第十一讲二元函数的微分与极值.doc

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泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析 教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
2006级本科
授课题目
第十一讲　二元函数的微分与极值
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，掌握最值的求法，会利用这些理论解决生产实际的应用问题。
重
点
难
点
1．重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法；
2．难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题.

教

学

提

纲

第十一讲 二元函数的微分与极值
一、多元函数的微分
1.多元函数的极限
2、偏导数
3、全微分
二、极值与最值
1．二元函数的无条件极值
2．二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法
3．二元函数的最值
三、应用
1.曲面的切平面与法线方程
2.场论初步

教学过程与内容
教学
后记
第十一讲　二元函数的微分与极值
二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视.
一、多元函数的微分
1。多元函数的极限
, 也记作
或f （P)®A（P®P0）.
【说明】
（1)二重极限存在， 是指P以任何方式趋于时， 函数都无限接近于A.
（2）如果当P以两种不同方式趋于时， 函数趋于不同的值， 则函数的极限不存在。
例1: 设, 求证.
【证明】 因为
,
因此.
例2：讨论：函数在点(0， 0)有无极限？
【解】： 当点P（x, y)沿x轴趋于点（0, 0)时,
;
当点P (x, y)沿直线y=kx有
.
因此， 函数f(x, y）在(0， 0）处无极限。
2、偏导数

【说明】关于求导时，暂时把看成常数.
例３：验证函数满足方程。　　
【证明】 因为， 所以
, ， .　　
因此 .　　
3、全微分
如果函数z=f（x， y）在点(x， y）的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)—f（x, y）可表示为
，
　　即　　
其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f（x， y)在点（x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x， y)在点（x, y）的全微分, 记作dz, 即
dz=ADx+BDy。
【说明】
　　（１)如果函数z=f(x, y)在点（x, y）可微， 则函数在该点的偏导数、必定存在,但反过来不对；
（２）如果函数z=f(x， y)在点（x, y）可微, 则函数在该点连续；
（３)、在（x， y）存在，函数z=f(x， y)在(x, y)不一定连续
例4:讨论函数在点（0, 0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性.
【解】

函数在点(0， 0）处连续；由偏导数的定义知f x（0， 0）=0及f y(0， 0)=0;
但函数在（0， 0)不可微分,这是因为当(Dx， Dy）沿直线y=x趋于(0， 0)时,
.不趋向0。
4、偏导数的求法
（1）复合函数求导法

，
例5:
（1）,求
（2）,求
【解】(1)
（2）

（2）隐函数求导法
若函数由方程确定，方程两边关于求导，
，所以，，同理，
例6：
(1）若函数由方程确定，求。（C）
(2）若函数由方程组确定,求。
【解】（1）C
(2)方程两边关于求导
　　　　　　　解得
例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，
求　(1）；(2）记,求。
【解】(1），

（2）

(3)高阶导数
,，
例7：设函数在内具有二阶导数，且满足等式.验证。
【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得
【解】设，则
。

，
.
将代入得
　　　　　　　.
例8：设f（u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又，求
【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：,，直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用
【解】 ，
故 ,

所以
=
二、极值与最值
1．二元函数的无条件极值
（1） 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。
（2）二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，，即是驻点。
(3） 二元函数取得极值的充分条件:设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且,令，，,则
当且 A<0时，f为极大值;
当且A〉0，f为极小值;
时,不是极值点。
【注意】 当B2－AC = 0时，函数z = f （x, y）在点可能有极值,也可能没有极值，需另行讨论
例9： 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．
【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可,然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.
【解】先求函数的一、二阶偏导数:
，．， ， ．
再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组
求得驻点（0，0）、．
利用定理2对驻点进行讨论：
(1)对驻点(0， 0）,由于A = 0， B =－2， C = 2，B2－AC0,故(0, 0）不是函数z = f(x, y) 的极值点．
（2）对驻点，由于A =4， B =－2，C = 2，B2－AC =－40， 且A0，则
为函数的一个极小值．
例10:设z=z（x,y)是由确定的函数,求的极值点和极值.
【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合,计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求.
【解】 因为 ，所以
，
.
令 得
故
将上式代入，可得
或
由于 ，

，
所以 ，，，
故，又，从而点（9,3)是z(x，y）的极小值点，极小值为z(9，3)=3.
类似地，由
，，，
可知，又，从而点（—9, -3)是z(x，y)的极大值点,极大值为
z(—9， —3）= -3.
【点评】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题,关键是求可能极值点时应注意x，y,z满足原方程。
2．二元函数的条件极值
拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数

解联立方程组

得可能是在条件下的极值点
例11经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．
【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视.
【解】设所求平面方程为
．
因为平面过点,有
．
设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V, 则．
作拉格朗日函数
．
求函数L的各个偏导数，并令它们为0,得方程组：

代入解得a = b = c = 3．
由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面
x + y + z = 3．
与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为
例12求函数在在约束条件和下的最大和最小值.
【解】设
得方程组即
解得 或
得 ，
3．二元函数的最值
二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得.
例13：D是直线与坐标轴围成的三角形闭区域，求在上的最大值和最小值。
驻点。
例14:求函数在区域D上的最大值和最小值，其中: 。
【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【解】 因为 ，，解方程：
得开区域内的可能极值点为。
其对应函数值为
又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0。
当，构造拉格朗日函数

解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为
比较函数值，知f（x, y）在区域D上的最大值为8,最小值为0。
【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单.
例１5:已知函数z=f(x,y） 的全微分，并且。 求f(x,y）在椭圆域上的最大值和最小值。
【解】 由题设，知 ，,
于是 ，且 ，从而 ，
再由,得 C=2, 故
（下略)
三、应用
1.曲面的切平面与法线方程
曲面在点M0的切平面. 这切平面的方程式是
Fx（x0, y0, z0）(x—x0)+Fy(x0, y0, z0）（y—y0）+Fz（x0, y0, z0）(z—z0）=0.
法线方程为
.
例16: 求球面x2+y2+z2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式.
【解】 F(x, y, z）= x2+y2+z2—14,
Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z ,
Fx(1, 2, 3）=2, Fy（1, 2, 3）=4, Fz(1, 2, 3）=6.
法向量为n=(2, 4, 6）, 或n=(1, 2, 3).
所求切平面方程为2（x-1)+4（y-2)+6（z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0.
法线方程为
2。场论初步
（1)数量场：（方向导数）函数u=f(x, y，z)在点P0（x0, y0,z0）可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有
,
其中cos a, cos b，是方向l 的方向余弦.
(2）数量场(梯度)设三元函数可微
grad f(x0, y0, z0)=fx（x0, y0, z0）i+fy（x0, y0, z0）j+fz（x0, y0, z0）k.=
结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值。
（３）矢量场：（散度)已知

(４）矢量场：(旋度）已知

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