Rosenau-KdV-RLW方程的高精度线性化差分格式.pdf

基础学科Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度线性化差分格式易莉佳，陈举，胡劲松*（西华大学理学院,四川成都610039）摘要：利用有限差分方法研究一类非线性 Rosenau-KdV-RLW 方程的数值解，为进一步提高差分格式的理论精度，在时间层和空间层分别进行外推离散，构造一种新的高精度三层外推线性化差分格式。数值实验证明该差分方案是有效的，且空间层的理论精度达到四阶。关键词：Rosenau-KdV-RLW 方程；线性差分格式；收敛性；稳定性中图分类号：O241.82文献标志码：A文章编号：1673159X(2024)01010906doi：10.12198/j.issn.1673159X.4672AHighPrecisionLinearizedDifferenceSchemefortheRosenau-KdV-RLWEquationYILijia，CHENJu，HUJinsong*（School of Science,Xihua University,Chengdu 610039 China）Abstract:Inthispaper,thenumericalsolutionofaclassofnonlinearRosenau-KdV-RLWequationsisstudiedbyusingthefinitedifferencemethod.Inordertoimprovethetheoreticalaccuracyofthedifferencescheme,anewhigh-precisionthree-levelextrapolationlinearizeddifferenceschemewasconstructedbyperformingextrapolationdiscretizationinthetemporalandspatiallevelsrespectively.Numericalexperi-mentshavebeenconductedandtheresultsshowthattheschemeiseffective,andthetheoreticalaccuracyofthespatiallevelcanreachfourthorder.Keywords:Rosenau-KdV-RLWequation；thelinearizeddifferencescheme；convergence；stability1预备知识Rosenau-KdV-RLW 方程13utuxxt+uxxxxt+ux+uxxx+uux=0（1）作为非线性浅水波的一个重要模型有着广泛的应用，文献 13 研究了它的孤波解和不变量，其数值方法研究也备受关注414。本文考虑如下一类Rosenau-KdV-RLW 方程初边值问题：utuxxt+uxxxxt+ux+uxxx+uux=0,x(xL,xR),t(0,T（2）u(x,0)=u0(x)，x xL,xR（3）u(xL,t)=u(xR,t)=0,uxx(xL,t)=uxx(xR,t)=0,t 0,T（4）文献 4-5 对问题（2）（4）分别提出了拟紧致收稿日期：20230819基金项目：四川省应用基础研究项目（2019JY0387）。*通信作者：胡劲松(1973），男，教授，博士，主要研究方向为微分方程数值解。ORCID：0009000226792146E-mail：.引用格式：易莉佳，陈举，胡劲松.Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度线性化差分格式J.西华大学学报（自然科学版），2024，43（1）：109114.YILijia,CHENJu,HUJinsong.AHighPrecisionLinearizedDifferenceSchemefortheRosenau-KdV-RLWEquationJ.JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）,2024,43（1）:109114.第 43卷第 1 期西华大学学报（自然科学版）2024年1月Vol.43，No.1JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）Jan.2024uuxO(2+h4)线性格式和加权线性格式，文献 78 在时间层进行线性化离散，分别建立了新的三层和两层线性化差分格式，提高了数值求解的效率，但理论精度都只达到 2 阶。为了进一步提高数值方法的理论精度，本文在时间层对非线性项进行线性化外推离散，在空间层进行外推组合离散，从而对问题（2）（4）构造了一个理论精度为的三层线性化数值差分格式，利用离散泛函分析方法和数学归纳法不仅证明了其差分解的存在唯一性，还证明了该差分格式的收敛性和稳定性。最后数值实验证明该差分方案是有效的。2差分格式及其可解性xL,xR0,T tn=n0 n NN=Txj=xL+jh0 j Jh=xRxLJunj=u(xj,tn)Unj u(xj,tn)Z0h=U=(Uj)|U2=U1=U0=UJ=UJ+1UJ+2=0,j=2,1,0,J,J+1,J+2CC 0剖分区域，设时间步长为，；，为空间步长；记，和=。