资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．反比例函数与在同一坐标系的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
4．如图，A、B、C是⊙O上互不重合的三点,若∠CAO＝∠CBO＝20°，则∠AOB的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．在一个不透明的布袋中装有红色.白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85％左右，则口袋中红色球可能有（ ）.
A．34个 B．30个 C．10个 D．6个
6．矩形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
7．若将抛物线的函数图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，可得到一个新的抛物线的图象，则所得到的新的抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．
8．下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上
B．射击运动员射击一次，命中十环
C．在地球上，抛出的篮球会下落
D．明天会下雨
9．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B．
C． D．
10．已知反比例函数，下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（3，4） B．（-2，6） C．（-2，-6） D．（-3，-4）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．从，0，，，1.6中随机取一个数，取到无理数的概率是__________．
12．已知一组数据为1，2，3，4，5，则这组数据的方差为_____．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_____．
14．已知A（-4，2），B（2，-4）是一次函数的图像和反比例函数图像的两个交点．则关于的方程的解是__________________．
15．某工厂1月份的产值为50000元，3月份的产值达到72000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
16．如图，在中，，，，是上一点，，过点的直线将分成两部分，使其所分成的三角形与相似，若直线与另一边的交点为点，则__________．
17．如图、正比例函数与反比例函数的图象交于（1,2），则在第一象限内不等式的解集为_____________．
18．某商品原售价300元，经过连续两次降价后售价为260元，设平均每次降价的百分率为x，则满足x的方程是______．
三、解答题(共66分)
19．（10分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，，，车杆与所成的，图1中、、三点共线，图2中的座板与地面保持平行.问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请写出的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：，，）
20．（6分）函数的图象的对称轴为直线.
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象．
①直接写出函数图象的表达式；
②设直线与轴交于点A，与y轴交于点B,当线段AB与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围.
21．（6分）某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .
（1）求与之间的函数关系式;
（2）函数图象中点表示的实际意义是 ;
（3）该商贸公司要想获利元，则这种干果每千克应降价多少元?
22．（8分）如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交与点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
（3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；
（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝ ．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，5），C（4，2）（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将△ABC平移，使点A移动到点A1，请画出△A1B1C1；
（2）作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
25．（10分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.
26．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．
【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A错误；B根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B正确；C根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C错误；D根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D错误．故选B
【点睛】
本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象.
2、D
【分析】用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m的取值范围.
【详解】解：
∵关于的方程有实数根
∴
故选：D
【点睛】
本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.
3、B
【解析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可．
【详解】试题解析：由题意连接OC，得
OE=OB-AE=4-1=3，
CE=CD= =，
CD=2CE=2，
故选B．
4、D
【分析】连接CO并延长交⊙O于点D，根据等腰三角形的性质，得∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，结合三角形外角的性质，即可求解．
【详解】连接CO并延长交⊙O于点D，
∵∠CAO=∠ACO，∠CBO=∠BCO，
∴∠CAO=∠ACO=∠CBO=∠BCO＝20°，
∴∠AOD=∠CAO+∠ACO=40°，∠BOD=∠CBO+∠BCO=40°，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=80°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质，三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质，添加和数的辅助线，是解题的关键．
5、D
【解析】由频数=数据总数×频率计算即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，
∴口袋中白色球的频率为85%，
故白球的个数为40×85%=34个，
∴口袋中红色球的个数为40-34=6个
故选D．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6、D
【分析】依据矩形的性质进行判断即可．
【详解】解：矩形不具备的性质是对角线互相垂直，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，熟练掌握性质是解题的关键
7、C
【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线先向右平移1个单位可得到抛物线；由“上加下减”的原则可知，将抛物线先向下平移2个单位可得到抛物线．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
8、C
【解析】试题分析：A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上是随机事件，故A错误；
B．射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故B错误；
C．在地球上，抛出的篮球会下落是必然事件，故C正确；
D．明天会下雨是随机事件，故D错误；
故选C．
考点：随机事件．
9、B
【解析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】A.属于多项式，错误；
B.属于一元二次方程，正确；
C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；
D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10、B
【解析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数的解析式中，得到纵坐标的值，即可得到答案．
【详解】解：A．把x=3代入
得：，即A项错误，
B．把x=-2代入
得：，即B项正确，
C．把x=-2代入
得：，即C项错误，
D．把x=-3代入
得：，即D项错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由题意可得共有5种等可能的结果，其中无理数有：，共2种情况，则可利用概率公式求解．
【详解】∵共有5种等可能的结果，无理数有：，共2种情况，
∴取到无理数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12、1．
【解析】试题分析：先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
由平均数的公式得：（1+1+3+4+5）÷5=3，
∴方差=[（1﹣3）1+（1﹣3）1+（3﹣3）1+（4﹣3）1+（5﹣3）1]÷5=1．
考点：方差．
13、
【解析】先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD.
