资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．不论a取何正实数，函数恒过点（ ）
A. B.
C. D.
2．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则.
B.若，，则.
C.若，，则.
D.若，，则.
3．已知，，且，则的最小值为（）
A.2 B.3
C.4 D.8
4．下列各组函数中，表示为同一个函数的是
A.与 B.与
C.与 D.与且
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向左平移
6．如果，且，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7．已知函数，则
A.1 B.
C.2 D.0
8．已知向量，其中，则的最小值为（）
A.1 B.2
C. D.3
9．若且，则下列不等式中一定成立的是
A. B.
C. D.
10．当时，在同一平面直角坐标系中，与的图象是（）
A. B.
C. D.
11． “学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．要想得到函数的图像，只需将函数的图象
A.向左平移个单位，再向上平移1个单位 B.向右平移个单位，再向上平移1个单位
C.向左平移个单位，再向下平移1个单位 D.向右平移个单位，再向上平移1个单位
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____
14．若两平行直线2x+y-4=0与y=-2x-k-2的距离不大于,则k的取值范围是____
15．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________
16．已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知直线，无论为何实数，直线恒过一定点.
（1）求点的坐标；
（2）若直线过点，且与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
18．已知函数，两相邻对称中心之间的距离为
（1）求函数的最小正周期和的解析式.
（2）求函数的单调递增区间.
19．已知函数；
（1）若，使得成立，求的集合
（2）已知函数的图象关于点对称，当时，．若对使得成立，求实数的取值范围
20．设函数，函数，且，的图象过点及
（1）求和的解析式；
（2）求函数的定义域和值域
21．已知函数是定义在[-1，1]上的奇函数，且.
（1）求m，n的值；
（2）判断在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的值.
22．已知A(2,0)，B(0,2)，，O为坐标原点
（1），求sin 2θ的值；
（2）若，且θ∈(－π,0)，求与的夹角
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点
【详解】令x+1=0，可得x=-1，则
∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）
故选A
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题
2、C
【解析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断；由或相交，判断.
【详解】若，，则或，不正确；
若，，则，或相交，不正确；
若，，可得没有公共点，即，正确；
若，，则或相交，不正确,故选C.
【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
3、C
【解析】根据条件,变形后，利用均值不等式求最值.
【详解】因为，
所以.
因为，，
所以，当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为4.
故选：C
4、D
【解析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
5、B
【解析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.
【详解】解：要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.
故选：B.
6、D
【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；
对于B，若，则，错误；
对于C，若，，满足，但不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
7、C
【解析】根据题意可得，由对数的运算，即可求解，得到答案
【详解】由题意，函数，
故选C
【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，
8、A
【解析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析最小值
【详解】因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
9、D
【解析】利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.
【详解】A,a＞b且c∈R，当c小于等于0时不等式不成立，故错误；
Ba，b，c∈R，且a＞b，可得a﹣b＞0，当c=0时不等式不成立，故错误；,
C,举反例，a=2,b=-1满足a>b,但不满足，故错误；
D,将不等式化简即可得到a>b,成立，
故选D.
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及排除法的应用，属于简单题.用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法.若结果为定值，则可采用此法.特殊法是“小题小做”的重要策略.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等
10、B
【解析】由定义域和，使用排除法可得.
【详解】的定义域为，故AD错误；BC中，又因为，所以，故C错误，B正确.
故选：B
11、B
【解析】直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】因为若“学生甲在沧州市”则“学生甲一定在河北省”，必要性成立；
若“学生甲在河北省”则“学生甲不一定在沧州市”，充分性不成立，
所以“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件，
故选：B
12、B
【解析】，因此把函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位可得的图象，故选B.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出，再由函数过点求出.
【详解】，
，，解得，
则，因为函数过点，
所以，，解得
因为，所以， .
