资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若二次函数的图象的顶点在第一象限，且经过点(0，1)和(-1，0)，则的值的变化范围是( )
A． B． C． D．
2．如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位 B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位 D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
5．下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径 B．弧是半圆 C．半圆是圆中最长的弧 D．直径是圆中最长的弦
6．已知将二次函数y=x²+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x²-4x-5，则b，c的值为（ ）
A．b=1，c=6 B．b=1．c= -5 C．b=1．c= -6 D．b=1,c=5
7．若△ABC∽△ADE，若AB=6，AC=4,AD=3，则AE的长是（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．3
8．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．1．71s B．1．71s C．1．63s D．1．36s
9．（2017广东省卷）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，PB′＝BB′，A′B′＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．
12．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率
（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．
13．已知△ABC的内角满足=__________度．
14．若反比例函数的图象经过点(2，﹣2)，(m，1)，则m＝_____．
15．如图，港口A在观测站 O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为 _____km.
16．如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图象于点，已知的面积为，则的值为___________．
17．已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是_____．
18．如果，那么=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．（6分）某商场购进一种单价为10元的商品，根据市场调查发现：如果以单价20元售出，那么每天可卖出30个，每降价1元，每天可多卖出5个，若每个降价x（元），每天销售y（个），每天获得利润W（元）．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求W与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）
（3）若降价x元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为多少元？
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
22．（8分）已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，设二次函数图象与轴交于点，求点的坐标．
23．（8分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．
(1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（8分）已知抛物线与轴交于点和且过点．
求抛物线的解析式；
抛物线的顶点坐标；
取什么值时，随的增大而增大；取什么值时，随增大而减小．
25．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于A点，点C是⊙O上的一点，且PC=PA．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=45°，AB=4，求PC的长．
26．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】代入两点的坐标可得 ， ，所以 ，由抛物线的顶点在第一象限可得 且 ，可得 ，再根据、，可得S的变化范围．
【详解】将点(0，1)代入中
可得
将点(-1，0)代入中
可得
∴
∵二次函数图象的顶点在第一象限
∴对称轴 且
∴
∵，
∴
∴
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的系数问题，掌握二次函数的性质以及各系数间的关系是解题的关键．
2、D
【分析】这个几何体的侧面是以底面圆周长为长、圆柱体的高为宽的矩形，根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】根据三视图可得几何体为圆柱，圆柱体的侧面积=底面圆的周长圆柱体的高=
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了圆柱体的侧面积问题，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
3、B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），可以直接写出答案．
【详解】点P(-3，4)关于原点对称的点的坐标是(3，-4) ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数．
4、A
【分析】抛物线的平移问题，实质上是顶点的平移，原抛物线的顶点为（0，0），平移后的抛物线顶点为（-3，1），由顶点的平移规律确定抛物线的平移规律．
【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标为（-3，1），
点（0，0）需要先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点（-3，1）．
∴抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=2（x+3）2+1．
故选A．
【点睛】
在寻找图形的平移规律时，往往需要把图形的平移规律理解为某个特殊点的平移规律．
5、D
【解析】试题分析：根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可．
【解答】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选D．
【考点】圆的认识．
6、C
【分析】首先抛物线平移时不改变a的值，其中点的坐标平移规律是上加下减，左减右加，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
【详解】解：∵y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=（x-2）2-9，
∴顶点坐标为（2，-9），
∴由点的平移可知：向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得（1，-2），
则原二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-2），
∵平移不改变a的值，
∴a=1，
∴原二次函数y=ax2+bx+c=x2-2，
∴b=1，c=-2．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与平移变换，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原二次函数的解析式．
7、B
【分析】根据相似三角形的性质，由，即可得到AE的长.
【详解】解：∵△ABC∽△ADE，
∴，
∵AB=6，AC=4，AD=3，
∴，
∴；
故选择：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.
8、D
【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.
【详解】解：h=3.5t-4.9t2
=-4.9（t-）2+，
∵-4.9＜1
∴当t=≈1.36s时，h最大．
故选D.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.
9、A
【分析】过原点的直线与反比例函数图象的交点关于原点成中心对称，由此可得B的坐标．
【详解】与相交于A，B两点
∴A与B关于原点成中心对称
∵
∴
故选择：A．
【点睛】
熟知反比例函数的对称性是解题的关键．
10、C
【分析】根据位似图形的对应边互相平行列式计算，得到答案．
【详解】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴A′B′∥AB，
∴△PA′B′∽△PAB，
∴＝＝，
∴AB＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1.
【解析】分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
详解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
点睛：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
12、0.1
【解析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.1附近，
故摸到白球的频率估计值为0.1；
故答案为：0.1．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
13、75
【解析】由题意得：， ，
∴tanA =，cosB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=75°，
故答案为75.
14、-1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】解：设反比例函数的图象为y＝，把点（2，﹣2）代入得k＝﹣1，
则反比例函数的图象为y＝﹣，把（m，1）代入得m＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查反比例函数图象的性质,关键在于熟记性质.
