资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16
3．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的m个小球，其中8个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球．以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：
根据列表，可以估计出m的值是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
6．能说明命题“关于的方程一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．抛物线与轴有两个交点
C．抛物线的对称轴是直线=1 D．抛物线经过点（2,3）
8．方程的解是（ ）
A．0 B．3 C．0或–3 D．0或3
9．若，且，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．20 D．14
10．下列说法错误的是（ ）
A．必然事件发生的概率是1
B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生
D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
11．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
12．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为____．
14．闹元宵吃汤圆是我国传统习俗，正月十五小明的妈妈煮了一碗汤圆，其中有4个花生味和2个芝麻味，小明从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是_____．
15．已知，如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=______cm.
16．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．
17．如图，的顶点均在上，，则的半径为_________．
18．____.
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D为BC边上的点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE．
（1）如图1，若AD＝DC，则BE的长为 ，BE2+CD2与AD2的数量关系为 ；
（2）如图2，点D为BC边山任意一点，线段BE、CD、AD是否依然满足（1）中的关系，试证明；
（3）M为线段BC上的点，BM＝1，经过B、E、D三点的圆最小时，记D点为D1，当D点从D1处运动到M处时，E点经过的路径长为 ．
20．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA＝2OB＝1．求抛物线的顶点坐标．
21．（8分）如图，有一个斜坡，坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为，求坡面的长度.
22．（10分）如图，在中，，点在边上，点在边上，且是的直径，的平分线与相交于点.
（1）证明：直线是的切线；
（2）连接，若，，求边的长.
23．（10分）如图，在中，，的中点．
（1）求证：三点在以为圆心的圆上；
（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．
24．（10分）在综合实践课中，小慧将一张长方形卡纸如图1所示裁剪开，无缝隙不重叠的拼成如图2所示的“”形状，且成轴对称图形.裁剪过程中卡纸的消耗忽略不计，若已知，，.
求（1）线段与的差值是___
（2）的长度.
25．（12分）下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段、、（如图所示），求作线段，使.
他的作法如下：
1.以下为端点画射线，.
2.在上依次截取，.
3.在上截取.
4.联结，过点作，交于点.
所以：线段______就是所求的线段.
（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.
（2）这位同学作图的依据是______；
（3）如果，，，试用向量表示向量.
26．我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长)．直线MN垂直于地面，垂足为点P，在地面A处测得点M的仰角为60°，点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5米．且A、B、P三点在一直线上，请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．(结果保留根号)
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、C
【分析】根据相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵与的相似比为1：4，∴与的周长比为：1：4.
故选：C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键.
3、B
【解析】试题解析：列表如下：
∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=．
故选B．
4、B
【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5、B
【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．
【详解】∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，
∴=0.5，
解得：m=1．
故选：B．
【点睛】
考查了利用频率估计概率，解题关键是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
6、D
【分析】利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
【详解】当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0，
因为△=（-4）2-4×5＜0，
所以方程没有实数解，
所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例．
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7、B
【详解】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；
B、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，所以B选项正确；
C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；
D、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以D选项错误，
故选B．
8、D
【解析】运用因式分解法求解.
【详解】由得x(x-3)=0
所以，x1=0,x2=3
故选D
【点睛】
掌握因式分解法解一元二次方程.
9、A
【分析】根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．
【详解】解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】
考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．
10、C
【解析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1
【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确；
C、概率很小的事件也有可能发生，故错误；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0.
11、A
【解析】分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：=．
故选A．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
12、D
【解析】试题分析：由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，所以.
因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=1．
故选D.
考点：相似三角形的判定与性质．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．
【详解】连接OA，
∵∠ABC＝10°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵切线PA交OC延长线于点P，
∴∠OAP＝90°，
∵OA＝OC＝，
∴AP＝OAtan60°＝×＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了圆的切线问题，掌握圆周角定理、圆的切线性质是解题的关键．
14、
【分析】用花生味汤圆的个数除以汤圆总数计算即可.
