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第一章 常用逻辑用语
1、命题定义：
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2、命题的构成――条件和结论
定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
3、命题的分类――真命题、假命题的定义．
真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
4、充分条件，必要条件的定义
若，则是的充分条件，是的必要条件．
若，则是的充要条件（充分必要条件）．
若pÞq ,但q　¹>　p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p¹>q，但q　Þ　p，则称p是q的必要但不充分条件；
若p¹>q，且q　¹>　p，则称p是q的既不充分也不必要条件
５．四种命题
原命题：若P，则q．
逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若，则”，它的逆命题为“若，则”.
否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.
若原命题为“若，则”，则它的否命题为“若，则”.
6、四种命题的真假性：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
真
假
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、全称量词与存在量词
短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．
全称命题P：
它的否定￢P：
特称命题P：
它的否定￢P："x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。
8、逻辑联结词
用联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、都是真命题时，是真命题；当、两个命题中有一个命题是假命题时，是假命题．
用联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，记作．
当、两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当、两个命题都是假命题时，是假命题．
对一个命题全盘否定，得到一个新命题，记作．
若是真命题，则必是假命题；若是假命题，则必是真命题．

第二章 空间向量与立体几何
1、 空间向量：
空间中具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
2、共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
3、共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。
4、向量与平面平行：

已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
5、共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
6、空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
7、向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
8、向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
9、空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
10、空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
11、常用的结论
若，为非零向量，为单位向量，则有
；
；
，，；
；
．
12、空间向量的坐标表示
设a =是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量
i + j+k
或 a = ax i + ayj + azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a ＝ {ax，ay，az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为终点为的向量可以表示为

向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影。
13、空间向量基本定理：
如果向量是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在一组实数，使得。
空间中不共面的三个向量叫作这个空间的一个基底。
14、向量运算的坐标表示
设，即，
则
u 加法：
u 减法：
u 乘数：
u 或

u 平行：若a≠0时，向量相当于，即

也相当于向量的对应坐标成比例即
15、向量的模坐标表示式

16、方向余弦的坐标表示式
由性质1知，当时，有

u 任意向量的方向余弦有性质：
u 与非零向量a同方向的单位向量为：

17、利用向量证明平行
(1) 线线平行（面面平行）方法：
(2) 线面平行方法：利用共面向量定理，如果两个向量、 不共线，则向量 与向量、共面的充要条件是存在实数对x,y，使=x+y．
18、利用向量证明垂直
若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则
19、利用向量求角
（1）异面直线所成角：
向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线a和b的夹角.

（2）直线和平面所成的角
（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
（3）求二面角的大小。
方法1：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）．
方法2：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角．
方法3：（法向量法）、分别是平面和平面的法向量，那么<，>(或者其补角)与二面角-l-的大小相等。
20、利用向量求距离
（1）点到平面的距离
方法1：直接作出距离，然后用向量进行计算．
A
B
C
D

方法2：已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量，
则到平面的距离=.
（2）两条异面直线距离：
方法：、为异面直线，、间的距离为：.
其中与、均垂直，、分别为两异面直线上的任意两点
第三章 圆锥曲线与方程
1、椭圆
（1）椭圆的第一定义
把平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的集合叫做椭圆．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距。
（2）椭圆的标准方程
焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
（3）椭圆的简单几何性质
①范围：由椭圆的标准方程可得，，进一步得：，同理可得：，即椭圆位于直线和所围成的矩形框图里；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率（）， ；
（4）椭圆的第二定义
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为
2、抛物线
（1）抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线（不过F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.
（2）抛物线的标准方程与性质

3双曲线
（1）双曲线的第一定义
把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的集合叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．
（2）椭圆的标准方程
焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程．
焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
（3）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④焦点：F1(-c,0),F2(c,0)
⑤渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
⑥离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
（4）双曲线第二定义:
当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线的距离之比是常数时,这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。

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