资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A．球体 B．圆锥 C．棱柱 D．圆柱
2．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，连接OC，若∠ACO=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3．如图，⊙O的半径为1，点 O到直线 的距离为2，点 P是直线上的一个动点，PA切⊙O于点 A，则 PA的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AD＝BD，若AB＝，tanC＝，则BC＝（ ）
A．8 B． C．7 D．
6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（ ）
A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
7．下列说法正确的是（ ）
A．为了了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
B．某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票一定会中奖
C．若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则乙组数据比甲组数据稳定
D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3
8．若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是
A．25π B．65π C．90π D．130π
10．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2＋＝0 B．（3x－1）（3x＋1）＝3
C．（x－3）（x－2）＝x2 D．2x－3y＋1＝0
11．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．把二次函数化为的形式是
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若一元二次方程的一个根是，则__________．
14．若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们对应角的角平分线之比为___．
15．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是_____．
16．如图，平行四边形分别切于点，连接并延长交于点，连接与刚好平行，若，则的直径为______．
17．如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A(m，2)和CD边上的点E(n，)，则点D的坐标是_____．
18．已知＝，则的值是_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．
（1）求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）
（2）如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．
（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.1．）
20．（8分）汽车产业的发展，有效促进我国现代建设．某汽车销售公司2007年盈利3000万元，到2009年盈利4320万元，且从2007年到2009年，每年盈利的年增长率相同，该公司2008年盈利多少万元?
21．（8分）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题:
（1）参加征文比赛的学生共有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ；
（4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．（10分）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
23．（10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．
（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
（提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=）．
24．（10分）如图，抛物线与轴相交于两点（点在点的左侧），与轴相交于点.抛物线上有一点，且.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标.
（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值.
（3）①设此抛物线在点与点之间部分（含点和点）最高点与最低点的纵坐标之差为.求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
②当时，点的坐标是___________.
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
26．阅读下面材料，完成(1)-(3)题.
数学课上，老师出示了这样一道题:
如图，△ABC中，D为BC中点，且AD=AC,M为AD中点，连结CM并延长交AB于N.
探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明.
同学们经过思考后，交流了自已的想法:
小明：“通过观察和度量，发现线段AN、AB之间存在某种数量关系.”
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的，大家就大胆的探究吧.”
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决.”
......
老师: “若其他条件不变，设AB=a,则可以用含a的式子表示出线段CM的长.”
（1）探究线段AN、AB之间的数量关系，并证明;
（2）探究线段AN、MN、CN之间的数量关系，并证明;
（3）设AB=a,求线段CM的长（用含a的式子表示）.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【解析】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.
考点：几何体的三视图.
2、D
【解析】试题分析：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．故选D．
考点：圆周角定理．
3、B
【分析】因为PA为切线，所以△OPA是直角三角形．又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA最小．根据垂线段最短，知OP=1时PA最小．运用勾股定理求解．
【详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=1．
根据题意，在Rt△OPA中，
AP==
故选：B．
【点睛】
此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．
4、D
【解析】第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.
5、C
【分析】证出△ABD是等腰直角三角形，得出AD＝BD＝AB＝4，由三角函数定义求出CD＝3，即可得出答案．
【详解】解：交于点，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
故选：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的性质以及三角函数定义；熟练掌握等腰直角三角形的性质和三角函数定义是解题的关键．
6、B
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．
7、D
【分析】根据抽样调查、概率、方差、中位数与众数的概念判断即可．
【详解】A、为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、某种彩票的中奖机会是1%，则买111张这种彩票可能会中奖，不符合题意；
C、若甲组数据的方差s甲2＝1．1，乙组数据的方差s乙2＝1．2，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意；
D、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查统计的相关概念,关键在于熟记概念．
8、C
【分析】首先判断a、b的符号，再一一判断即可解决问题．
【详解】∵一次函数y＝ax＋b的图象经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，故A错误；
，故B错误；
a2＋b＞0，故C正确，
a＋b不一定大于0，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数与不等式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定a、b的符号，属于中考常考题型．
9、B
【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
10、B
【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能等于0，未知数最高次数是2的整式方程，即可得到答案.
【详解】解：A、不是整式方程，故本项错误；
B、化简得到，是一元二次方程，故本项正确；
C、化简得到，是一元一次方程，故本项错误；
D、是二元一次方程，故本项错误；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键.
