第四十二讲多元函数的概念.doc

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第四十二讲 多元函数的概念
二元函数的极限和连续性

重点:多元函数的概念
难点；二元函数的极限

一、多元函数的概念
在很多自然现象以及实际问题中,经常会遇到多个变量之间的依赖关系.
例1 长方形的面积与它的长，以及宽有关系式
。
、、是三个变量，当、在一定范围（、)内取定一对数值时，根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应。
例2 设是电阻、并联后的总电阻,由电学知识知道，它们之间具有关系
。
、、是三个变量，当、在一定范围（、)内取定一组数值时，根据给定的关系，总电阻就有一个确定的值与之对应。
例3 长方体的体积和它的长度、宽度、高度之间有关系式

、、、是四个变量，当、、在其变化范围(、、）内取定一组数值时,根据给定的关系，体积就有一个确定的值与之对应。
撇开上述例子的具体意义,仅从数量关系来研究，它们有共同的属性,抽出这些共性就可得出以下二元函数的定义。
1．二元函数的定义
定义 设有三个变量、和。如果当变量、在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的规律总有确定的数值与它们对应，则称是、的二元函数，记为
。
其中、称为自变量，为因变量。自变量、的取值范围称为函数的定义域，常用字母来表示。
二元函数在点处的函数值，记为
，或，或。
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数.我们把多于一个自变量的函数统称为多元函数。例如，例1、例2中得到的函数是二元函数，例3中得到的函数是三元函数。
2．二元函数的定义域
同一元函数一样,确定二元函数的两个要素是定义域和对应法则。对于实际问题中的二元函数，其定义域是根据问题的实际意义来确定；对于用算式表示的二元函数，其定义域就是使算式有意义的自变量的全体。
二元函数的定义域比较复杂,可以是整个坐标平面，也可以是坐标平面上的一条曲线，也可以是由坐标平面上若干条曲线所围成的部分平面等。整个坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域.围成区域的曲线称为该区域的边界。不包括边界的区域称为开区域；连同边界在内的区域称为闭区域。如果一个区域可以可以包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内,则称此区域为有界区域；否则称为无界区域。一个区域内部的点称为内点,而边界上的点称为边界点。
如同区间可以用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组表示.
例4 求下列函数的定义域,并画出区域的图形。
（1)；(2）.

一般地，由曲线、、直线和直线所围成的曲边梯形（称为X型区域）如图9—3.可用不等式组来表示
。
由曲线、、直线和直线所围成的曲边梯形（称为Y型区域）如图9-4。可用不等式组来表示
.

例6 设由直线,，围成，用不等式组来表示区域。
例7 画出不等式组所表示的平面区域的图形.
3．二元函数的几何意义
一般地,一元函数表示平面上的一条曲线；二元函数表示空间中的一张曲面，定义域就是曲面在xy面上的投影区域。事实上,设是二元函数的定义域内的任意一点，相应的函数值，于是，有序数组、、确定了空间一点。当点P在内变动时，对应的点就在空间变动，一般地形成空间中的一张曲面，我们称它为二元函数的图形（图9—7）.

例如,函数（)的图形是球心在坐标原点、半径为的上半球面（图9—8）。
二、二元函数的极限
在一元函数中，我们讨论了当自变量趋向于有限值时函数的极限.对于二元函数，同样可以讨论当自变量x与y趋向于有限值与时，对应的函数值的变化趋势，这就是二元函数的极限问题.
定义 设二元函数在点的附近有定义(点可以除外）。如果当点无限地趋向于点时,函数值总趋向于一个确定的常数A，则称A为函数当®时的极限，记为
或或.
二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多。在一元函数的极限定义中，点只是沿轴趋向于点，但二元函数的极限定义中，要求xy坐标平面的点 以任意方式趋向于点。如果点以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限趋于某一确定值，我们也不能断定函数极限就一定存在.但是反过来,如果当点以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，那么我们就可以断定这函数的极限不存在.
例8 求。
例9 考察函数

当®(0,0)时的极限。

三、二元函数的连续性
与一元函数连续的定义类似，下面我们给出二元函数连续的定义.
定义 设函数在点及其附近有定义，如果当点趋向于点时，函数的极限存在，且等于它在点处的函数值，即

则称函数在点处连续。
若令，，，称为函数的全增量。极限可以改写成=0.因此，二元函数连续的定义又可表述为
定义 设函数在点及其附近有定义，若当自变量、的增量、趋向于零时，对应的函数的全增量也趋向于零，即

则称函数在点处连续。
与闭区间上一元函数的性质类似,在闭区域上二元函数也有类似的性质.
性质1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值。
性质2(介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值.
以上关于二元函数极限与连续的讨论完全可以推广到三元及三元以上的函数。