资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，是岑溪市几个地方的大致位置的示意图，如果用表示孔庙的位置，用表示东山公园的位置，那么体育场的位置可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P(x，y)在第二象限，|x|＝6，|y|＝8，则点P关于原点的对称点的坐标为（ ）
A．(6，8) B．(﹣6，8) C．(﹣6，﹣8) D．(6，﹣8)
3．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2=0 C．x2-2y=1 D．
4．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．π C．2π D．4π
5．如图，一斜坡AB的长为m，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC的高为（ ）
A．3m B．4m C．6m D．16m
6．从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是
A．盖面朝下的频数是55
B．盖面朝下的频率是0.55
C．盖面朝下的概率不一定是0.55
D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次
7．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m
8．如图，反比例函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（ ）
A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.7
10．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线的部分图象如图所示，对称轴是直线，则关于的一元二次方程的解为____．
12．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为 cm．
13．钟表的轴心到分钟针端的长为那么经过分钟，分针针端转过的弧长是_________________.
14．二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是_________
15．关于x的一元二次方程有一根为0，则m的值为______
16．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随即抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为_____．
17．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是_____cm．
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，，那么AC=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，求线段c的长；
（2）已知，且a+b﹣5c＝15，求c的值．
20．（6分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题．
实验与操作： Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°． 将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点）． 设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D．
猜想与证明：
（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：
①此时，旋转角α的度数为 °；
②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD＝C′D；
（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD，直接写出线段AD与C之间的位置关系（不必证明）．
21．（6分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元．
（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？
（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；
（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毽子两种体育器材，跳绳10元一根，毽子5元一个，在把钱用尽的情况下，有多少种进货方案？
22．（8分）解方程：x2﹣6x﹣40＝0
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．
（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'
（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．
24．（8分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．
26．（10分）如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE•DC：
（3）求tan∠ACD的值．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据孔庙和东山公园的位置，可知坐标轴的原点、单位长度、坐标轴的正方向，据此建立平面直角坐标系，从而可得体育场的位置.
【详解】由题意可建立如下图所示的平面直角坐标系：
平面直角坐标系中，原点O表示孔庙的位置，点A表示东山公园的位置，点B表示体育场的位置
则点B的坐标为
故选：A.
【点睛】
本题考查了已知点在平面直角坐标系中的位置求其坐标，依据题意正确建立平面直角坐标系是解题关键.
2、D
【分析】根据P在第二象限可以确定x，y的符号，再根据|x|=6，|y|=8就可以得到x，y的值，得出P点的坐标，进而求出点P关于原点的对称点的坐标．
【详解】∵|x|=6，|y|=8，
∴x=±6，y=±8，
∵点P在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x=﹣6，y=8，
即点P的坐标是(﹣6，8)，关于原点的对称点的坐标是(6，﹣8)，
故选：D．
【点睛】
主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点和对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3、B
【解析】利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可求解．
【详解】解：A：，化简后是：，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
B：x2=0，是一元二次方程；
C：x2-2y=1含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；
D：，分母含有未知数，是一元一次方程，所以不是一元二次方程；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
4、A
【解析】试题解析：连接OD.
∵CD⊥AB，
故，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又
∴OC=2，
∴S扇形OBD 即阴影部分的面积为
故选A.
点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.
