3.1一元一次方程及其解法例题与讲解(2013-2014学年沪科版七年级上).pdf

3.13.1一元一次方程及其解法一元一次方程及其解法1一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程如：75x3,3(x2)4x 等都是一元一次方程解技巧解技巧 正确判断一元一次方程判断一元一次方程的四个条件是：只含有一个未知数(元)；未知数的次数都是一次；未知数的系数不能为 0；分母中不含未知数，这四个条件缺一不可(2)方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解一元方程的解，也叫做方程的根方法：要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点：一看，它是不是方程中未知数的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解如 x3 是方程 2x42 的解，而 y3 就不是方程 2x42 的解(3)解方程求方程的解的过程叫做解方程方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程是指求出方程的解的过程【例 11】下列各式哪些是一元一次方程()AS ab；B.xy0；C.x0；D.1；E.312；F.4y51；G.2x22x1212x310；H.x2.解析：解析：E 中不含未知数，所以不是一元一次方程；G 中未知数的次数是 2，所以不是一元一次方程；A 与 B 中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；H 虽然形式上字母的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D 中分母中含有未知数，不是一元一次方程；只有 C，F 符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程答案：答案：CF【例 12】x3 是下列方程()的解A5(x1)4(x2)B4x21C x55D3x1013解析：解析：对于选项 A，把 x3 代入所给方程的左右两边，左边5(31)20，右边4(32)20，因为左边右边，所以 x3 是方程5(x1)4(x2)的解；对于选项 B，把 x3 代入所给方程的左右两边，左边4(3)210，右边1，因为左边右边，所以 x3 不是方程 4x21 的解，选项 C，D 按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有 A 的左右两边相等，故应选 A.答案：答案：A2等式的基本性质(1)等式的基本性质性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式用式子形式表示为：如果 ab，那么 acbc，acbc.性质 2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式用式子形式表示为：如果 ab，那么 acbc，(c0)acbc性质 3：如果 ab，那么 ba.(对称性)如由8y，得 y8.性质 4：如果 ab，bc，那么 ac.(传递性)如：若160，21，则260.(2)等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，简称等量代换谈重点谈重点 应用不等式的性质的注意事项(1)应用等式的基本性质 1 时，一定要注意等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，才能保证所得结果仍是等式这里特别要注意：“同时”和“同一个”，否则就会破坏相等关系(2)等式的基本性质 2 中乘以(或除以)的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质 1的区别(3)等式两边不能都除以 0，因为 0 不能作除数或分母【例 21】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是()A若 4y23y1，则 y1B若 7a5，则 a57C若 0，则 x2D若 11，则 x61x2x6解析：解析：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论A 根据等式的基本性质 1，等式的两边都减去 3y2，左边是 y，右边是3，不是 1；C根据等式的基本性质 2，两边都乘以 2，右边应为 0，不是 2；D 根据等式的基本性质 2，左边乘以 6，而右边漏乘 6，故不正确；只有 B 根据等式的基本性质 2，两边都除以 7，得到 a.57答案：答案：B【例 22】利用等式的基本性质解方程：(1)5x812；(2)4x22x；(3)x16；(4)3x7.分析：分析：利用等式的基本性质求解先利用等式的基本性质 1 将方程变形为左边只含有未知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质 2 将未知数的系数化为 1.解：解：(1)方程的两边同时加上 8，得 5x20.方程的两边同时除以 5，得 x4.(2)方程的两边同时减去 2x，得 2x20.方程的两边同时加上 2，得 2x2.方程的两边同时除以 2，得 x1.(3)方程两边都同时减去 1，得 x1161，x61.x5.(4)方程两边都加上 x，得 3xx7x,37x，方程两边都减去 7，得 377x7，4x，即 x4.3.解一元一次方程(1)移项移项的概念及依据：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质 1.移项的目的：把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边移项的过程：移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程即对移动的项进行变号的过程，如，23x7，把2 从方程的左边移到右边，2 在原方程中前面带有性质符号“”，移到右边后需变成“”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号所以由移项，得3x72.要注意移项和加法交换律的区别：移项是把某一项从等式的一边移到另一边，移项要变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变如，35x1，把 3 从方程的左边移到右边要变号，得 5x13，是属于移项；而把5x15x11x11 变成 5x11x15x11，是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变号辨误区辨误区 移项时应注意的问题在移项时注意“两变”：一变性质符号，即“”号变为“”号，而“”号变为“”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边(2)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称具体做法变形依据注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质 2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边等式的基本性质 1移项要变号合并同类项将方程化为 axb 的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为 1方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质 2分子、分母不能颠倒解技巧解技巧 巧解一元一次方程值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验【例 31】下列各选项中的变形属于移项的是()A由 2x4，得 x2B由 7x3x5，得 7x35xC由 8xx5，得xx58D由 x93x1，得 3x1x9解析：解析：选项 A 是把 x 的系数化成 1 的变形；选项 B 中 x5 变成 5x 是应用加法交换律，只是把位置变换了一下；选项 C 是作的移项变形；选项 D 是应用等式的对称性“ab，则 ba”所作的变形所以变形属于移项的是选项 C.