数学物理方程第二章分离变量法word版.doc

第五讲
补充常微分方程求解相关知识.

第二章 分离变量法
l 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。
l 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数
l 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题
l 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题,情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数,一般来说,很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题

(第六讲)

§2。1 有界弦的自由振动

什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。

定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为

分析：
1. 方程和边界条件都是齐次的，求这样的问题可用叠加原理。
2. 我们知道，在解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解,而后用定解条件定出叠加系数。
启发：能否运用类似求常微分方程定解问题的方法求偏微分方程？也既是能否先找出满足齐次方程及齐次边界条件的足够多的特解,再用其作线性组合使其满足初始条件。

由分析,我们现在试求方程的变量分离形式：

的非零解。

l 将代入方程，可得

此式中，左端是关于的函数，右端是关于的函数。因此，左端和右端相等,就必须等于一个与无关的常数.设为，则有

l 将边界条件代入得

此时，必有

这就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的第一步：分离变量
l 目标:分离变量形式的解
l 结果：得到函数满足的常微分方程和边界条件以及满足的常微分方程，

l 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的

现在我们求解函数满足的常微分方程定解问题。我们发现:方程中含有待定常数，定解条件是齐次边界条件,与一般的常微分方程的初值问题不同:
l 并非对任一的，都有既满足齐次方程有满足边界条件的非零解；
l 只有当取某些特定值时，才有既满足方程又满足边界条件的非零解.
有非零解的称为该问题的特征值
相应的非零解称特征函数
而满足的常微分方程的定解问题称特征值问题.

第二步：求解特征值问题
1) 若，方程的通解形式为

由定解条件知，从而，不符合要求.
2) 若,方程的通解形式为

由边界条件知,从而，不符合要求。
3) 若,方程的通解形式为

代入边界条件得

从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数

第三步：求特解,并叠加出一般解

求解了特征值问题后，将每特征值代入函数满足的方程可得出相应的解

因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的特解

注:
l 这样的特解有无穷多个
l 每个特解都满足齐次方程和齐次边界条件
l 一般来说，单独任何一个特解不可能恰好满足定解问题的初始条件，即无法找到满足
。
l 把全部特解叠加起来

我们知，只要级数收敛，并且二次可微,则也满足齐次边值问题。
下面选择合适的使满足初始条件，即

第四步：运用特征值函数的正交性定叠加系数
事实上，我们知道

补充内容：f(x)的傅里叶级数

其中

总结：利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤：
第一步：分离变量
这一步所以能够实现，先决条件使偏微分方程和边界条件都是齐次的。而分离变量的结果是得到含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件，即特征值问题；
第二步：求解特征值问题；
第三步：求出全部特解，并进一步叠加出一般解（形式解）；
第四步:利用特征函数的正交性确定叠加系数.

（第七讲）
严格来说，上面得到的还是形式解,对于具体问题，还必须验证：
1) 这样得到的是否满足偏微分方程,换句话说，级数解是否可以逐项求二阶导数；
2) 是否满足边界条件,即是否连续；
3) 确定系数时，逐项积分是否合理。
关于上三个问题,都涉及到级数解的收敛性，由于系数都是由决定的，因而的性质就决定了上三个问题的回答。可以证明若三次可微,二次可微，，则问题解存在，且此解可用上面的级数形式给出（见复旦大学《数学物理方程》)。

从理论上讲,分离变量法之所以成功,要取决于下列几个条件：
1) 特征值问题有解；
2) 定解问题的解一定可以按照特征值函数展开，也既是说，特征值函数是完备的；
3) 特征值函数一定具有正交性。
以后适当回答这些问题。

解的物理意义
先看特解

其中。
l 代表一个驻波
驻波：频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波；上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。
l 表示弦上各点的振幅分布
l 是振动的固有频率,称为弦的固有频率或特征（本征）频率
l 为初相位，由初始条件决定
l 在的各点上，振动振幅恒为零，称为波节（节点)，包含两个端点共有个节点
l 在的各点上,振幅绝对值恒为最大，称为波峰（腹点），共有n个
l 满足定解问题的级数解则是这些驻波的叠加，因此也称分离变量法为驻波法
l 就两端点固定的弦来说，固有频率中有一最小值，即，称为基频,其他频率都是其倍数，称为倍频。

