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(完整版)一次函数题型(含解析) 一次函数 典型例题精讲分析（解析归纳)类型一:正比例函数与一次函数定义1、当m为何值时,函数y=（m-2)x+(m-4)是一次函数? 思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k0解：函数y=-（m-2)x+（m-4)是一次函数， m=2.当m=-2时，函数y=-（m-2）x+（m4）是一次函数举一反三：【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）。Am=2或m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1【答案】：考虑到x的指数为1，正比例系数k0，即m1|=1；m-20,求得m=0，选C【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1)写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时,求y的值;（3)当y=4时，求x的值解析:(1)由于y3与x成正比例，所以设y3=kx把 x=2，y=7代入y-3=kx中，得7-32k, k2 y与x之间的函数关系式为y3=2x,即y=2x+3 (2)当x=4时，y=24+3=11 （3）当y4时，4=2x+3，x=。类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1）,且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式 思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点(2,1）代入，求出b即可解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b,图象经过点（ 2,1）， l=22+b b=5，所求一次函数的表达式为 y=2x-5。总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法,具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。举一反三：【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm,求这个一次函数的表达式分析：题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7。2求出k，b即可解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b由题意可知，当 x=0时,y=6；当x=4时,y=7.2。把它们代入y=kx+b中得这个一次函数的表达式为y=0。3x+6【变式2】已知直线y=2x+1（1)求已知直线与y轴交点M的坐标；（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称,求k，b的值解析：直线 y=kx+b与y=2x+l关于y轴对称，两直线上的点关于 y轴对称又直线 y2x+1与x轴、y轴的交点分别为A（,0），B（0，1）,A（-，0），B(0，1）关于y轴的对称点为A（，0），B（0，1）直线 y=kx+b必经过点A(,0),B（0,1)把 A(，0）,B(0，1）代入y=kx+b中得k2，b1所以（1）点M（0，1）（2)k=-2,b=1【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4,2）是否在同一条直线上分析:由于两点确定一条直线,故选取其中两点,求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b由题意可知,过A，B两点的直线的表达式为y=x-2当 x=4时，y=42=2点 C(4，2）在直线y=x2上三点 A(3，1), B（0，-2）,C(4，2）在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE)描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s（km)和行驶时间t（h)之间的函数关系,根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）汽车共行驶了_ km；(2）汽车在行驶途中停留了_ h；(3）汽车在整个行驶过程中的平均速度为_ km/h；（4)汽车自出发后3h至4。5h之间行驶的方向是_。思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言.图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程,横轴代表行驶时间,纵轴代表汽车的位置.图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了1202=240（千米），整个过程用时4.5小时，平均速度为2404。5= (千米/时)，行驶途中1。5时-2时之间汽车没有行驶.解析：（1）240； (2)0。5； (3) ； （4)从目的地返回出发点。总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别。本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间。举一反三：【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。 解析：比较相同时间内,路程s的大小.在横轴的正方向上任取一点，过该点作纵轴的平行线,比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小.所以.甲比乙快【变式2】小高从家骑自行车去学校上学,先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D。20分钟【答案】:D 分析：由图象可知,上坡速度为80米/分；下坡速度为200米/分;走平路速度为100米/分。原路返回，走平路需要8分钟，上坡路需要10分钟,下坡路需要2分钟，一共20分钟。【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示： 根据图象解答下列问题:（1)洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升. 求排水时y与x之间的关系式； 如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。分析:依题意解读图象可知：从04分钟在进水，415分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水。解：（1）洗衣机的进水时间是4分钟；清洗时洗衣机中的水量是40升；（2)排水时y与x之间的关系式为:y=4019(x15) 即y=-19x+325 如果排水时间为2分钟,则x-15=2即x=17，此时，y=40192=2。 所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2升。类型四：一次函数的性质4、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0）,交y轴于点B，且AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b)，则OB=，由AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值解析:直线y=kx十b与y轴交于点B（0,b），点A在直线上，则，由，即，解得代入，可得,由于y随x的增大而增大,则k0，取则总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件.举一反三：【变式1】已知关于x的一次函数（1)m为何值时，函数的图象经过原点？（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，2）?（3）m为何值时，函数的图象和直线y=x平行?（4）m为何值时，y随x的增大而减小？解析:（1)由题意,m需满足， 故 m=3时，函数的图象经过原点；（2）由题意得：m需满足， 故 时,函数的图象经过点（0,2）;（3）由题意,m需满足， 故 m=4时，函数的图象平行于直线y=x；（4）当3m0时，即m3时，y随x的增大而减小【变式2】 若直线(）不经过第一象限，则k、b的取值范围是_，_【答案】：（k0；b0）;分析：直线不经过第一象限,有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。【变式3】直线l1：与直线l2：在同一坐标系中的大致位置是（ ) A BC D【答案】：C;分析:对于A，从l1看 k0，b0,从l2看b0，k0，所以k,b的取值自相矛盾，排除掉A。对于B,从l1看 k0,b0，从l2看b0，k0,所以k，b的取值自相矛盾，排除掉B。D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求。【变式4】函数在直角坐标系中的图象可能是( ）【答案】：B；分析：不论k为正还是为负，都大于0，图象应该交于x轴上方。故选B类型五:一次函数综合5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1）,C（1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。（1）求OAB的度数及直线AB的解析式；（2)若OCD与BDE的面积相等，求直线CE的解析式;若y轴上的一点P满足APE=45，请直接 写出点P的坐标.思路点拨:(1）由A，B两点的坐标知，AOB为等腰直角三角形，所以OAB=45（2)OCD与BDE的面积相等，等价于ACE与AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0，0）时，APE=45.解析:(1)A(1,0），B（0，1)， OA=OB=1,AOB为等腰直角三角形 OAB=45 设直线AB的解析式为：y=kx+b,将A（ 1，0），B(0，1）代入， 解得k=1，b=1 直线AB的解析式为：y=-x+1 （2) 即 ，将其代入y=-x+1，得E点坐标（） 设直线CE为y=kx+b，将点C（1,0）,点E(）代入 ，解得k=b= 直线CE的解析式： 点E为等腰直角三角形斜边的中点 当点P（0,0）时，APE=45.总结升华：考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难,往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题.举一反三:【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按ABCD的方向向点D运动(但不与A,D两点重合)。求APD的面积y(）与点P所行的路程x(cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。【答案】：当P点在AB上运动时，当P点在BC上运动时，当P点在CD上运动是，【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F,点E的坐标为(8,0），点A的坐标为（-6，0）。（1）求的值；（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点,在点P的运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;（3)探究：在（2)的条件下,当点P运动到什么位置时,OPA的面积为，并说明理由。解：（1)将E（8，0）代入，得;(2）设P点坐标为（） S= （8x0)（3)令,解得, 代入,算出P点纵坐标为 当P点的坐标为时,OPA的面积为7