答案：答案：C【例 32】解方程5.2x3x14分析：分析：方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数 12，去掉分母得4(2x)603(x1)，再按照步骤求解，特别注意5 不能漏乘分母的最小公倍数 12.解：解：去分母，方程两边都乘以 12，得 4(2x)603(x1)去括号，得 84x603x3.移项，得4x3x3860.合并同类项，得7x49.两边同除以7，得 x7.4解复杂的一元一次方程解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不是 0 的最简方程一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方程和方程组的基础解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为 xa(a 是一个已知数)(1)复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的方程中若含有相同的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算(2)要注意把分母整数化和去分母的区别：分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数【例 4】解方程.0.4x90.5x520.030.02x0.03分析：分析：由于和的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小0.4x90.50.030.02x0.03数化为整数，在式子的分子、分母中都乘以 10，变为，在式子的分0.4x90.54x9050.030.02x0.03子、分母中都乘以 100，变为，然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解32x3解：解：分母整数化，得.4x905x5232x3去分母，得6(4x90)15(x5)10(32x)去括号，得24x54015x753020 x.移项，得24x15x20 x5407530.合并同类项，得11x495.两边同除以11，得x45.5.与一元一次方程的解相关的问题方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点解题的关键是理解方程的解的概念(1)已知方程的解求字母系数：若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值(2)同解方程：因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值【例 51】关于 x 的方程 3x50 与 3x3k1 的解相同，则 k()A2 B C2 D4343解析：解析：解方程 3x50，得 x.53将 x 代入方程 3x3k1，53得53k1，解得 k2，故应选 C.答案：答案：C【例 52】若关于 x 的方程(m6)xm4 的解为 x2，则 m_.解析：解析：把 x2 代入方程(m6)xm4，得(m6)2m4，解得 m8.答案：答案：86.一元一次方程的常用解题策略我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，化未知数的系数为 1，可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解一元一次方程常用的几种技巧(1)有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简便的方法(2)对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便巧解可激活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣【例 61】解方程 x1.3443(12x14)432分析：分析：注意到 1，把 乘以中括号的每一项，则可先去中括号，344334 4 x1，再去小括号为 x 3 x1，再按步骤解方程就非常简捷3443(12x14)3432121432了解：解：去括号，得 x 3 x1.121432移项，合并同类项，得x.174两边同除以1，得 x.174【例 62】解方程.x37x25x16x44分析：分析：此题可按照解方程的一般步骤求解，但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍数 420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分，把5x37x2352x13x412分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解解：解：方程两边分别通分，得.化简，得5x37x2352x13x4122x135.x1012去分母，得12(2x1)35(x10)去括号，得24x1235x350.移项、合并同类项，得 11x362.两边同除以 11，得 x.362117列一元一次方程解题(1)利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，常常采用代入法，即将方程的解代入原方程，得到关于字母系数的等式(或者可以看作关于字母系数的方程)，再求解即可(2)利用概念列方程求字母的值利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元一次方程的定义求字母的值列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系再列出方程，解方程从而求出字母的取值谈重点谈重点 列一元一次方程注意挖掘隐含条件许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，发掘隐含条件时需要全面、深刻地理解掌握数学基础知识【例 71】(1)当 a_时，式子 2a1 与 2a 互为相反数(2)若 6 的倒数等于 x2，则 x 的值为_解析：解析：(1)根据互为相反数的两数和为 0，可得一元一次方程 2a 1(2a)0，解得a3；(2)由倒数的概念：乘积为 1 的两个数互为倒数，可得一元一次方程 6(x2)1，解得 x.116答案：答案：(1)3(2)116【例 72】已知 x2 是方程x的解，求 k 的值xk33k26xk2分析：分析：把 x2 代入原方程，原方程就变成了以 k 为未知数的新方程，解含有未知数k 的方程，可以求出 k 的值解：解：把 x2 代入原方程，得(2).2k33k262k2去分母，得2(2k)3k2(2)63(2k)去括号，得42k3k21263k.移项、合并同类项，得2k16.方程两边同除以2，得 k8.