实际例子：
l 弦的基频决定了声音的音调.在弦乐器中，当弦的质料一定时，可以通过改变弦的绷紧程度，调解的大小.
l 的相对大小，决定了声音的频谱分布,即决定了音色。
l 和数与弦的能量成正比，决定了声音的强度。

分离变量法举例
例题1。 有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微小横振动的位移.
解：设位移为，它的定解问题

的解。给定，显然，这个问题的傅立叶级数解可由

给出，其系数为

因此，所求的解为

例题2. 解定解问题

解：运用分离变量可得

将边界条件代入可得

相应的特征值问题

重复前面的解法,知当时，特征值问题有解，此时通解形式为

代入边界条件得

从而求得一系列特征值和特征函数

与这些特征值相对应得的通解表示为

于是,所求定解问题的形式解可表示为

利用初始条件确定其中的系数得

故所求的解为

（第八讲)
§2.2 有限杆上的热传导

定解问题:一均匀细杆，长为，两端坐标为。杆的侧面绝热，且在端点处温度为零，而在处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题：

仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2。1中步骤，设，代入上面的方程可得

从而可得通解

由边界条件知

从而

令

上方程的解可以看作曲线,交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根

于是得到特征值问题的无穷个特征值

及相应的特征函数

再由方程， 可得
，
从而我们得到满足边界条件的一组特解

由于方程和边界条件是齐次的，所以

仍满足此方程和边界条件.
下面研究一下其是否满足初始条件.

可以证明在区域［0，l]上具有正交性，即

证明:

完成。

令

于是，

从而得到定解问题得解
。

§2。3 圆域内的二维Laplace方程的定解问题

平面极坐标和直角坐标的关系是

由此可得

即是

由复合函数求导法则,可得

进一步，可得

在此基础上，还可以得到柱坐标系下的Laplace算符

（第九讲）
考虑圆域内的稳定问题：

其在极坐标下的表示形式：

因圆域内温度不可能为无限，尤其是在圆盘中心点的温度应该有限，并且表示同一点，故而我们有下约束

下面用分离变量法求解该问题.令 代入极坐标下方程可得：

从而可得常微分方程

由有限性及周期边界条件知
，
从而得定解问题

求解：
① 时,通解为

由周期边界条件可得 从而，不可取。
②时，通解为

由周期边界条件可得 B任意，说明为一特征值，相应得特征函数为
。
③时，通解为

因以为周期,所以有 从而可得特征值

特征函数为

接下来,求特解，并叠加出一般解。由Euler方程

若令，即，则上方程可写为

故① 时，通解

②时，通解为

为保证，所以可得,即

从而，满足齐次方程和周期条件及有限性的解可以表示为级数

最后，为了确定系数，我们利用边界条件可得

运用性质

从而可得

因而，我们有

利用下面的求和公式

所以，

称此表达式为圆域内的Poisson公式，它的作用是把解写成积分形式，便于作理论上的研究.

例题 解下列定解问题：

解：利用公式可知， 所以。
（第十讲）
Laplace变换法

定义：函数当时有定义，当s属于某区间内时广义积分收敛,则由此积分确定的函数称为的Laplace变换。记，同时把称为的逆Laplace变换，记为。

性质：
1． 线性性质：a,b为常数,则对,的拉氏变换同时存在的s有

2． 若则
3． 微分性质：设在区间上连续，其导数是分段连续的，且存在常数M，,使得 ，对于。则对任，拉氏变换存在，且 。
更一般的形式
4． 积分性质：设在区间上连续，其导数是分段连续的，且存在常数M，，使得 ，对于。则对任，则有
5． 设在区间上连续，其导数是分段连续的，且存在常数M,，使得 ，对于,。则对任,则有,更一般的是
6． 设在区间上分段连续的,且存在常数M，，使得 ，对于，且存在，则对任，
7． 卷积性质:设，在区间上分段连续的，且存在常数M，，使得 ，则对任，卷积的拉氏变换存在且
8． 平移性质：若对存在,则对于,则

其中 为Heavivide函数。
一些常见函数的Laplace变换：
1）;
2） ；
3） ;
4） ;
5) ；
6)
7)
8）
9)