5、B
【分析】首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC和AC之间的倍数关系式，设BC=x，则AC=1.5x，再由勾股定理求得AB=，从而求得BC的值．
【详解】解：∵斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：1.5，AB=，
∴设BC=x，则AC=1.5x，
∴由勾股定理得AB=，
又∵AB=，
∴=，解得：x=4，
∴BC=4m．
故选：B．
【点睛】
本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．
6、D
【分析】根据频数，频率及用频率估计概率即可得到答案．
【详解】A、盖面朝下的频数是55，此项正确；
B、盖面朝下的频率是=0.55，此项正确；
C、盖面朝下的概率接近于0.55，但不一定是0.55，此项正确；
D、同样的试验做200次，落地后盖面朝下的在110次附近，不一定必须有110次，此项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了频数，频率及用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．
7、B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴＝．
∴AD＝1．
∴AB＝AD+DB＝1+1＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
8、B
【分析】比例系数k=1＞0，根据反比例函数图像的特点可判断出函数图像．
【详解】∵比例系数k=1＞0
∴反比例函数经过一、三象限
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数图像的分布，当k>0时，函数位于一、三象限．当k＜0时，函数位于二、四象限．
9、C
【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．
【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的， 观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，
且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，
因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，
故答案为C
【点睛】
本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．
10、A
【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=∠AOB=30°
故选A．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据二次函数的性质和函数的图象，可以得到该函数图象与轴的另一个交点，从而可以得到一元二次方程的解，本题得以解决．
【详解】由图象可得，
抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线，
则抛物线与轴的另一个交点为（-3，0），
即当时，，此时方程的解是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12、．
【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案：
∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．
又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．
∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．
∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．
又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧的长=（cm）．
13、
【分析】钟表的分针经过40分钟转过的角度是，即圆心角是，半径是，弧长公式是，代入就可以求出弧长．
【详解】解：圆心角的度数是：，
弧长是．
【点睛】
本题考查了求弧长，正确记忆弧长公式，掌握钟面角是解题的关键．
14、（1，3）
【解析】首先知二次函数的顶点坐标根据顶点式y=a(x+)2+，知顶点坐标是（-，），把已知代入就可求出顶点坐标．
【详解】解：y=ax2+bx+c，
配方得y=a(x+)2+，
顶点坐标是（-，），
∵y=2（x-1）2+3，
∴二次函数y=2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是 （1，3）．
【点睛】
解此题的关键是知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（-，），和转化形式y=a(x+)2+，代入即可.
15、m=-1
【解析】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【详解】把x=0代入方程（m-1）x2+x+m2-9=0得m2-9=0，解得m1=1，m2=-1，
而m-1≠0，
所以m的值为-1．
故答案是：-1．
【点睛】
考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
16、
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点（a，b）在第二象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图图得：
∵共有6种等可能的结果，点（a，b）在第二象限的有2种情况，
∴点（a，b）在第二象限的概率为：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是利用公式计算某个事件发生的概率，注意找全所有可能出现的结果数作分母．在判断某个事件A可能出现的结果数时，要注意审查关于事件A的说法，避免多数或少数．
17、37.1
【分析】根据垂径定理求得AD＝30cm，然后根据勾股定理得出方程，解方程即可求得半径．
【详解】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD＝11cm，AB＝60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设半径为rcm，则OD＝(r﹣11)cm，
根据题意得：r2＝(r﹣11)2+302，
解得：r＝37.1，
∴这个摆件的外圆半径长为37.1cm，
故答案为37.1．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
18、2
【解析】如图所示，
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=，
∴cosA=，
则AC=AB=×6=2，
故答案为2.
三、解答题(共66分)
19、 (1)1;(2)-1
【分析】（1）根据比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把a=2cm，b=3cm，d=6cm代入进行计算即可；
（2）设=k，得出a=2k，b=3k，c=1k，代入a+b-5c=15，求出k的值，从而得出c的值．
【详解】（1）∵a，b，c，d是成比例线段
∴，
即，
∴c=1；
（2）设=k，则a=2k，b=3k，c=1k，
∵a+b-5c=15
∴2k+3k-20k=15
解得：k=-1
∴c=-1．
【点睛】
此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．
20、（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形，证明见解析．（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交于点E，由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明△CDB≌△，即可解题；
（3）先证明，再由相似三角形的性质解题，进而证明即可证明.
【详解】解：（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形．
证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠C′AB′=∠CAB=60°，，．
与都是等边三角形．
∴∠ACC′=∠AB′B=60°．
∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，
∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．
∴AB′//CD，AC//B′D．
∴四边形AB′DC是平行四边形．
（2）证明：过点作的垂线，交于点E，
∴∠B′C′E=90°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，，．
∴∠AB=∠AB=45°，BC∥AB′∥C′E
∵∠AC=∠ABC=90°，
∴∠B=∠CBE=45°．
∴∠=90°－45°=45°=∠B．
∴．
在△CBD和△ED中，
∴△CDB≌△DE．
∴CD= D．
（3）AD⊥C,理由如下：
设AC与D交于点O，连接AD，
∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B，
，
【点睛】
本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.