【详解】解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，
∴AB＝＝，
∴S扇形ABD＝＝，
又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式：S＝，也考查了勾股定理以及旋转的性质．
14、x1=-4，x1=1
【分析】利用数形结合的思想解决问题即可．
【详解】∵A(﹣4，1)，B(1，﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y图象的两个交点，
∴关于x的方程kx+b的解是x1=﹣4，x1=1．
故答案为：x1=﹣4，x1=1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15、20%
【分析】设这两个月的产值平均月增长的百分率为x，根据该工厂1月份及3月份的产值，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这两个月的产值平均月增长的百分率为x，
依题意，得：50000（1+x）2＝72000，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：这两个月的产值平均月增长的百分率是20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16、1，，
【分析】根据P的不同位置，分三种情况讨论，即可解答．
【详解】解：如图：当DP∥AB时
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=1
如图：当P在AB上，即DP∥AC
∴△DCP∽△BCA
∴即，解得DP=
如图，当∠CPD=∠B，且∠C=∠C时,
∴△DCP∽△ACB
∴即，解得DP=
故答案为1，，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论思想并全部找到不同位置的P点是解答本题的关键．
17、x＞1
【分析】在第一象限内不等式k1x＞的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y1＞y2时x的取值范围．
【详解】根据图象可得：第一象限内不等式k1x＞
的解集为x＞1．
故答案是：x＞1．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
18、．
【分析】根据降价后的售价=降价前的售价×（1-平均每次降价的百分率），可得降价一次后的售价是，降价一次后的售价是，再根据经过连续两次降价后售价为260元即得方程．
【详解】解：由题意可列方程为
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，要注意增长的基础．
三、解答题(共66分)
19、的长度发生了改变，减少了.
【分析】根据图形的特点构造直角三角形利用三角函数求出变化前BC与变化后的BC长度即可求解.
【详解】图1：作DF⊥BC于F点，∵
∴BF=EF=BDcos≈30×=18
∴BC=2BF+CE
图2：作DF⊥BC于F点，由图1可知∠DE’F=53°，
∴∠DE’C=180°-∠DE’F=127°
∵DE∥BC，
∴∠E’DE=∠DE’F=53°
根据题意可知DE’=DE,CE’=CE,
连接CD，∴△DCE≌△DCE’
∴∠DEC=∠DE’C=127°
∴∠ECB=360°-∠DEC-∠DE’C-∠E’DE=53°，
作EG⊥BC于G点
∴BC=BF+FG+GC= BDcos+DE+CE∠ECB30×+30+40×=
76-72=4cm，
答：的长度发生了改变，减少了.
【点睛】
此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的运用.
20、（1）m=3；（2）①；②.
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式可得关于m的方程，解方程即可求出结果；
（2）①根据抛物线的平移规律解答即可；
②根据二次函数的性质以及一次函数的性质，结合图象只要满足直线与y轴的交点的纵坐标大于抛物线与y轴交点的纵坐标解答即可.
【详解】解：（1）∵的对称轴为直线，∴，解得：m=3；
（2）①∵函数的表达式为y=x2－2x+1，即为，
∴图象向右平移2个单位得到的新的函数图象的表达式为；
②∵直线y＝﹣2x+2t（t＞m）与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（t，0），B（0，2t），
∵新的函数图象G的顶点为（3，0），与y的交点为（0，9），
∴当线段AB与图象G只有一个公共点时，如图，2t＞9，解得t＞，
故t的取值范围是t＞．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质、抛物线的平移以及一次函数与二次函数的交点涉及的参数问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的数学思想是解题关键
21、（1）y=10x+100；（2）当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克；（3）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
【分析】（1）首先设一次函数解析式为：y=kx+b，然后根据函数图象，将两组对应值代入解析式即可得解；
（2）结合点和函数图象即可得出其表示的实际意义；
（3）根据题意列出一元二次方程，求解即可
【详解】（1）设一次函数解析式为：y=kx+b
当x=2，y=120；当x=4，y=140；
∴，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=10x+100；
（2）函数图象中点A表示的实际意义是当x为0，y=100，即这种干果没有降价，以每千克60元的价格销售时，销售量是100千克.