§2。4 非齐次方程的解法

分离变量法成功的关键是：方程和边界条件都是齐次的。
若方程非齐次的，边界条件为齐次的,能否运用分离变量法？若能,如何求解？

下面以弦的强迫振动为例,来讨论非齐次方程的解法.
问题模型：两端固定的弦,受强迫力作用产生振动现象。其定解问题如下:
（1）
此情况下,弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，因此,振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动.
启发：可设解为

其中表示仅强迫振动的位移，满足
（2）
而表示纯初始状态引起的振动位移，满足
（3)
注：不难验证，只要为(2)的解,为（3）的解,则必为(1）的解。
问题（3）由分离变量法很容易求解，因此(2）的求解是关键.下面讨论如何求解纯强迫振动问题的解.
思路：类似于线性非齐次常微分方程中常用的常数变易法（补充线性非齐次常微分方程的求解)，希望问题（2)的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形由相应的齐次方程通过分离变量所得的特征值问题的特征函数所决定，既解有形式：（运用对应齐次问题的特解的线性组合去构造非齐次问题的特解）
（4)
其中为待定系数。为确定，我们将自由项也按特征函数展开
(5）
将（4）和（5）代入问题（2）的方程得

由此得

再将（4）代入初始条件得

因此确定只需求解如下定解问题
（6)
用Laplace变换法(或参数变易法）解出（6），得

所以
,
将此解与问题（3）的解加起来就得定解问题（1）的解。

注：
l 求解上面的非齐次方程的方法称为特征函数法，其实质就是将方程自由项及解都按齐次方程所对应的一族特征函数展开。
l 该方法也适用于其他类的齐次边界问题。

（第十一讲)
例：在环型域内求解下定解问题
(7）
解:因解域为环形区域，故可选平面极坐标系，利用平面极坐标和直角坐标的关系

则上问题可表示为
（8）
此方程为非齐次方程附有齐次边界条件。用特征函数法求解。由§2.3节中得到关于圆域内laplace方程对应的特征函数，可令问题(8）的解为

代入(8)中方程可得

比较两端系数可得
(9）
再由（8)的条件可得
（10）
（9)中第二、三个方程都是齐次的Euler方程,其通解为

由边界条件（10）可得

下面求。因（9）第一方程为非齐次Euler方程,首先用待定系数法可求的其一特解
,
从而，他的通解为
，
由条件(10）第一式,可得

所以

故
.

(第十二讲）
§2。5 非齐次边界条件的处理

前面讨论的定解问题，无论方程是齐次还是非齐次的，边界条件都是齐次的，对于边界条件为非齐次的如何处理？
原理:将边界齐次化。
下以波动方程的定解问题为例说明.考虑如下定解问题：
(1）
为应用分离变量法，设法作一代换将边界条件齐次化，为此令
(2)
适当选择，使得的边界条件化为齐次的,即
（3）
因此，由（1）和(2)可知，满足
(4)
所以只要找到满足（4）就达到目的。对于这样的有很多选法,例如取其为一次式，即

要满足（4），则可得

从而

这样只要作代换
（5)
就能使得满足齐次边界条件，即有
（6）
显然（6）可以用特征函数法求解.

注：
1． 上面选择一次式,是因为简单易求,可以有别的形式；
2． 若f,u1，u2与t无关，则可选适当的使得满足的方程和边界条件都是齐次的，减少求解的工作量。(见例1)
3． 此方法对其他类边界条件依然成立，只不过是表达式不同而已。

分离变量法总结：
一、 根据边界形状选择适当的坐标系，原则是使此边界条件表达式最简单化，如圆，环，扇型用极坐标系,柱或球用柱坐标系和球坐标系；
二、 若边界条件非齐次，则无论方程是否齐次先将边界条件齐次化；
三、 齐次方程直接用分离变量法求解；非齐次方程用特征函数法求解.

例1． 求定解问题

解：方程和边界条件都是非齐次的，故应先将边界条件齐次化.由A，B与t无关，则可以经过一次代换将边界和方程都化成齐次的。做法如下：令

代入方程可得

为使方程和边界齐次化，令

求解可得

下面用分离变量法求满足

由§2.1可知

由初始条件知，
，
从而有

所以