15、1＋1
【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．
【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，
由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，
则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝1（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝1（km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，
∴OB＝OD＋BD＝1＋1（km），
故答案为：1＋1．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
16、4
【分析】如果设直线AB与x轴交于点C，那么．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，求得△AOC的面积和△COB的面积，即可得解．
【详解】延长AB交x轴于点C，
根据反比例函数k的几何意义可知：
，
，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义．
17、＜a或﹣5＜a＜﹣1．
【分析】首先可由二次函数的表达式求得二次函数图象与x轴的交点坐标，可知交点坐标是由a表示的，再根据题中给出的交点横坐标的取值范围可以求出a的取值范围．
【详解】解：∵y＝ax1+（a1﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x＝﹣a或x＝，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），
由题意函数与x轴的一个交点坐标为（m，0）且1＜m＜5，
∴当a＞0时，1＜＜5，即＜a；
当a＜0时，1＜﹣a＜5，即﹣5＜a＜﹣1；
故答案为＜a或﹣5＜a＜﹣1．
【点睛】
本题综合考查二次函数图象与与x轴的交点坐标以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及一元一次不等式的解法是解题关键．
18、
【解析】试题解析：
设a=2t，b=3t，
故答案为:
三、解答题(共66分)
19、直线AD与⊙O相切，理由见解析
【分析】先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.
【详解】直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
20、（1）y＝30+5x（2）W＝﹣5x2+20x+1；（3）降价4元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为1元
【分析】（1）根据销售量等于原销售量加上多卖出的量即可求解；
（2）根据每天获得利润等于单件利润乘以销售量即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）根据题意，得
y＝30+5x．
答：y与x的函数关系式y＝30+5x．
（2）根据题意，得
W＝（20﹣10﹣x）（30+5x）
＝﹣5x2+20x+1．
答：W与x的函数关系式为W＝﹣5x2+20x+1．
（3）W＝﹣5x2+20x+1
＝﹣5（x﹣2）2+320
∵﹣5＜0，对称轴x＝2，
∵x不低于4元即x≥4，
在对称轴右侧，W随x的增大而减小，
∴x＝4时，W有最大值为1，
答：降价4元（x不低于4元）时，销售这种商品每天获得的利润最大为1元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系．
21、（1）；（2）．
【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由C为OA的中点可表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上可得出关于k、m的二元一次方程租，解方程组即可得出结论；
（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，从而得出△OAB为等腰直角三角形，最后得出结果．
【详解】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为．
点为线段的中点，点的坐标为．
点均在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
（2），
点的坐标为，
，
∴△OAB是等腰直角三角形，
．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式等知识点，解决该题型题目时，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组，通过解方程组得出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可．
22、点的坐标为：
【分析】以顶点式设函数解析式，将点代入，求出二次函数解析式，再令，求得对应的值，则可得点的坐标．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为
∴设其解析式为：．
∵函数经过点，
∴，
∴，
∴．
令得：
∴点的坐标为：．
【点睛】
此题考查的是求二次函数的解析式和根据解析式求点的坐标，掌握二次函数的顶点式是解决此题的关键.
23、（1）；（2）（－1，）；（3） M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．
【解析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；
（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；
（3）分OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案．
【详解】(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,
∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA，
∴OB=OA=2，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=60°，
在Rt△OBD中,∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1,DB=，
∴点B的坐标是(1, )，
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由已知可得：
，
解得：
∴所求抛物线解析式为；
(2)存在.
如图所示，
∵△BOC的周长=OB+BC+CO，
又∵OB=2，
∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O和点A关于对称轴对称，
∴连接AB与对称轴的交点即为点C，
由对称可知，OC=OA，
此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；
点C为直线AB与抛物线对称轴的交点，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+，
当x=−1时,y=，
∴所求点C的坐标为(−1,)；
(3)如图所示，
①当以OA为对角线时，
∵OA与MN互相垂直且平分，
∴点M1(−1,−)，
②当以OA为边时，
∵OA=MN且OA∥MN，
即MN=2,MN∥x轴，
设N(−1,t)，
则M(−3,t)或(1,t)
将M点坐标代入，
解得，t=，
∴M2(−3,)，M3 (1,)
综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行分类讨论是解题的关键.
24、（1）；（1）；（3）当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．
【分析】（1）设二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣1)，然后把点(3，4)代入函数解析式求得a的值即可；
（1）将（1）中抛物线的解析式利用配方法转化为顶点式，可以直接写出顶点坐标；
（3）根据抛物线的开口方向和对称轴写出答案．
【详解】（1）∵二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)和(1，0)，
∴设该二次函数解析式为y=a(x﹣1)(x﹣1)(a≠0)，
把点(3，4)代入，得：
a×(3﹣1)×(3﹣1)=4，
解得：a=1．
则该抛物线的解析式为：y=1(x﹣1)(x﹣1)；
（1）由（1）知，抛物线的解析式为y=1(x﹣1)(x﹣1)．
∵y=1(x﹣1)(x﹣1)=1(x)1，
∴该抛物线的顶点坐标是：(，)．
（3）由抛物线的解析式y=1(x)1知，抛物线开口方向向上，对称轴是x．
结合二次函数y=ax1+bx+c的图象与x轴交于点(1，0)和(1，0)，作出该抛物线的大致图象．
如图所示，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种形式，并且掌握抛物线的性质．
25、（1）见解析；（2）2
【分析】（1）根据切线的性质得到∠PAB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA，求得PC⊥CO，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，先根据△ACB是等腰直角三角形，得到AC和，从而推出△PAC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到PC的值．
【详解】（1）连接CO，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵PC=PA，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠OAC=∠PAB=90°，
∴PC⊥CO，
∵OC是半径
∴PC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
为⊙O直径，
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
26、（1）x＝2±；（2）x＝或x＝．
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣2）2＝2，
∴x＝2±．
（2）∵（2x﹣1）2＝4（2x﹣1），
∴（2x﹣1﹣4）（2x﹣1）＝0，
∴x＝或x＝.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
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