故答案为：
【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及
14、
【解析】利用平行线之间的距离及两直线不重合列出不等式，求解即可
【详解】y＝﹣2x﹣k﹣2的一般式方程为2x+y+k+2＝0，
则两平行直线的距离d
得，|k+6|≤5，解得﹣11≤k≤﹣1，
当k+2＝﹣4，即k＝﹣6，此时两直线重合，
所以k的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查了两平行直线间的距离，考查两直线平行的条件，考查计算能力，属于基础题.
15、x＋3y－5＝0或x＝－1
【解析】当直线l为x=﹣1时，满足条件，因此直线l方程可以为x=﹣1
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣2=k（x+1），化为：kx﹣y+k+2=0，
则，化为：3k﹣1=±（3k+3），解得k=﹣
∴直线l的方程为：y﹣2=﹣(x+1），化为：x+3y﹣5=0
综上可得：直线l的方程为：x+3y﹣5=0或x=﹣1
故答案为x+3y﹣5=0或x=﹣1
16、
【解析】先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.
【详解】设，
则，
所以，
在上递增，且为奇函数，
所以.
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1) (2)
【解析】（1）将直线变形为，令，即可解出定点坐标；（2）可设直线为，根据题意可得到面积为，进而解出参数值
解析：
（1）将直线的方程整理为：
，
解方程组，
得 所以定点的坐标为.
（2）由题意直线的斜率存在，设为，
于是，即，
令，得；令，得，
于是.
解得.
所以直线的方程为，即.
18、（1），
（2）
【解析】（1）根据相邻对称中心之间间隔可求得最小正周期和，由此可得解析式；
（2）令，解不等式即可得到所求单调递增区间.
小问1详解】
两相邻对称中心之间的距离为，的最小正周期，
，解得：，；
【小问2详解】
令，解得：，
的单调递增区间为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据的值域列不等式，由此求得的取值范围.
（2）先求得在时的值域，对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
的值域为，
所以，
，，
所以.所以的取值范围是.
【小问2详解】
由（1），当时，
所以在时的值域为
记函数的值域为.
若对任意的，存在，
使得成立，则
因为时，，
所以，即函数的图象过对称中心
(i)当，即时，函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，从而在上单调递增
，由对称性得，则
要使，只需，解得，所以，
(ii)当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，在上单调递减
所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，
其中，
要使，只需，解得，
(iii) 当，即时，函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
从而在上单调递减．此时
要使，只需，解得，
综上可知，实数的取值范围是
20、（1），；（2）,.
【解析】(1)根据得出关于方程，求解方程即可；（2）根据的图象过点及，列方程组求得的解析式，可得，解不等式可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得，利用对数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）因为
，；
因为的图象过点及，
所以，
；
（2）
由，得
函数的定义域为
，即的值域为.
【点睛】本题主要考查函数的解析式、定义域与值域，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.
21、（1），
（2）在上递增，证明见解析
（3）
【解析】（1）由为[-1，1]上奇函数可得，再结合可求出m，n的值；
（2）直接利用单调性的定义判断即可，
（3）由题意可得，而，然后分，和三种情况求解的最大值，使其最大值大于等于，解不等式可得结果
【小问1详解】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，∴
，
所以，经检验，该函数为奇函数.
【小问2详解】
在上递增，证明如下：
任取，
其中，，所以，
故在上递增.
【小问3详解】
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以.
当，恒成立
当时，在上递增，，
所以.
当时，在上递减，，
所以.
综上所述，
22、（1）；（2）
【解析】分析：(1) 先根据向量数量积得sin θ＋cos θ值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos θ，即得C点坐标，再根据向量夹角公式求结果.
详解：(1)∵＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，
＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，
＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－
∴sin θ＋cos θ＝，
∴1＋2sin θcos θ＝，
∴sin 2θ＝－1＝－.
(2)∵＝(2,0)，＝(cos θ，sin θ)，
∴＋＝(2＋cos θ，sin θ)，
∵|＋|＝，所以4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7，
∴4cos θ＝2，即cos θ＝.
∵－π＜θ＜0，∴θ＝－，
又∵＝(0,2)，＝，
∴cos〈，〉＝，∴〈，〉＝.
点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，通过解三角求得结果.
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