上海市虹口区2019届高三一模数学卷word版(附详细答案).pdf

虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 1 页PBQCO图 图 11图 图 图A虹口区 2018 学年度第一学期教学质量监控测试1.计算153lim_.54nnnnn2.不等式的解集为_.21xx3设全集则_ 3,2,1,0,1,2log(1),URABx yx 若，UAB 4.设常数若函数的反函数的图像经过点，则_.,aR 3logf xxa2,1a 5.若一个球的表面积为 则它的体积为_.4,6.函数的值域为_.8()f xxx(2,8)x7二项式的展开式的常数项为_ 62xx8.双曲线的焦点到其渐近线的距离为_.22143xy9.若复数=（为虚数单位），则的模的最大值为_.zsin1cosiiiz10.已知 7 个实数依次构成等比数列，若从这 7 个数中任取 2 个，则1,2,4,a b c d它们的和为正数的概率为_.11.如图，已知半圆的直径 是O4,AB OAC等边三角形，若点是边（包含端点）上的PAC,A C动点，点在弧上，且满足 则QABC,OQOPOP BQuur uu u r的最小值为_.12.若直线与曲线恰有两个公共点，则实数 的取值范yk x2log(2)21xyxk围为_.二、选择题二、选择题（本大题共本大题共 4 4 题，满分题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5 分，否则一律零分分，否则一律零分.13.已知则“”是“”的 （,xR1233x 1x）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 2 页图 图 17图 图 图DACOBP14关于三个不同平面与直线，下列命题中的假命题是 (),l（A）若则内一定存在直线平行于,（B）若不垂直，则内一定不存在直线垂直于 与（C）若 则,l，l（D）若则内所有直线垂直于,15已知函数 若函数恰21,1,()1,(),11,1,1,xf xaxxg xxxx ()()yf xg x有两个零点，则实数 的取值范围为 （a）（A）（B）(0,)(,0)(0,1)（C）（D）1(,)(1,)2(,0)(0,2)16已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线E2:2(0)C ypx pF的C焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（PCEFPsinsinEFPFEP）（A）（B）（C）（D）223223三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤要的步骤.17(本题满分本题满分 1414 分分)本题共本题共 2 小题，第小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分.在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为 4，点是底面直径所对弧的中点，点是母线CABDPA的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线与所成角的大小.ABCD18（本（本题满分题满分 14 分）本题共分）本题共 2 小题，第小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分已知函数是定义在 R 上的奇函数.16()1(0,1)xf xaaaa 虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 3 页ABCDP图 图 19图 图 图 (1)求实数的值及函数的值域；a fx (2)若不等式 上恒成立，求实数 的取值范围.331,2xt f xx在t19(本题满分本题满分 1414 分分)本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分分.某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界ABCD2()3(),1().ABADk mBCk m CDk m，(1)求的长及原棚户区建筑用地的面积；ACABCD（2）因地理条件限制，边界不能变更，而,AD DC边界可以调整，为了增加棚户区建筑用地的面,AB BC积，请在弧 上设计一点使得棚户区改造后的AABC,P新建筑用地（四边形四边形）的面积最大，并求出这APCD个面积最大值.20（本题满分（本题满分 16 分）本题共分）本题共 3 小题，第小题，第 1 小题小题 5 分，第分，第 2 小题小题 5 分，第分，第 3 小题小题 6 分分.设椭圆点为其右焦点，过点的直线与椭圆相交于点22:1,2xyFF,.P Q(1)当点在椭圆上运动时，求线段的中点的轨迹方程；PFPM(2)如图 1，点 R 的坐标为（2，0），若点 S 是点关于轴的对称点，求证：点Px,Q S R共线；(3)如图 2，点 T 是直线上的任意一点，设直线的斜率分别为:2l x,PT FT QT,PTk求证：成等差数列；,FTQTkk,PTFTQTkkkS图 图 20图 图 1图QRPy yFO Ox x l图 图 20图 图 2图QTPy yFO Ox x21.(.(本题满分本题满分 18 分分)本题共本题共 3 小题，第小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分.虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 4 页xyz图 图 17图 图 图DACOBP 对于个实数构成的集合,记.()n nN12,nEe ee12EnSeee已知由个正整数构成的集合满足:对于n12,nAa aa12(,3)naaa n任意不大于的正整数均存在集合的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于 AS,mA.m（1）试求的值；12,a a（2）求证：“成等差数列”的充要条件是“”；12,na aa1(1)2ASn n（3）若 求证：的最小值为 11；并求取最小值时，的最大值.2018AS，nnna虹口区 2018 学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2018 年 12 月 一、填空题（本大题满分一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共分）本大题共 1212 题，第题，第 1-61-6 题，每空填对得题，每空填对得 4 4 分分;第第 7-127-12 题，题，每空填对得每空填对得 5 5 分分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.15 2 3.48 5 6.1,21,2434 2,97.60 8 9.10 112 12.351247,01二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13.A 14.D 15.B 16.C 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 题，满分题，满分 7676 分）分）17(本题满分本题满分 1414 分分)本题共本题共 2 个小题，第个小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分.解：解：（1）由已知，得圆锥的底面半径为，高为，2 分2OA 2 3OP 故该圆锥的侧面积为.4 分2 48SOA PA 该圆锥的体积.6 分218 3()33VOAOP （2）以直线分别为轴,建立空间直,OC OB OP,x y z角坐标系，则相关点的坐标为，(0,2,0)A(0,2,0),B于是(2,0,0),(0,0,2 3),(0,1,3),CPD虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 5 页 10 分(0,4,0),(2,1,3).ABCD 故 42cos,.44 2 2AB CDAB CDABCD 因此异面直线与所成角的大小为 14 分ABCD2arccos.418（本题满分（本题满分 14 分）本题共分）本题共 2 小题，第小题，第 1 小题小题 6 分，第分，第 2 小题小题 8 分分解：解：（1）由是 R 上的奇函数，知()f x(0)0,f610,3.aaa解得此时故对于任意的31(),31xxf x3131,()()0,3131xxxxxRf xfx有即是 R 上的奇函数；因此实数的值为 3.()f xa4 分令则解得即函数的值域为 31(),31xxf xy130,1xyy11,y f x1,1.6 分（2）解法解法 1：由（1）知于是不等式 可化为31(),31xxf x 33xt fx 8 分2(3)(2)3(3)0.xxtt令则不等式在上33,9(1,2)xux因，2(2)(3)0utut 3,9u恒成立.设 则在上恒成立，102()(2)(3),g uutut()0g u 3,9u分等价于即(3)0.(9)0gg0(3)93(2)(3)015.15(9)819(2)(3)022tgtttgttt因此，实数 的取值范围为 14t15,.2分（2）解法解法 2：由（1）知当时，于是不等式 31(),31xxf x1,2x 0.fx 可化为 10 33xt f x 233(33)(31)(31)44(31).313131xxxxxxxxtfx分令则由函数上递增知，312,8(1,2)xvx 因，4()2,8vvv在虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 6 页ABCDP图 图 19图 图 图 故由恒成立知，实数 的取值范围为 max15()(8).2vmax()tvt15,.214 分19(本题满分本题满分 1414 分分)本题共本题共 2 小题，每小题小题，每小题 7 分分.解：解：（1）设则由余弦定理，得,ACx2222222321cos,cos.2 2 32 2 1xxBD 由四边形是圆内接四边形，得ABCD180,BD 故从而coscos0,BD3 分2222222232107,7.2 2 32 2 1xxxAC 即从而 1cos=60=120.2BBD，5 分故 11=+2 3 sin602 1 sin1202 3.22ABCADCABCDSSS 四边形答：的长为(km）,原棚户区建筑用地的面积为.AC7ABCD22 3()k m7 分 （2）解法解法 1：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.60PB 要使棚户区改造后的新建筑用地的面积更大，必须使的面积最大，即APCDAPC点到的距离最大，从而点在弦的垂直平分线上，即 PACPAC.PAPC10 分于是为等边三角形，其面积为 APC237 3().44AC12 分因此，棚户区改造后的新建筑用地面积的最大值为APCD7 37 339 3.4424ADCS即当为等边三角形时，新建筑用地的面积最大，最大值为 14APCAPCD29 3().4k