约定 是与空间步长和时间步长均无关一般常数，且，并且定义如下符号：(Unj)x=Unj+1Unjh，(Unj)x=UnjUnj1h，(Unj)x=Unj+1Unj12h，(Unj)x=Unj+2Unj24h，(Unj)t=Un+1jUnj，Un+12j=Un+1j+Unj2，Un,Vn=hJ1j=1UnjVnj，Un2=Un,Un，Un=max1jJ1?Unj?在时间层和空间层分别进行外推数值离散，对问题（2）（4）构造如下三层外推有限差分数值求解格式：(Unj)t43(Unj)xxt+13(Unj)x xt+53(Unj)xxxxt23(Unj)xx x xt+43Un+12j x13Un+12j x+32Un+12jxx x12Un+12jxx x+U1j43(U1j)xx+13(U1j)x x+53(U1j)xxxx23(U1j)xx x x=32Unj12Un1j43Un+12jbx13Un+12j x=0，j=1,2,J1；n=1,2,N1（5）u0(xj)2u0 x2(xj)+4u0 x4(xj)u0 x(xj)3u0 x3(xj)u0(xj)u0 x(xj)，j=1,2,J1（6）U0j=u0(xj)，j=0，1,2,J1,J（7）Un Z0h，n=0,1,2,N1,N（8）U Z0hU x2 U x2 Ux2?Un+1xbx?2?Un+1xx?2引引理理 115对，恒有：，。定定理理 1当取时间步长 足够小时，线性差分格式（5）（8）的数值解是唯一存在的。U0U1Un1和Unn N1证明：由式（6）和式（7）知，显然和是线性差分格式（5）（8）的数值解。现假设（）是唯一存在的，则?Un1?C,?Un?C,(n N1)（9）Un+1考虑式（5）中的未知层对应的齐次线性方程组，有1Un+1j43(Un+1j)xx+13(Un+1j)x x+53(Un+1j)xxxx23(Un+1j)xx x x+23(Un+1j)x16(Un+1j)x+34(Un+1j)xx x14(Un+1j)xx x+34Unj14Un1j43(Un+1j)bx13(Un+1j)x=0（10）Un+1以对式（10）取内积，由式（8）、式（9）和引理 1，并利用分部求和公式16，并且注意到Un+1 x,Un+1=0,Un+1 x,Un+1=0,Un+1x x x,Un+1=0,Un+1x x x,Un+1=0整理有1?Un+1?2+1?Un+1x?2+1?Un+1xx?21?Un+1?2+43?Un+1x?213?Un+1bx?2+53?Un+1xx?223?Un+1xbx?2=hJ1j=1(34Unj14Un1j)43(Un+1j)x13(Un+1j)xUn+1jChJ1j=1?(Un+1j)x+(Un+1j)x?Un+1j?110西华大学学报（自然科学版）2024年C(?Un+1 x?2+?Un+1 x?2+?Un+1?2)C?Un+1x?2+?Un+1?2即(1C)?Un+1?2+(1C)?Un+1x?2+?Un+1xx?2 0（11）(1C)0Un+1Un+1取时间步长 足够小，使得当时，关于的齐次线性方程组（10）有且仅有唯一零解，于是关于的非齐次线性方程组（6）的解是唯一存在的。从而由归纳假设知，线性有限差分格式（5）（8）的数值解是存在且唯一的。3差分格式的收敛性和稳定性将外推线性化有限差分数值格式（5）（8）的截断误差定义为：rnj=(unj)t43(unj)xxt+13(unj)x xt+53(unj)xxxxt23(unj)xx x xt+43un+12j x13un+12j x+32un+12jxx x12un+12jxx x+32unj12un1j43un+12j x13un+12j x，j=1,2,J1，n=1,2,N1（12）u1j43(u1j)xx+13(u1j)x x+53(u1j)xxxx23(u1j)xx x x=u0(xj)2u0 x2(xj)+4u0 x4(xj)u0 x(xj)3u0 x3(xj)u0(xj)u0 x(xj)+r0j，j=1,2,J1（13）u0j=u0(xj)，j=0，1,2,J1,J（14）un Z0h，n=0,1,2,N1,N（15）h,0且由 Taylor 展开公式显然有，当时?rnj?=O(2+h4)（16）u0 H2引引理理 27假设，初边值问题（2）（4）的连续解满足如下估计式：uL2C，uxL2C，uxxL2C，uLC，uxLCu0 H2hUn定定理理 2假设，若空间步长 和时间步长足够小，则外推线性化差分格式（5）（8）的数值解以范数收敛到初边值问题（2）（4）的连O(2+h4)续解，此时收敛阶为。enj=unjUnj证明证明记，用（12）（15）式减去（5）（8）式，可得rnj=(enj)t43(enj)xxt+13(enj)bxbxt+53(enj)xxxxt23(enj)xxbxbxt+43en+12jbx13en+12j x+32en+12jxxbx12en+12jxx x+P1,j+P2,jj=1,2,J1;n=1,2,N1（17）e1j43(e1j)xx+13(e1j)x x+53(e1j)xxxx23(e1j)xx x x=r0j，j=1,2,J1（18）e0j=0，j=0,1,2,J1,J（19）en Z0h，n=0,1,2,N1,N（20）其中P1,j=43un+12j x32unj12un1j43Un+12j x32Unj12Un1j，P2,j=13un+12j x32unj12un1j+13Un+12j x32Unj12Un1jhCuCr根据截断误差式（16）和引理 2 可知，存在与空间步长 和时间步长 都无关的常数和,满足?un?Cu，?unx?Cu，?rn?Cr(2+h4)，n=1,2,N1（21）再根据式（19）以及初始条件（6）可得估计式：?e0?