21、（1）甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元；（2）花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个；（3）有28种进货方案．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）设学校计划购进甲种篮球m个，则学校计划购进乙种篮球（100−m）个；根据题意列不等式即可得到结论；
（3）设购买跳绳a根，毽子b个，根据题意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58−2a＞0，解不等式即可得到结论．．
【详解】（1）设甲种篮球每个的售价为元，乙种篮球每个的售价为元．依题意，得
解得
答：甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元．
（2）设学校购进甲种篮球个，则购进乙种篮球个．
由已知，得.解得．
又，∴．
设购进甲、乙两种篮球学校花的钱为元，
则，
∴当时，取最小值，花最少钱为2990元．花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个．
（3）设购买跳绳根，毽子个，则，．
解得．
∵为正整数，
∴有28种进货方案．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答问题．
22、x1＝10，x2＝﹣1．
【分析】用因式分解法即可求解.
【详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，
（x﹣10）（x+1）＝0，
∴x﹣10＝0或x+1＝0，
∴x1＝10，x2＝﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
23、（1）见解析；（2）
【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可．
（2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．
（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长；
所以
【点睛】
本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键．
24、（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.
【详解】解：(1)、①如图，连接BD， ∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB， ∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC， ∵OC=OA
∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB
∴∠ACE=∠ECB
∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，
∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°， OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
考点：(1)、勾股定理；(2)、直线与圆的位置关系.
25、（2）y＝﹣x2+2x+2；（2）点P的坐标为（0，2+）；（2）MD2＝n2﹣n+3；点M的坐标为（ ，）或（，）．
【分析】（2）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥x轴于点F，根据旋转的性质及同角的余角相等，可证出△ODP≌△FED（AAS），由抛物线的解析式可得出点D的坐标，进而可得出OD的长度，利用全等三角形的性质可得出EF的长度，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出DF，OP的长，结合点P在y轴正半轴即可得出点P的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出m2﹣2m＝2﹣n，根据点D，M的坐标，利用两点间的距离公式可得出MD2＝n2﹣n+3，利用配方法可得出当MD2取得最小值时n的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出当MD2取得最小值时点M的坐标．
【详解】（2）将A（﹣2，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2．
（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．
∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，
∴∠OPD＝∠FDE．
在△ODP和△FED中，，
∴△ODP≌△FED（AAS），
∴DF＝OP，EF＝DO．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣2）2+3，
∴点D的坐标为（2，0），
∴EF＝DO＝2．
当y＝2时，﹣x2+2x+2＝2，
解得：x2＝2﹣（舍去），x2＝2+，
∴DF＝OP＝2+，
∴点P的坐标为（0，2+）．
（2）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，
∴n＝﹣m2+2m+2，
∴m2﹣2m＝2﹣n．
∵点D的坐标为（2，0），
∴MD2＝（m﹣2）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+2+n2＝2﹣n+2+n2＝n2﹣n+3．
∵n2﹣n+3＝（n﹣）2+，
∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+2＝，
解得：m2＝，m2＝．
∴MD2＝n2﹣n+3，
当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值以及两点间的距离公式，解题的关键是：（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征求出OP的长；（2）利用两点间的距离公式结合二次函数图象上点的坐标特征，找出MD2＝n2﹣n+3．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）tan∠ACD＝2﹣．
【分析】（1）根据BM为切线，BC平分∠ABM，求得∠ABC的度数，再由直径所对的圆周角为直角，即可求证；
（2）根据三角形相似的判定定理证明三角形相似，再由相似三角形对应边成比例，即可求证；
（3）由图得到∠ACD＝∠ABD，根据各个角之间的关系求出∠AFD的度数，用AD表达出其它边的边长，再代入正切公式即可求得.
【详解】（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，
∴∠ABM＝90°，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠ABM＝45°
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴AC＝BC
∴△ACB是等腰直角三角形；
（2）如图，连接OD，OC
∵DE＝EO，DO＝CO
∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD
∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD
∴△EDO∽△ODC
∴
∴OD2＝DEDC
∴OA2＝DEDC＝EODC
（3）如图，连接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于点F，
∵DO＝BO
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO，
∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO+∠ODB＝3∠ODB，
∴∠ODB＝15°＝∠OBD
∵∠BAF＝∠DBA＝15°
∴AF＝BF，∠AFD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∴AF＝2AD，DF＝AD
∴BD＝DF+BF＝AD+2AD
∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝＝2﹣
【点睛】
本题考查圆的切线、角平分线的性质，相似三角形的性质以及三角函数中正切的计算问题，属综合中档题.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
