资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解为x＝﹣1，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．5 D．﹣4
2．设a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则a2+a+3b的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
5．下列事件中，属于随机事件的是（ ）．
A．13名同学中至少有两名同学的生日在同一个月
B．在只有白球的盒子里摸到黑球
C．经过交通信号灯的路口遇到红灯
D．用长为，，的三条线段能围成一个边长分别为，，的三角形
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
7．一个长方形的面积为，且一边长为，则另一边的长为（ ）
A． B． C． D．
8．不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
9．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ）
A．4米 B．5米 C．6米 D．8米
10．一组数据：2，3，6，4，3，5，这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．3，3 B．3，4 C．3.5，3 D．5，3
11．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172，方差为，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172，此时全班同学身高的方差为，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
二、填空题（每题4分，共24分）
13．定义为函数的“特征数”如：函数的“特征数”是，函数的“特征数”是，在平面直角坐标系中，将“特征数”是的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是_______.
14．如右图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形的体积为______．
15．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．
16．如图，菱形的边长为1，，以对角线为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形，再依次作菱形，菱形，……，则菱形的边长为_______．
17．如图，已知点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），在第一象限内找一点P(a,b) ,使△PAB为等边三角形，则2(a-b)=___________．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，CE＝y.如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，则y与x之间的函数关系式为________________.
三、解答题（共78分）
19．（8分）在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．求证：四边形AECF是菱形．
20．（8分）综合与实践
问题情境
数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，.你能求出的度数吗？
(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：
思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数.
思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数.
请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.
类比探究
(2)如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数.
拓展应用
(3)如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，则的面积是______.
21．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
22．（10分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a是方程x2+x﹣2＝0的解．
23．（10分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．
24．（10分）已知某二次函数图象上部分点的横坐标、纵坐标的对应值如下表.求此函数表达式.
25．（12分）如图，，，求的值．
26．如图，已知双曲线与直线交于点和点
（1）求双曲线的解析式；
（2）直接写出不等式的解集
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：把x＝﹣1代入方程x1﹣mx﹣3＝0得1+m﹣3＝0，解得m＝1．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握
2、C
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=2，根据一元二次方程的解的定义可得a2=2a+1，然后把a2+a+3b变形为3（a+b）+1，代入求值即可．
【详解】由题意知，a+b=2，a2-2a-1=0，即a2=2a+1，
则a2+a+3b=2a+1+a+3b=3（a+b）+1=3×2+1=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
3、B
【解析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE=FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．
【详解】如图,作AE⊥BC、DF⊥BC,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC，BC−AD=12，AE=6，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AEFD为矩形，
∴AE=DF，AD=EF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，
∴BE=6，
∵AE=6，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°.
故选B.
【点睛】
此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.
4、C
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
则
故选C.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
5、C
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义对每一选项进行判断即可．
【详解】A、必然事件，不符合题意；
B、不可能事件，不符合题意；
C、随机事件，符合题意；
D、不可能事件，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查随机事件，正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．
6、B
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．
【详解】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=8，AE=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
7、A
【分析】根据长方形的面积公式结合多项式除以多项式运算法则解题即可．
【详解】长方形的面积为，且一边长为，
另一边的长为
故选：A．
【点睛】
本题考查多项式除以单项式、长方形的面积等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8、B
【分析】根据一元一次不等式的解法进行求解即可．
【详解】解：移项得，，
合并得，，
系数化为1得，．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的解法，属于基础题型，明确解法是关键．
9、B
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米，
∴AD=BD=4米，
设输水管的半径是r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=1．
故选B．
【点睛】
本题考查垂径定理的应用；勾股定理．
10、C
【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第1、4个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是1，得到这组数据的众数．
【详解】要求一组数据的中位数，
把这组数据按照从小到大的顺序排列2，1，1，4，5，6，
第1、4个两个数的平均数是（1＋4）÷2＝1.5，
所以中位数是1.5，
在这组数据中出现次数最多的是1，
即众数是1．
故选：C．
【点睛】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
11、C
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．
【详解】∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.
12、B
【分析】设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：
∵
∴即
故选B．
【点睛】
此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式，然后利用平移规律得出新函数解析式，化为一般式即可判定其“特征数”.
【详解】由题意，得
“特征数”是的函数的解析式为，
平移后的新函数解析式为
∴这个新函数的“特征数”是
故答案为：
【点睛】
此题主要考查新定义下的二次函数的平移，解题关键是理解题意.
14、250π
【分析】根据三视图可得这个几何体是一个底面直径为10，高为10的圆柱，再根据圆柱的体积公式列式计算即可．
【详解】解：根据这个立体图形的三视图可得：这个几何体是一个圆柱，底面直径为10，高为10，
则这个立体图形的体积为：π×52×10=250π，
故答案为：250π．
【点睛】
本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
15、
【解析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P（小于5）==．故答案为．
16、
【解析】过点作垂直OA的延长线与点，根据“直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半”求出，同样的方法求出和的长度，总结规律即可得出答案.