=0，?U0?Cu（22）e1将式（18）两端与作内积，再由边界条件（20），得?e1?2+43?e1x?213?e1 x?2+53?e1xx?223?e1x x?2=r0,e1于是根据式（16）和 Cauchy-Schwarz 不等式以及引理 1 可以推出?e1?2+?e1x?2+?e1xx?2C1(2+h4)2（23）C1h其中是与 和 无关的常数。假设?el?+?elx?+?elxx?Cl(2+h4)，l=2,3,n(n N1)第1期易莉佳等:Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度线性化差分格式111Cl(l=2,3,n)h其中为与空间步长 和时间步长 都无关的常数。利用 Cauchy-Schwarz 不等式，再由离散 Sobolev 嵌入不等式16有?el?C0?el?elx?+?el?12C0(2?el?+?elx?)32C0Cl(2+h4)，l=1,2,n（24）?Ul?ul?+?el?Cu+32C0Cl(2+h4)，l=1,2,n（25）en+12以向量对式（17）两端取内积，注意到en+12x,en+12=0，en+12 x,en+12=0，en+12xxbx,en+12=0，en+12xx x,en+12=0并由离散分部求和公式16，整理得12?en?2t+23?enx?2t16?enbx?2t+56?enxx?2t13?enxbx?2t=rn,en+12P1,en+12P2,en+12（26）根据微分中值定理，结合引理 2 有un+12j x=u(xj+1,tn+tn+12)u(xj1,tn+tn+12)2h=xu(xj,tn+tn+12)，(xj1 j xj+1)，即?un+12 x?Cu，?un+12 x?Cu（27）h此时取 和 充分小，使得32C0(max0lnCl)(2+h4)1（28）于是，由引理 1、引理 2 和式（25）、式（27）、式（28），利用 Cauchy-Schwarz 不等式有P1,en+12=hJ1j=1un+12j x2enj23en1j+2Unj23Un1jen+12j xen+12jCu?en?2+13?en1?2+43?en+12?2+43Cu+32C0max(Cn1,Cn)(2+h4)?en+12 x?2+?en+12?213Cu2?en+1?2+5?en?2+?en1?2+23(Cu+1)?en+1x?2+?enx?2+?en+1?2+?en?2（29）同理可得P2,en+12 112Cu2?en+1?2+5?en?2+?en1?2+16(Cu+1)(?en+1x?2+?enx?2+?en+1?2+?en?2)（30）rn,en+12=12rn,en+1+en12?rn?2+14?en+1?2+?en?2（31）将式（29）式（31）代入式（26），整理得?en?2t+43?enx?2t13?enbx?2t+53?enxx?2t23?enxbx?2t?rn?2+12?en+1?2+?en?2+56Cu5?en?2+2?en+1?2+?en1?2+53(Cu+1)?en+1x?2+?enx?2+?en+1?2+?en?2?rn?2+13(18Cu+7)?en+1?2+?en?2+?en+1x?2+?enx?2+?en1?2（32）令Bn=?en?2+43?enx?213?en x?2+53?enxx?223?enx x?21n将式（32）两端同时乘以，从 到 递推求和，再根据引理 1 整理可得?en+1?2+?en+1x?2+?en+1xx?2 Bn+1 B1+nk=1?rk?2+n+1k=0(18Cu+7)?ek?2+?ekx?2+?ekxx?2（33）又根据式（21）、式（23）有nk=1?rk?2 n max1kn?rk?2 T(Cr)2(2+h4)2，B1=C21(2+h4)2 136Cu+14于是取时间步长 足够小，使之以满足：，对式（33）考虑离散 Gronwall 不等式16，有?en+1?2+?en+1x?2+?en+1xx?2(T(Cr)2+C21)(2+h4)2e2T(18Cu+7)，(Cn+1)2(2+h4)2，n=1,2,N1Cn+1=(TCr+C1)eT(18Cu+7)n其中为与时间层 无关的常数，从而由归纳假设可以得到en O(2+h4)，?enx?O(2+h4)，?enxx?O(2+h4)，n=1,2,N1最后再根据离散的 Sobolev 不等式16，即得?en?O(2+h4)，n=1,2,N1112西华大学学报（自然科学版）2024年u0 H2h定定理理 3假设，如果空间步长 和时间步长 充分小，那么外推线性化有限差分格式（5）（8）的数值解满足如下估计式：?Un?C0，n=1,2,NC0h这里是与时间步长 和空间步长 都无关的常数。h证明证明由定理 2 的结论，当时间步长 和空间步长 足够小时，有?Un?un?+?en?C0hUn由定理 3 可知，如果时间步长 和空间步长 足够小，外推线性化有限差分格式（5）（8）的数值解以范数关于初始值绝对稳定。