资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0m B．4.0m C．5.0m D．6.0m
2．如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=（x>0）上的一个动点，当点B的横坐标系逐渐增大时，△OAB的面积将会( )
A．逐渐变小 B．逐渐增大 C．不变 D．先增大后减小
3．下列数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
4．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ）
A．两个转盘转出蓝色的概率一样大
B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了
C．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同
D．游戏者配成紫色的概率为
5．如图，太阳在A时测得某树（垂直于地面）的影长ED＝2米，B时又测得该树的影长CD＝8米，若两次日照的光线PE⊥PC交于点P，则树的高度为PD为（ ）
A．3米 B．4米 C．4.2米 D．4.8米
6．二次函数图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2) B．(-2，0) C．(0，2) D．(2，0)
7．如图，菱形在第一象限内，，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
8．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
9．已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x和的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点M为反比例函数y＝上的一点，过点M作x轴，y轴的垂线，分别交直线y＝-x+b于C，D两点，若直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，则AD·BC的值是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
11．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数的图像与x轴没有交点，则( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知点A(3，y1)、B(2，y2)都在抛物线y＝﹣(x+1)2+2上，则y1与y2的大小关系是_____．
14．小亮同学想测量学校旗杆的高度，他在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长为米，同时测量旗杆的影长时由于影子不全落在地面上，他测得地面上的影长为米，留在墙上的影高为米，通过计算他得出旗杆的高度是___________米.
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 ．
16．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为_____．
17．一元二次方程x2=3x的解是：________．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
20．（8分）如图，已知矩形 ABCD．在线段 AD 上作一点 P，使∠DPC ＝∠BPC ．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
21．（8分）已知，如图，有一块含有30°的直角三角形的直角边的长恰与另一块等腰直角三角形的斜边的长相等．把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且
（1）若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点，请写出一个满足条件的抛物线的解析式．
（2）若把含30°的直角三角形绕点按顺时针方向旋转后，斜边恰好与轴重叠，点落在点，试求图中阴影部分的面积（结果保留）
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.
23．（10分）已知关于的方程
（1）求证：无论为何值，方程总有实数根.
（2）设，是方程的两个根，记，S的值能为2吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由.
24．（10分）化简：，并从中取一个合适的整数代入求值.
25．（12分）已知二次函数y1＝x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．
（1）求m，n的值，
（2）如图，一次函数y2＝kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，若点B与点M（﹣4，6）关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．
（3）根据函数图象直接写出y1＞y2时x的取值范围．
26．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．
(1)求证：△ABD≌△ACF；
(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴＝．
∴AD＝1．
∴AB＝AD+DB＝1+1＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
2、A
【解析】试题分析：根据反比例函数的性质结合图形易知△OAB的高逐渐减小，再结合三角形的面积公式即可判断．
要知△OAB的面积的变化，需考虑B点的坐标变化，因为A点是一定点，所以OA（底）的长度一定，而B是反比例函数图象上的一点，当它的横坐标不断增大时，根据反比例函数的性质可知，函数值y随自变量x的增大而减小，即△OAB的高逐渐减小，故选A.
考点：反比例函数的性质，三角形的面积公式
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成.
3、C
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】A. ，有理数；
B. ，有理数；
C. ，无理数；
D. ，有理数；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了无理数的问题，掌握无理数的定义是解题的关键．
4、D
【解析】A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；
B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；
C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；
D、画树状图如下：
由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，
所以游戏者配成紫色的概率为，
故选D．
5、B
【分析】根据题意求出△PDE和△FDP相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】∵PE⊥PC，
∴∠E+∠C＝90°，∠E+∠EPD＝90°，
∴∠EPD＝∠C，
又∵∠PDE＝∠FDP＝90°，
∴△PDE∽△FDP，
∴＝，
由题意得，DE＝2，DC＝8，
∴＝，
解得PD＝4，
即这颗树的高度为4米．
故选：B．
【点睛】
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
6、A
【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】解：抛物线y=x2-2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为，对称轴为x=h．
7、C
【分析】过A作AE⊥x轴于E，设OE=，则AE=，OA=，即菱形边长为，再根据△AOD的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解.
【详解】如图，过A作AE⊥x轴于E，
设OE=，
在Rt△AOE中，∠AOE=60°
∴AE=，OA=
∴A，菱形边长为
由图可知S菱形AOCB=2S△AOD
∴，即
∴
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键.
8、B
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
考点：圆锥的计算
9、D
【解析】试题分析：：∵k1＜0＜k2，
∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．
故选D．
考点：1.反比例函数的图象；2.正比例函数的图象．
10、C
【分析】设点M的坐标为()，将代入y＝-x+b中求出C点坐标，同理求出D点坐标，再根据两点之间距离公式即可求解．
【详解】解：设点M的坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到C点坐标为()，
将代入y＝-x+b中，得到D点坐标为()，
∵直线y＝-x+b分别与x轴，y轴相交于点A，B，
∴A点坐标(0，b)，B点坐标为(b，0)，
∴AD×BC=，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数及反比例函数的性质，先设出M点坐标，用M点的坐标表示出C、D两点的坐标是解答此题的关键．
11、A
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
12、C
【分析】若二次函数的图像与x轴没有交点，则，解出关于m、n的不等式，再分别判断即可；
【详解】解：与轴无交点，，
，故A、B错误；
同理：；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、y1＜y1
【分析】先求得函数的对称轴为，再判断、在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系．
【详解】∵函数y=﹣(x+1)1+1的对称轴为，
∴、在对称轴右侧，
∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且3＞1，
∴y1＜y1．
故答案为：y1＜y1．
【点睛】
本题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．
14、
【分析】根据题意画出图形，然后利用某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可求出旗杆的高度.