【详解】
过点作垂直OA的延长线与点
根据题意可得，，
则，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
过点作垂直的延长线与点
则，
∴，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
过点作垂直的延长线与点
则，
∴，∴
在RT△中，
又为菱形的对角线
∴，故菱形的边长为；
……
∴菱形的边长为；
故答案为.
【点睛】
本题考查的是菱形，难度较高，需要熟练掌握“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一基本性质.
17、
【分析】根据A、B坐标求出直线AB的解析式后，求得AB中点M的坐标，连接PM，在等边△PAB中，M为AB中点，所以PM⊥AB，，再求出直线PM的解析式，求出点P坐标；在Rt△PAM中，AP=AB=5，，即且a＞0，解得a>0，即，将a代入直线PM的解析式中求出b的值，最后计算2(a-b)的值即可；
【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)，
∴AB=5，
设，
∴，
∴ ，
∴，
∵A(4，0) B(0，3) ，
∴AB中点，连接PM，
在等边△PAB中，M为AB中点，
∴PM⊥AB，，
∴，
∴设直线PM的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△PAM中，AP=AB=5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a>0，
∴，
∴，
∴；
【点睛】
本题主要考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数是解题的关键.
18、
【解析】∵∠BAC=30°， AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=，
∴∠ACE=∠ABD=180°-75°=105°，
∵∠DAE=105°，∠BAC=30°，
∴∠DAB+∠CAE=105°-30°=75°，
又∵∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠ADB=∠CAE.
∴△ADB∽△EAC，
∴，即，
∴.
故答案为.
三、解答题（共78分）
19、见解析
【解析】试题分析：首先根据题意画出图形，再证明≌进而得到再根据垂直平分线的性质证明可得四边形是菱形．
试题解析：
证明：如图所示，
∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
又∵在矩形ABCD中,ADBC，
∴∠1=∠2
∴在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF，
又∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边相等的四边形是菱形.
20、 (1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).
【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；
思路二、同思路一的方法即可得出结论；
（2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，然后同（1）的思路一的方法即可得出结论；
（3）可先将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，根据旋转性质，角的计算可得到△APP'是等边三角形，再根据勾股定理，得到AP的长，最后根据三角形面积得到所求．
【详解】解：(1)思路一，如图1，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则≌，，
，，
∴，
根据勾股定理得，，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
思路二、同思路一的方法.
(2)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，连接，
则≌，，，，
∴，
根据勾股定理得，.
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（3）如图3，将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，
∴∠AP'C＝∠APB＝360°-90°-120°＝150°．
∵AP＝AP'，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP，∠AP'P＝∠APP'＝60°，
∴∠PP'C＝90°，∠P'PC＝30°，
∴，即．
∵APC＝90°，
∴AP2＋PC2＝AC2，且，
∴PC＝2，
∴，
∴．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
21、（1），；（2），．
【分析】（1）先去括号，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【详解】（1），
，
，
∴，．
（2），
(3x+2)(x-2)=0，
∴，．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的解法是解题关键．
22、, -.
【分析】先求出程x2+x﹣2＝0的解，再将所给分式化简，然后把使分式有意义的解代入计算即可.
【详解】解：∴x2+x﹣2＝0，
∴(x-1)(x+2)=0，
∴x1=1，x2=-2，
原式＝•＝，
∵a是方程x2+x﹣2＝0的解，
∴a＝1（没有意义舍去）或a＝﹣2，
则原式＝﹣．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则和一元二次方程的解法是解答本题的关键.
23、 (1)画图见解析；(2)DE=4.
【解析】（1）连接CB延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求．
（2）根据，可得 ，即可推出DO=4m．
【详解】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，
∴OD=4m，
∴灯泡的高为4m．
【点睛】
本题考查中心投影、解题的关键是正确画出图形，记住物长与影长的比的定值，属于基础题，中考常考题型．
24、
【分析】观察图表可知，此二次函数以x=1为轴对称，顶点为（1，4），判断适合套用顶点式y=a（x-h）2+k,得到，再将除顶点外的任意已知点代入，如点（-1，0），得 a = -1.故所求函数表达式为
【详解】解：观察图表可知，当x=-1时y=0，当x=3时y=0，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，
∴设，
∵当x=-1时y=0，
∴，
∴=-1，
∴.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，这类问题首先应考虑能不能用简便方法即能不能用顶点式和交点式来解，实在不行用一般形式.此题能观察确定出对称轴和顶点的坐标是关键.
25、
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，∴．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
26、（1）；（2）或
【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式即可得出k的值，从而求出双曲线的解析式；
（2）求出B点坐标，利用图象即可得解．
【详解】解：（1）∵双曲线经过点，.
∴双曲线的解析式为
（2）由双曲线解析式可得出B(-4，-1)，结合图象可得出，
不等式的解集是：或．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是从图象中得出相关信息．
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