【详解】解：∵一碗汤圆，其中有4个花生味和2个芝麻味，
∴从中任意吃一个，恰好吃到花生味汤圆的概率是：．
故答案为.
【点睛】
本题考查了概率公式的应用，如果一个事件共有n种可能，而且每一个事件发生的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率.
15、3.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得出AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC，又由BF是∠ABC的角平分线，可得∠ABF=∠CBF，∠BFC=∠CBF，进而得出CF=BC，即可得出DF.
【详解】，
解：∵在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AD=BC=7cm，∠ABF=∠BFC
又∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABF=∠CBF
∴∠BFC=∠CBF
∴CF=BC=7cm
∴DF=CF-CD=7-4=3cm，
故答案为3.
【点睛】
此题主要利用平行四边形的性质，熟练运用即可解题.
16、
【分析】如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为的等边三角形，CM⊥AB，
∴×AB×CM＝，∠BCM＝30°，BM=AB，BC=AB，
∴CM==，
∴×AB×＝，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝AB＝1，
∴x+x＝1，
解得x＝．
∴S△AEF＝×1×＝．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
17、1
【分析】连接AO,BO，根据圆周角的性质得到,利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】连接AO,BO，
∵
∴
又AO=BO
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1
即的半径为1
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是熟知圆周角的性质．
18、
【分析】根据特殊角度的三角函数值，，，代入数据计算即可.
【详解】∵，，,
∴原式=.
【点睛】
熟记特殊角度的三角函数值是解本题的关键.
三、解答题（共78分）
19、（1）1；BE1+CD1＝4AD1；（1）能满足（1）中的结论，见解析；（3）1
【分析】（1）依据旋转性质可得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°，再证明：△BDE≌△BDA，利用勾股定理可得结论；
（1）将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，再证明：∠D′BE＝∠D′AE＝90°，利用勾股定理即可证明结论仍然成立；
（3）从（1）中发现：∠CBE＝30°，即：点D运动路径是线段；分别求出点D位于D1时和点D运动到M时，对应的BE长度即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵AD＝DC
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADB＝∠CAD+∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝90°，
由旋转得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°
∴△BDE≌△BDA（SAS）
∴∠BED＝∠BAD＝90°，BE＝AB＝
∴BE1+CD1＝BE1+DE1＝BD1
∵＝cos∠ADB＝cos60°＝
∴BD＝1AD
∴BE1+CD1＝4AD1；
故答案为：；BE1+CD1＝4AD1；
（1）能满足（1）中的结论．如图1，将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，使AC与AB重合，
∵∠DAD′＝110°，∠BAD′＝∠CAD，∠ABD′＝∠ACB＝30°，AD′＝AD＝DE，∠DAE＝∠AED＝30°，BD′＝CD，∠AD′B＝∠ADC
∴∠D′AE＝90°
∵∠ADB+∠ADC＝180°
∴∠ADB+∠AD′B＝180°
∴A、D、B、D′四点共圆，
同理可证：A、B、E、D四点共圆，A、E、B、D′四点共圆；
∴∠D′BE＝90°
∴BE1+BD′1＝D′E1
∵在△AD′E中，∠AED′＝30°，∠EAD′＝90°
∴D′E＝1AD′＝1AD
∴BE1+BD′1＝（1AD）1＝4AD1
∴BE1+CD1＝4AD1．
（3）由（1）知：经过B、E、D三点的圆必定经过D′、A，且该圆以D′E为直径，
该圆最小即D′E最小，∵D′E＝1AD
∴当AD最小时，经过B、E、D三点的圆最小，此时，AD⊥BC
如图3，过A作AD1⊥BC于D1，∵∠ABC＝30°
∴BD1＝AB•cos∠ABC＝cos30°＝3，AD1＝
∴D1M＝BD1﹣BM＝3﹣1＝1
由（1）知：在D运动过程中，∠CBE＝30°，∴点D运动路径是线段；
当点D位于D1时，由（1）中结论得：，∴BE1＝
当点D运动到M时，易求得：BE1＝
∴E点经过的路径长＝BE1+BE1＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，综合性很强，难度系数较大，运用到了全等和勾股定理等相关知识需要熟练掌握相关基础知识.