【详解】根据题意画出如下图形，有，则AC即为所求.
设AB=x
则
解得
∴
故答案为10.5.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的应用，掌握某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长是解题的关键.
15、1．
【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
【详解】解：连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B，
∴sinD=sinB=，
在Rt△ACD中，
∵sinD==，
∴AC=AD=×8=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
16、．
【分析】由图可知，三角板和量角器重叠部分的面积为扇形OAB的面积与△OBC面积的和，由此其解
【详解】解： ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．
在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，
∴．
∴．
故答案为：
17、x1=0，x2=1
【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．
【详解】x2=1x
x2-1x=0，
x(x-1)=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解
18、1
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）20%；（2）每千克应涨价5元．
【分析】（1）设每次下降的百分率为x，根据相等关系列出方程，可求每次下降的百分率；
（2）设涨价y元（0＜y≤8），根据总盈余＝每千克盈余×数量，可列方程，可求解．
【详解】解：（1）设每次下降的百分率为x
根据题意得：50（1﹣x）2＝32
解得：x1＝0.2，x2＝1.8（不合题意舍去）
答：每次下降20%
（2）设涨价y元（0＜y≤8）
6000＝（10+y）（500﹣20y）
解得：y1＝5，y2＝10（不合题意舍去）
答：每千克应涨价5元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
20、详见解析
【分析】以为圆心，为半径画弧，以为直径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，利用全等三角形和角平分线的判定和性质可得．
【详解】解：如图，即为所作图形：∠DPC ＝∠BPC.
【点睛】
本题是作图—复杂作图，作线段垂直平分线，涉及到角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度中等.
21、（1）；（2）
【分析】（1）在Rt△OBA中，由∠AOB=30°，AB=3利用特殊角的正切值即可求出OB的长度，从而得出点A的坐标，利用顶点式即可求出函数解析式；
（2）在Rt△OBA中，利用勾股定理即可求出OA的长度，在等腰直角三角形ODC中，根据OC的长度可求出OD的长，结合图形即可得出阴影部分的面积为扇形AOA′的面积减去三角形ODC的面积，结合扇形与三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：（1）在中，，
∴
∴
∴．
∴抛物线的解析式是
（2）由（1）可知，由题意得
∴
在中，
∴
∴
【点睛】
本题考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形的面积以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和（差）的形式是关键．
22、（1）.；（2）的坐标为或.
【解析】分析：（1）根据一次函数y=x+b的图象经过点A（-2，1），可以求得b的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点M的坐标，注意点M的横坐标大于1．
详解：（1）一次函数的图象经过点，
，，.
一次函数与反比例函数交于.
，，，.
（2）设，.
当且时，以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形.
即：且，解得：或（负值已舍），
的坐标为或.
点睛：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23、（1）见解析；（2）时，S的值为2
【解析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）由韦达定理得，代入到中，可求得k的值．
【详解】解：（1）①当，即k=1时，方程为一元一次方程，
∴是方程的一个解.
②当时，时，方程为一元二次方程，
则，
∴方程有两不相等的实数根.
综合①②得，无论k为何值，方程总有实数根.
（2）S的值能为2，根据根与系数的关系可得
∴，
即，解得，
∵方程有两个根，
∴
∴应舍去，
∴时，S的值为2
【点睛】
本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握，是解题的关键.
24、-x-1，-1.
【分析】先将原分式化简，然后根据分式有意义的条件代入适当的值即可.
【详解】解：原式
当时（不能取－1或1，否则无意义）
原式.
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键.
25、（1）1，；（1）y＝x+4；（3）x＜﹣3或x＞1.
【分析】（1）将点P（-3，1）代入二次函数解析式得出3m﹣n＝8，然后根据对称轴过点（-1，0）得出对称轴为x=-1，据此求出m的值，然后进一步求出n的值即可；
（1）根据一次函数经过点P（﹣3，1），得出1＝﹣3k+b，且点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，所以B（1，6），所以6＝1k+b，最后求出k与b的值即可；
（3）y1＞y1，则说明 y1的函数图像在y1函数图像上方，据此根据图像直接写出范围即可.
【详解】（1）由二次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝9﹣3m+n，
∴3m﹣n＝8，
又∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，
∴对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴m＝1，
∴n＝﹣1；
（1）∵一次函数经过点P（﹣3，1），
∴1＝﹣3k+b，
∵点B与点M（﹣4，6）关于x＝﹣1对称，
∴B（1，6），
∴6＝1k+b，
∴k＝1，b＝4，
∴一次函数解析式为y＝x+4；
（3）由图象可知，x＜﹣3或x＞1时，y1＞y1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
26、 (1)证明见解析； (1)
【分析】（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；
（1）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
又∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠FAC，
∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF(SAS)；
(1)解：由(1)知△ABD≌△ACF，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝135°，
∴∠ACF＝135°，
由(1)知∠ACB＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∵正方形ADEF边长为，
∴DF＝4，
∴OC＝DF＝×4＝1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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