE⊥ME，
∴EM是⊙O的切线
（3）再连结OF，当∠APD＝45º时，∠EDF＝45º， ∴∠EOF＝90º
S阴影＝ ＝
【点睛】
本题主要考查了圆的切线判定、垂径定理、平行线的性质定理以及扇形面积的简单计算，熟记概念是解题的关键.
25、（1）当0≤x≤5时，y=30；当5＜x≤30时，y=﹣0.1x+30.5；（2）该月需售出15辆汽车．
【解析】试题分析：（1）根据分段函数可以表示出当时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；
（2）由销售利润=销售价-进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．
试题解析：(1)由题意，得
当时y=30.
当时，y=30−0.1(x−5)=−0.1x+30.5.
∴
(2)当时，
(32−30)×5=10<25，不符合题意，
当时，
[32−(−0.1x+30.5)]x=45，
解得：（不合题意舍去）．
答：该月需售出15辆汽车.
26、（1），b=6；（2）见解析；（3）∠ABC=45°
【分析】（1）根据已知条件求得点A、点B的坐标，再代入二次函数的解析式，即可求得答案；
（2）根据列表、描点、依次连接即可画出该二次函数的图像；
（3）作AD⊥BC，利用两点之间的距离公式求得的边长，再运用面积法求高的方法求得AD，最后用特殊角的三角函数值求得答案.
【详解】（1）∵一次函数的图像与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴令，则；令，则；
∴点A、点B的坐标分别为： ，
∵二次函数图像经过点A、B，
∴，
解得：，
∴，b=6；
（2）由（1）知二次函数的解析式为：
对称轴为直线： ，与x轴的交点为．
x
-2
-1
0
0.5
1
2
3
y
0
4
6
0.25
6
4
0
二次函数的图像如图：
（3）如图，过A作AD⊥BC于D，
AB=，
CB=，
，
∵，
，
∴，
解得：，
在中，，
∵，
∴.
故∠ABC=45°.
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的性质，用待定系数法确定函数的解析式，勾股定理以及面积法求高的应用，解此题的关键是运用面积法求高的长，用特殊角的三角函数值求角的大小.
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