4数值实验Rosenau-KdV-RLW 方程（1）的孤立行波解7为u(x,t)=35313134571213457241sech4 24572624x7213457241tu0(x)=u(x,0)xL=30 xR=120 T=40u(x,t)O(2+h4)为了验证本文外推线性化有限差分算法的可行性，取初值函数进行数值模拟求解，固定，。为了验证差分格式（5）（8）对函数数值求解时在不同范数下的理论精度为，分别定义Orderl2=log2?en(h,)?e4nh2,4?；Orderl=log2?en(h,)?e4nh2,4?h就 和 的不同取值，外推线性化有限差分格式（5）（8）的数值解在不同时刻的误差及其对理论精度的数值检验见表 1表 2。表1不同时刻数值解的误差Tab.1Errorofnumericalsolutionatdifferenttime参数=0.2,h=0.1=0.05,h=0.05=0.0125,h=0.025enenenenenent=101.03592e-14.36373e-25.53244e-32.20653e-33.08915e-41.17222e-4t=202.47213e-11.00587e-11.17523e-24.57266e-35.90764e-42.18991e-4t=304.28735e-11.71539e-11.86073e-27.17738e-38.44179e-43.15641e-4t=406.47482e-12.56223e-12.61084e-21.00219e-21.06997e-34.02045e-4O(2+h4)表2对格式的理论精度的数值模拟O(2+h4)Tab.2Numericalexampleoftheschemeontheoreticalprecision参数Orderl2Orderl=0.2h=0.1=0.05h=0.05=0.125h=0.025=0.2h=0.1=0.05h=0.05=0.125h=0.025t=104.226854.162644.305714.23447t=204.394744.314224.459274.38409t=304.526154.462184.578944.50710t=404.632254.608874.676174.63966数值结果表明，本文对初边值问题（2）（4）所提出的外推线性化有限差分数值格式（5）（8）是有效的。更为重要的是，该格式是线性的，计算时间比较节约。参考文献1RAZBOROVAP,MORARUL,BISWASA.Per-turbationofdispersiveshallowwaterwaveswithRosenau-KdV-RLWequationandpowerlawnonlinearityJ.RomJPhys,2014,59（7/8）:658676.第1期易莉佳等:Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度线性化差分格式1132 SANCHEZ P,EBADI G,MOJAVER A,et al.Solitons and other solutions to perturbed Rosenau-KdV-RLWequationwithpowerlawnonlinearityJ.ActaPhysPolA,2015,127（6）:15771586.3RAZBOROVAP,KARAAH,BISWASA.Addi-tionalconservationlawsforRosenauKdVRLWequationwithpowerlawnonlinearitybyliesymmetryJ.Nonlin-earDynamics,2015,79（1）:743748.4PANX,WANGY,ZHANGL.Numericalanalys-isofapseudo-compactC-NconservativeschemefortheRosenau-KdV equation coupling with the Rosenau-RLWequationJ.BoundaryValueProblems,2015,65:117.5 WONGSAIJAI B,POOCHINAPAN K.A three-level average implicit finite difference scheme to solveequationobtainedbycouplingtheRosenauKdVequationandtheRosenauRLWequationJ.AppliedMathematicsandComputation,2014,245:289304.6 AK T,KARAKOC S,BISWAS A.NumericalschemetodispersiveshallowwaterwavesJ.JournalofComputationalandTheoreticalNanoscience,2016,13（10）:70847092.7李佳佳,王希,张虹,等.Rosenau-KdV-RLW方程的一个两层线性化差分方法J.西南师范大学学报(自然科学版),2019,44（3）:511.LIJJ,WANGX,ZHANGH,etal.Atwo-levellin-eardifferenceschemeforRosenau-KdV-RLWequationJ.Journal of Southwest Normal University(Natural 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