m分（2）解法解法 2：由条件及“同弧所对的圆周角相等”得.60PB 设 13,(,0),sin.24APCPAu PCv u vSuvPuv则虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 7 页9 分在中，由余弦定理，有APC222224347=2cos(),433APCACuvuvPuvuvuvuvS故当且仅当时，等号成立.127 3,4APCS7uv分因此，棚户区改造后的新建筑用地面积的最大值为APCD7 37 339 3.4424ADCS即当为等边三角形时，新建筑用地的面积最大，最大值为 14APCAPCD29 3().4km分20（本题满分（本题满分 16 分）本题共分）本题共 3 小题，第小题，第 1 小题小题 5 分，第分，第 2 小题小题 5 分，第分，第 3 小题小题 6 分分.S图 图 20图 图 1图QRPy yFO Ox x l图 图 20图 图 2图QTPy yFO Ox x解：解：（1）易知设则由为线段的中点，得(1,0),F11(,),(,),M x y P x yMFP 2 分11111212.022xxxxyyyy于是，由点在椭圆上，得 ，11(,)P x y22:12xy22(21)(2)12xy即点的轨迹方程为 .5 分M22(21)82xy证：证：（2）当过点的直线与 x 轴重合时，点 P 与 S 重合，点分别为椭圆在 x 轴F,Q S的两个顶点，显然点共线.,Q S R当过点的直线与 x 轴不重合时，设其方程为F11221,(,),(,),xm yP x yQ xy且虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 8 页则由得，显然11(,),S xy221,1,2xm yxy22(2)210mymy 0.所以 12122221,22myyy ymm 于是 22221111(2,)(1,),(2,)(1,),RQxymyyRSxymyy 故 822112211,2121RQRSyyyykkxmyxmy分所以即，21121221122()0,11(1)(1)RQRSyymy yyykkmymymymyRQRSkk因此点共线.10,Q S R分证：证：（3）由是直线上的点，可设其坐标为T:2l x(2,).t当过点的直线与 x 轴重合时，有从而F(2,0),(2,0),PQ 故 1200+2,212222PTQTFTtttkkt kt2.PTQTFSkkk分当过点的直线与 x 轴不重合时，其方程为有F11221,(,),(,),xm yP x yQ xy且 11221122,212121PTQTFTytytytyttkkktxmyxmy由(2)知 于是12122221,22myyy ymm 121221121221212121222222222()(1)()(1)2(1)()211(1)(1)()122(1)24(1)222222(1)122PTQTFTytytyt myyt mymy ytmyytkkmymymymym y ym yymm tmtt mmmtkmmmmm即 2,PTQTFSkkk综合上述，得成等差数列.16 分,PTFTQTkkk虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 9 页21.(本题满分本题满分 18 分分)本题共本题共 3 小题，第小题，第 1 小题小题 4 分，第分，第 2 小题小题 6 分，第分，第 3 小题小题 8 分分.解：解：（1）由条件，知又均为正整数，故2A1S,1.A必有12naaa1=1.a分由条件，知故由的定义及均为正整数，于是A2S,AS12naaa2,A必有2=2.a 4 分证：证：（2）必要性必要性 由“成等差数列”及得123,na a aa12=1,=2aa=(1,2,).iai in此时，满足题设条件；从而1,2,3,1,Ann 7 分12112(1).2AnSaaann n 充分性充分性 由条件知，且它们均为正整数，可得12naaa(1,2,)iai in，故 当且仅当时，上式等号成立.112(1)2ASnn n(1,2,)iai in于是当时,从而成等差数列.1(1)2ASn n=(1,2,)iai in，123,na a aa因此“成等差数列”的充要条件是“”.10 分123,na a aa1(1)2ASn n证：证：(3)由于元集合的非空子集的个数为故当此时nA21,n10n 时,10211023,的非空子集的元素之和最多表示出 1023 个不同的正整数不符合要求.A,m12 分 而用 11 个元素的集合的非空子集1,2,4,8,16 32 64 128 256 512 1024M，的元素之和可以表示 2047 个正整数：1,2 32046,2047.,因此当时，的最小值为 11.14 分2018AS n当，取最小值 11 时，设由题设得2018AS n101210,Saaa10112018,Sa并且10111.Sa 虹口区 高三数学 本卷共 4 页第 10 页 事实上，若则由故10111,Sa 101111112019201821,2Saaa 11,aN111010.a此时从而时，其无法用的非空子集的元素之和表示，与题意矛盾！101008,S1009m A于是由与可得 10112018,Sa10111,Sa 101111112019201821,2Saaa 故由得 16 分11,aN111009.a当时，用的非空子集的元素11=1009a1,2,4,8,16 32 64 128 256,498,1009A，之和可以表示出 1,2,3，2017,2018 中的每一个数.因此，当时，的最小值为 11，的最大值为 1009.18 分2018AS nna