（3）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）=2090，
整理得：x2﹣10x+9=0，解得：x1=1．x2=9，
∵让顾客得到更大的实惠，
∴x=9，
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．.
【点睛】
此题主要考查一次函数图象的实际应用以及一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意，列出关系式.
22、（1）；（2）；（3）存在， ，
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m，），表示出PE＝，再用S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出最值即可；
（3）先判断出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．
【详解】（1）∵点，在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
（2）∵AC∥x轴，A（0，3）
∴＝3，
∴x1＝−6，x2＝0，
∴点C的坐标（−8，3），
∵点，，
求得直线AB的解析式为y＝−x＋3，
设点P（m，）∴E（m，−m＋3）
∴PE＝−m＋3−（）＝，
∵AC⊥EP，AC＝8，
∴S四边形AECP
＝S△AEC＋S△APC
＝AC×EF＋AC×PF
＝AC×（EF＋PF）
＝AC×PE
＝×8×（）
＝−m2−12m
＝−（m＋6）2＋36，
∵−8＜m＜0
∴当m＝−6时，四边形AECP的面积的最大，此时点P（−6，0）；
（3）∵＝，
∴P（−4，−1），
∴PF＝yF−yP＝4，CF＝xF−xC＝4，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，3）且AB＝=12，AC＝8，CP＝，
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝−或t＝−（不符合题意，舍）
∴Q（−，3）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝4或t＝−20（不符合题意，舍）
∴Q（4，3）
综上，存在点 .
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
23、（1）证明见解析；（2）；（3）1．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出BC，由△ABD∽△ACB，推出，可得AD=．
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF=CF．作FH⊥AC于H，BM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM=∠BMH=∠BNH=90°，由△BFN∽△BDM，可得=tan∠BDF=tanA=，推出AN=AM=×12=9，推出CH=CMMH=CMAN=169=7，再利用等腰三角形的性质，求出CD即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BA＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠BDE+∠CDE＝∠A+∠ABD，∠BDE＝∠A，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△CDE．
（2）解：如图2中，作BM⊥AC于M．
在Rt△ABM中，则AM＝AB•cosA＝20×＝16，
由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，
∴202＝162+BM2，
∴BM＝12，
∵AB＝BC，BM⊥AC，
∴AC＝2AM＝32，
∵DE∥AB，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴
∴AD＝＝．
（3）点D在AC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．
理由：作FH⊥AC于H，AM⊥AC于M，BN⊥FH于N．则∠NHM＝∠BMH＝∠BNH＝90°，
∴四边形BMHN为矩形，
∴∠MBN＝90°，MH＝BN，
∵AB＝BC，BM⊥AC，
∵AB＝20，AM＝CM＝16，AC＝32，BM＝12，
∵BN⊥FH，BM⊥AC，
∴∠BNF＝90°＝∠BMD，
∵∠DBF＝90°＝∠MBN，
∴∠NBF＝∠MBD，
∴△BFN∽△BDM，
∴＝tan∠BDF＝tanA＝，
∴BN＝BM＝×12＝9，
∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣BN＝16﹣9＝7，
当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，
∵FH⊥DC，
∴CD＝2CH＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24、（1）见解析；（2）见解析，点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；（3）是，对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【分析】（1）利用点A和坐标的关系确定平移的方向与距离，关于利用此平移规律写出B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于点对称的点的坐标特征写出A2，B2，C2的坐标，然后描点即可；
(3）连接A1 A2，B1 B2，C1 C2，它们都经过点P，从而可判断△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，再写出P点坐标即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点A2，B2，C2的坐标分别为（﹣1，﹣3），（﹣2，﹣5），（﹣4，﹣2）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于点P中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为（﹣2，﹣1）．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
25、证明见解析.
【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．
【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，
∵（m+1）2≥0，
∴，
因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
26、见解析
【分析】根据旋转和平移可得∠DEB=∠ACB，∠GFE=∠A，再根据∠ABC=90°可得∠A+∠ACB=90°，进而得到∠DEB+∠GFE=90°，从而得到DE、FG的位置关系是垂直.
【详解】解：DE⊥FG．
理由：由题知：Rt△ABC≌Rt△BDE≌Rt△FEG
∴∠A=∠BDE=∠GFE
∵∠BDE＋∠BED=90°
∴∠GFE＋∠BED=90°，即DE⊥FG．
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