二元一次方程组的12种应用题型归纳.doc

二元一次方程组的12种应用题型归纳

类型一：行程问题
【例1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。
(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36 解得x=6y=3.6
答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时。
【例2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求这艘船在静水中的速度和水流速度。
解：设这艘船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时。
14(x+y)=28020(x-y)=280 解得x=17y=3
答：这艘船在静水中的速度为17千米/时，水流速度为3千米/时。

类型二：工程问题
【例】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成，需工钱5.2万元；
若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元。若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由。
解：设甲公司每周的工作效率为x，乙公司每周的工作效率为y。
6x+6y=14x+9y=1 解得x=110y=115
∴1÷110=10(周) 1÷115=15(周)
∴甲公司单独完成这项工程需10周，乙公司单独完成这项工程需15周。
设甲公司每周的工钱为a万元，乙公司每周的工钱为b万元。
6a+6b=5.24a+9b=4.8 解得a=35b=415
此时10a=6(万元) 15b=4(万元) 6>4
答：从节约开支的角度考虑，小明家应选择乙公司。

类型三：商品销售利润问题
【例1】李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜
每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年种植甲、乙蔬菜各多少亩？
解：设李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。
x+y=102000x+1500y=18000 解得x=6y=4
答：李大叔去年种植甲蔬菜x亩，乙蔬菜y亩。
【例2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如
下表，求该商场购进A、B两种商品各多少件。

A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
注：获利 = 售价 - 进价
解：设该商场购进A商品x件，B商品y件。
1200x+1000y=360000(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000 解得x=200y=120
答：该商场购进A商品200件，B商品120件。

类型四：银行储蓄问题
【例】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱。
第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%。三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，求小敏的爸爸两种存款方式各存入了多少元。
解：设第一种方式存款x元，第二种方式存款y元。
x+y=4000x·2.25％·3 + y·2.7％·3 =303.75 解得x=1500y=2500
答：第一种方式存款1500元，第二种方式存款2500元。

类型五：生产中的配套问题
【例1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解：设用x张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个。
x+y=1902·8x=22y 解得x=110y=80
答：用100张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子。
【例2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
解： 设分配x人生产螺栓，y人生产螺母。
x+y=602·14x=20y 解得x=25y=35
答：应分配25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。【例3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，1立方米木料可以做50个桌面或300条桌
腿。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌？能配多少张方桌？
解：设用x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿。
x+y=550x：300y=1：4 解得x=3y=2
3×50=150(张)
答：用3立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配成方桌，能配150张方桌。

类型六：增长率问题
【例】某市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样
全市人口增加1%，求该市现在的城镇人口数与农村人口数。
解：设该城市现在的城镇人口数是x万人，农村人口数是y万人。
x+y=420.8%x＋1.1%y＝ 42×1% 解得x=14y=28
答：该市现在的城镇人口数是14万人，农村人口数是28万人。

类型七：和差倍分问题
【例】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每个男孩看到
蓝色与红色的游泳帽一样多，而每个女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
解：设男孩有x人，女孩有y人。
x-1=y2(y-1)=x 解得x=4y=3
答：男孩有4人，女孩有3人。

类型八：数字问题
【例1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位
数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数是x，个位数是y，则这个数是(10x+y)。
10x+y-3(x+y)=2310x+y=5(x+y)+1 解得x=5y=6
答：这个两位数是56。
【例2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数是x，个位数是y，则这个数是(10x+y)。
x-y=51210x+y-x+10y=9 解得x=7y=2
答：这个两位数是72。

【例3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位
数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
　 解：设原三位数的百位数是x，个位数是y。
x+y=9x-y=1 解得x=5y=4
答：原三位数是504。

类型九：浓度问题
【例】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各
需多少千克？
解：设10%的盐水需x千克，85%的盐水需y千克。
x+y=1210%x+85%y=12×45% 解得x=6.4y=5.6
答：10%的盐水需6.4千克，85%的盐水需5.6千克。

类型十：几何问题
【例1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上
去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形的面积大多少？
　　 解：设长方形的长为x厘米，宽为y 厘米。
2(x+y) = 48x-3=y+3 解得x=15y=9
(15-3)×(9+3)-15×9=9(平方厘米)
答：正方形的面积比矩形的面积大9平方厘米。

【例2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10 m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？
解：设它的长为x m，宽为y m。
2(x+y) =132x-2y=10 解得x=1423y=563
答：它的长为1423m，宽为563m。

类型十一：年龄问题
【例】今年，小明的年龄是他爷爷的五分之一。小明发现，12年之后，他的年龄变成爷爷
的三分之一。小明今年多少岁？爷爷今年多少岁？
　　 解：设小明今年x岁，爷爷今年y岁。
5x=y 3x+12= y+12 解得x=12y=60
答：小明今年12岁，爷爷今年60岁。

类型十二：优化方案问题
【例】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？
解：(1)设购进x台甲种电视机，y台乙种电视机，z台丙种电视机。
分情况：
(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机x+y =501500x+2100y=90000 解得x=25y=25
(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机x+z = 501500x+2500z=90000 解得x=35y=15
(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机y+z= 502100x+2500z=90000 解得x=87.5y=-37.5(舍去)
答：商场的进货方案为购进25台甲种电视机和25台乙种电视机，或购进35台甲种电视机和15台丙种电视机。
(2) 按方案(Ⅰ)，获利150×25＋200×25＝8750(元)
按方案(Ⅱ)，获利150×35＋250×15＝9000(元)
∵8750<9000，∴选择方案(Ⅱ)。
答：选择购进35台甲种电视机和15台丙种电视机。

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