20、 (﹣1，9)
【分析】先写出A、B点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵OA＝2OB＝1，
∴B（2，0），A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），
即y＝﹣x2﹣2x+8，
∵y＝﹣（x+1）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9）．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，解决本题的关键是正确理解题意，能够将二次函数一般式转化为交点式.
21、米
【分析】根据坡度的定义可得，求出AB，再根据勾股定理求
【详解】∵坡顶离地面的高度为20米，坡面的坡度为
即,
∴米由勾股定理得
答：坡面的长度为米.
【点睛】
考核知识点：解直角三角形应用.把问题转化为解直角三角形是关键.
22、（1）见解析；（2）12
【分析】（1）连接OD，AD是∠CAB的平分线，以及OA=DO，推出∠CAD=∠ODA,进而得出OD∥AC,最后根据∠C=90°可得出结论；
（2）因为∠B=30°，所以∠CAB=60°，结合（1）可得AC∥OD，证明△ODE是等边三角形，进而求出OA的长．再在Rt△BOD中，利用含30°直角三角形的性质求出BO的长，从而得出结论．
【详解】解：（1）证明：连接
平分∠CAB，
．
在中，，
．
．
∴AC∥OD．
中，，
，直线为圆的切线；
（2）解：如图，
中，，,
∴．
由（1）可得：AC∥OD，
，
为等边三角形，，
．
由（1）可得，
又，
在中，．
．
【点睛】
本题考查的是切线的判定与性质，等边三角形的判定，含30°的直角三角形的性质等知识，在解答此类题目时要注意添加辅助线，构造直角三角形．
23、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结OC，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA长为半径的圆上；
（2）连结OD，可得OA=OB=OC=OD，所以A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上.
【详解】（1）连结OC，
在中，，的中点，
∴OC=OA=OB，
∴三点在以为圆心的圆上；
（2）连结OD，
∵，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四点在以为圆心的圆上.
【点睛】
此题考查了圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，所以证明几个点共圆，只需要证明这几个点到某个定点的距离相等即可.
24、9 6
【分析】如图1，延长FG交BC于H，设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，根据轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，表示GH，EH，BE的长，证明△EGH∽△EAB，则，可得x的值，
即可求出线段、及FG的长，故可求解.
【详解】(1)如图1，延长FG交BC于H，
设CE＝x，则E'H'＝CE＝x，
由轴对称的性质得：D'E'＝DC＝E'F'＝9，
∴H'F'＝AF＝9＋x，
∵AD＝BC＝16，
∴DF＝16−（9＋x）＝7−x，
即C'D'＝DF＝7−x＝F'G'，
∴FG＝7−x，
∴GH＝9−（7−x）＝2＋x，EH＝16−x−（9＋x）＝7−2x，
∴EH∥AB，
∴△EGH∽△EAB，
∴，
∴，
解得x＝1或31（舍），、及FG
∴AF=9+x=10，EC=1，故AF-EC=9
故答案为：9;
(2)由（1）得FG＝7−x =7-1=6.
【点睛】
本题考查了图形的拼剪，轴对称的性质，矩形、直角三角形、相似三角形等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了数形结合的思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
25、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）
【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；
（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.
【详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，
故答案为：CD；
（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.
（3），
∴△OAC∽△OBD，
.
，，
.得.
，，与反向，
.
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
26、米
【分析】设AP=NP=x，在Rt△APM中可以求出MP=x，在Rt△BPM中，∠MBP=30°，求得x，利用MN＝MP－NP即可求得答案．
【详解】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝60°，
∴MP＝AP·tan∠MAP＝x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，
∵∠MBP＝30°，AB＝5，
∴=，
∴x＝，
∴MN＝MP－NP＝x－x＝．
答：广告牌的宽MN的长为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形在实际问题中的应用，将实际问题抽象为数学问题，选用适当的锐角三角函数解直角三角形是解题的关键，属于中考的必考点．
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