11、C
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】解：连接、，
∵、分别与相切于、两点，
∴，，
∴．
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
12、B
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】原式＝（x2＋4x−4）
＝（x2＋4x＋4−8）
＝（x＋2）2−2
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】将x=1代入一元二次方程，即可求得m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为x=1，
∴11-6+m=0，
解得，m=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
14、1：1
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们对应角的角平分线之比为1：=1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
15、-1
【分析】根据函数图象自变量取值范围得出对应y的值，即是函数的最值．
【详解】解：∵函数y＝-（x-1）2+1，
∴对称轴为直线x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵当x＝1时，y＝-1，
∴函数y＝-（x-1）2+1（x≥1）的最大值是-1．
故答案为-1．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的最值，掌握二次函数对称轴两侧的增减性是解决此题的关键．
16、
【分析】先证得四边形AGCH是平行四边形，则，再证得，求得 ，证得DO⊥HC，根据，即可求得半径，从而求得结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AG∥HC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴，
∵是⊙O的切线，且切点为、，
∴，∠GCH=∠HCD，
∵AD∥BC，
∴∠DHC=∠GCH，
∴∠DHC=∠HCD，
∴三角形DHC为等腰三角形，
∴，
∴，
∴，，
连接OD、OE，如图，
∵是⊙O的切线，且切点为、，
∴DO是∠FDE的平分线，
又∵，
∴DO⊥HC,
∴∠DOC=90，
∵切⊙O于，
∴OE⊥CD,
∵∠OCE+∠COE=90，∠DOE+∠COE=90，
∴∠OCE=∠DOE，
∴，
∴，即，
∴，
∴⊙O的直径为：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证得为等腰三角形是解题的关键．
17、 (3，2)
【分析】根据题意和函数图象，可以用含m代数式表示出n，然后根据点A和点E都在改反比例函数图象上，即可求得m的值，进而求得点E的坐标，从而可以写出点D的坐标，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
n＝m+2，
则点E的坐标为（m+2，），
∵点A和点E均在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴2m＝，
解得，m＝1，
∴点E的坐标为（3，），
∴点D的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
18、
【分析】根据合比性质：，可得答案．
【详解】由合比性质，得，
故答案为：．
【点睛】
此题考查比例的性质，利用合比性质是解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）167.79；（2）能.理由见解析.
【分析】（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．由三角函数表示出CD和AD的长，然后列出方程，解方程即可；
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．利用解直角三角形求出DF的长度，然后得到AF的长度，与AB进行比较，即可得到答案.
【详解】解：（1）过点M作MD⊥AC交AC的延长线于D，设DM=x．
∵在Rt△CDM中，CD = DM·tan∠CMD= x·tan22°，
又∵在Rt△ADM中，∠MAC=45°，
∴AD=DM=x，
∵AD=AC+CD=100+ x·tan22°，
∴100+ x·tan22°=x．
∴（米）．
答：轮船M到海岸线l的距离约为167.79米．
（2）作∠DMF=30°，交l于点F．
在Rt△DMF中，有：
DF= DM·tan∠FMD= DM·tan30°=DM≈≈96.87米．
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈167.79+96.87=264.66<2．
∴该轮船能行至码头靠岸．
【点睛】
本题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
20、2008年盈利3600万元．
【分析】设该公司从2007年到2009年，每年盈利的年增长率是x，根据题意列出方程进行求解即可求出年增长率；然后根据2007年的盈利，即可算出2008年的盈利．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为x，由题意得：
3000(1+x)2=4320，
解得：，（不合题意，舍去），
∴年增长率20%，
∴3000×(1+20%)=3600，
答：该公司2008年盈利3600万元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是求出从2007年到2009年，每年盈利的年增长率．
21、（1）30；（2）图见解析；（3）144°，30；（4） ．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可；
（3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值；
（4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%，
则3÷10%=30，
即参加征文比赛的学生共有30人；
（2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人，
则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人
补全条形统计图如下图
（3），
，∴m=30
（4）依题意，列表如下:
男
女
女
男
(男，女)
(男，女)
女
(男，女)
(女，女)
女
(男，女)
(女，女)
由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以；
或树状图如下
由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种，
所以．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键．
22、渔船没有进入养殖场的危险.
【解析】试题分析：点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．
试题解析：
过点B作BM⊥AH于M，
∴BM∥AF.
∴∠ABM=∠BAF=30°.
在△BAM中，AM=AB=5，BM=.
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K.
在Rt△BCK中，∠CBK=90°-60°=30°
设CK=，则BK=
在Rt△ACN中，
∵∠CAN=90°-45°=45°，
∴AN=NC.
∴AM+MN=CK+KN.
又NM=BK，BM=KN.
∴.解得
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.
答：这艘渔船没有进入养殖场危险.
23、（1）y=x+3；y=﹣x2﹣2x+3；（2）M的坐标是（﹣1，2）；（3）P的坐标是（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝−1代入直线y＝x＋3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（−1，t），又因为B（−3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）A（1，0）关于x=﹣1的对称点是（﹣3，0），
则B的坐标是（﹣3，0）
根据题意得：
解得
则直线的解析式是y=x+3；
根据题意得：
解得：
则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x+3
（2）设直线BC与对称轴x＝−1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．
把x＝−1代入直线y＝x＋3得，y＝−1＋3＝2，
∴M（−1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（−1，2）；
（3）如图，设P（−1，t），
又∵B（−3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（−1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（−1）2＋（t−3）2＝t2−6t＋10，
①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2−6t＋10解之得：t＝−2；
②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2−6t＋10＝4＋t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2−6t＋10＝18解之得：t1＝，t2＝；
∴P的坐标是（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，4）或（﹣1，﹣2）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24、（1），顶点坐标为；（2）8；（3）①；②.
【分析】（1）将点C代入表达式即可求出解析式，将表达式转换为顶点式即可写出顶点坐标；
（2）根据题目分析可知，当点P位于抛物线顶点时，△ABP面积最大，根据解析式求出A、B坐标，从而得到AB长，再利用三角形面积公式计算面积即可；
（3）①分三种情况：0<m≤1、1<m≤2以及m>2时，分别进行计算即可；
②将h=9代入①中的表达式分别计算判断即可.
【详解】解：（1）将点代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）令，
解得或，
∴，，
∴，
当点与抛物线顶点重合时，△ABP的面积最大，
此时；
（3）①∵点C(0，－3)关于对称轴x=1对称的点的坐标为(2，－3)，P(m，)，
∴当时，，
当时，，
当时，,
综上所述，；
②当h=9时，
若，此时方程无解，
若，解得m=4或m=－2（不合题意，舍去），
∴P(4，5).
【点睛】
本题为二次函数综合题，需熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题关键.
25、（1）详见解析；（2）24
【分析】（1）可先证得△AEF≌△DEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
（2）将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积，再用S△ABC的面积=AB•AC，结合条件可求得答案．
【详解】（1）证明：∵E是AD的中点
∴AE＝DE
∵AF∥BC
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
∵D是BC的中点
∴BD=CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝CD＝BC
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
26、（1）（2）或，证明见解析（3）
【分析】（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，构造出全等三角形△BDQ≌△CDM（ASA）、相似三角形△ANM∽△ABQ，再利用全等和相似的性质即可得出结论；
（2）延长AD至H，使AD=DH，连接CH，可得△ABD≌△HCD(SAS)，进一步可证得，得到，然后证明，即可得到结论：；延长CM至Q，使QM=CM，连接AQ，延长至，使可得、四边形为平行四边形，进一步可证得，即可得到结论；
（3）在（1）、（2）的基础之上，用含的式子表示出、，从而得出．
【详解】（1）过B做BQ∥NC交AD延长线于Q，如图：
∵D为BC中点
易得△BDQ≌△CDM（ASA）
∴DQ=DM，
∵M为AD中点，
∴AM=DM=DQ，
∵BQ∥NC，
∴△ANM∽△ABQ，
∴，
∴；
（2）①结论：，
证明：延长AD至H，使AD=DH，连接CH，如图：
易得△ABD≌△HCD(SAS) ，
∴∠H=∠BAH，
∴AB∥HC，
设AM=x，则AD=AC=2x，AH=4x，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：；
证明：延长至，使，连接，
延长至，使，如图：
则，则四边形为平行四边形，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴；
(3)由（1）得，，
∴，
由（2）①得，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，合理的添加辅助线是解题的关键．
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